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1、高等数学高等数学第四章不定积分基本形式基本性质与积分公式积分法凑微分法换元法分部积分法udv=uv-vdu有理函数的积分法三角函数有理式的积分法第一类换元法第二类换元法三角代换指数代换1/X的代换一元微分学基础知识一元微分学基础知识+定义定义1+设函数与在区间I上有定义。若F(x)=f(x)，xI，+则称为在区间上的一个原函数。+定理定理1设F(x)是f(x)在在区间上的一个原函数，则+（1）设F(x)+C是f(x)在在区间I上的原函数，其中C为任意常量（若f(x)存在原函数，则其个数必为无穷多个）。+（2）f(x)在I上的任何两个原函数之间，只可能相差一个常数。+定义定义2 函数f(x)在I
2、区间上的原函数的全体称为f(x)在I上的不定积分，记作：+f(x)d(x)+其中是积分号；f(x)是被积函数；f(x)d(x)是 被积表达式；x是积分变量。+注注:f(x)d(x)是一个整体记号；+不定积分的几何意义：不定积分的几何意义：若F(x)是f(x)的一个原函数，则称y=F(x)的图象为f(x)的一条积分曲线。于是，f(x)的不定积分在几何上表示f(x)的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一组积分曲线组成的曲线族。+结论：结论：若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行。基本积分表基本积分表（接上）（接上）要求要求+除牢记积分公式外，还需熟练使用几种常用方法：+（
3、1）换元积分法+（2）分部积分法+（3）有理函数积分法（运用分式变形处理积分函数联系积分基本公式）+关于换元法的问题不定积分的换元法是在复合函数求导法则的基础上得来的，我们应根据具体实例来选择所用的方法，求不定积分不象求导那样有规则可依，因此要想熟练的求出某函数的不定积分，只有作大量的练习。+分部积分法分部积分法这种方法是利用两个函数乘积的求导法则得来的。设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.我们知道，两个函数乘积的求导公式为：(uv)=uv+uv，移项，得uv=(uv)-uv，对其两边求不定积分得：uv=uv-uv，这就是分部积分公式分部积分公式+有理函数有理函数是指两个多项式的商所
4、表示的函数，当分子的最高项的次数大于分母最高项的次数时称之为假分式假分式，反之为真分式真分式。在求有理函数的不定积分时，若有理函数为假分式应先利用多项式的除法，把一个假分式化成一个多项式和一个真分式之和的形式，然后再求之。概念定义及方法需理解概念定义及方法需理解+以上系第四章主要内容，要掌握不定积分仍需多多练习，体会方法使用的条件情形以及一些特殊积分。本章要解决的问题：对于给定的函本章要解决的问题：对于给定的函数，如何求其不定积分数，如何求其不定积分主要包括：（1）会用不定积分性质、分项积分法、换元法、分部积分法求常见类型的不定积分（2）会用倒代换灵活计算一些不定积分（3）会求一些简单函数的积分（4）会求有理函数、三角有理式、简单无理函数的积分方法方法+求不定积分的基本思路是想方设法将所求的积分化为基本积分表中已有的积分形式，以便利用积分基本公式，要分析被积函数的特点，联想基本积分公式，将被积函数转化到基本公式中的情形求不定积分的方法有求不定积分的方法有