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1、不定积分概念 制作人：PPt创作者时间：2024年X月目录第第1 1章章 简介简介第第2 2章章 基本积分公式基本积分公式第第3 3章章 积分换元法积分换元法第第4 4章章 分部积分法分部积分法第第5 5章章 不定积分的应用不定积分的应用第第6 6章章 总结总结第第7 7章章 不定积分概念不定积分概念 0101第1章 简介 不定积分的定义不定积分的基本概念反导数无穷等价原理不定积分的存在性求和原理不定积分的线性性 不定积分与定积分的关系不定积分与定积分之间的关系牛顿-莱布尼茨公式定积分通常要借助不定积分才能解决变量代换法定积分可以求解面积和体积等几何问题定积分与面积/体积 基本积分公式基本积分
2、公式基本积分公式是求不定积分的一种重要方法，它包括了许基本积分公式是求不定积分的一种重要方法，它包括了许多基本函数的积分公式，例如幂函数、三角函数、指数函多基本函数的积分公式，例如幂函数、三角函数、指数函数等。数等。积分换元法代数变形基本形式三角函数代换特殊形式含有平方根的函数常见问题 分部积分法求解不定积分基本形式变量分离多元积分对数函数的不定积分常见问题 不定积分的线性组合线性性0103解法的基础一阶线性微分方程02区间不变性可加性求解曲线长度曲线长为曲线的长度，对于yf(x)在a,b上的一段弧长，可以使用勾股定理计算。求解曲线面积曲线面积为曲线与x轴所夹区域的面积，可以被理解为定积分。求
3、解体积体积为物体占据的空间的大小，可以使用积分的方法求出。例如，旋转体的体积可以使用圆锥体积公式计算。0202第2章 基本积分公式 基本积分公式定基本积分公式定义义在微积分中，积分公式是极其重要的一种工具，用于求解在微积分中，积分公式是极其重要的一种工具，用于求解函数的原函数。其中，三角函数、反三角函数以及指数函函数的原函数。其中，三角函数、反三角函数以及指数函数积分公式是基本积分公式之一。数积分公式是基本积分公式之一。三角函数积分公式sinxdx -cosx+C正弦函数积分公式cosxdx=sinx+C余弦函数积分公式tanxdx=ln|secx|+C正切函数积分公式 反三角函数积分公式dx
4、/(1-x2)=arcsin(x)+C反正弦函数积分公式dx/(1-x2)=arccos(x)+C反余弦函数积分公式dx/(1+x2)=arctan(x)+C反正切函数积分公式 指数函数积分公式xn dx=x(n+1)/(n+1)+C幂函数积分公式exdx=ex+C指数函数积分公式dx/x=ln|x|+C对数函数积分公式 基本积分公式证基本积分公式证明明每个积分公式都有其具体的证明过程，通过这些证明，可每个积分公式都有其具体的证明过程，通过这些证明，可以更好地理解积分公式的本质。三角函数、反三角函数、以更好地理解积分公式的本质。三角函数、反三角函数、指数函数积分公式的证明，在微积分课程中都有详
5、细讲解。指数函数积分公式的证明，在微积分课程中都有详细讲解。三角函数积分应用sqrt(1+cos2(t)dt计算弧长cos(x)dx计算曲线面积(pi/4)*sin2(t)*cos(t)dt计算质心 反三角函数积分应用(1/2)*x*(a2-x2)dx计算三角形面积(1/2)*(a+b)/a*sqrt(a+b)2-x2)dx计算杆的弯曲arctan(2x)dx计算水位的波浪 指数函数积分应用*r2*h dr计算圆锥体积exp(-at)/t dt计算物质密度exp(-x2/2)dx计算概率密度 基本积分公式总基本积分公式总结结基本积分公式是微积分中非常重要的一个概念，它让我们基本积分公式是微积分
6、中非常重要的一个概念，它让我们更好地理解和计算函数的原函数。通过本章的学习，我们更好地理解和计算函数的原函数。通过本章的学习，我们不仅了解了基本积分公式的定义和证明，还学习了如何应不仅了解了基本积分公式的定义和证明，还学习了如何应用基本积分公式进行计算，同时也学习了一些基本积分公用基本积分公式进行计算，同时也学习了一些基本积分公式的使用技巧。式的使用技巧。0303第3章 积分换元法 积分换元法定义定义换元法基本思想公式换元法的定理 积分换元法具体操作公式第一类换元法公式第二类换元法公式第三类换元法 积分换元法应用步骤积分换元法求解不定积分步骤积分换元法求解定积分 积分换元法总结积分换元法总结积
7、分换元法是一种有效的化归方法，可以将被积函数化为积分换元法是一种有效的化归方法，可以将被积函数化为形式更简单的函数再进行积分计算。换元法的具体操作有形式更简单的函数再进行积分计算。换元法的具体操作有三类，分别是第一类换元法、第二类换元法和第三类换元三类，分别是第一类换元法、第二类换元法和第三类换元法。换元法在不定积分和定积分中都有广泛应用，与其他法。换元法在不定积分和定积分中都有广泛应用，与其他积分方法相比，具有一定的优势。掌握积分换元法的使用积分方法相比，具有一定的优势。掌握积分换元法的使用技巧可以更加高效地解决积分问题。技巧可以更加高效地解决积分问题。积分换元法与其它积分方法的比较优劣对比
8、与分部积分法的比较优劣对比与换元法的比较优劣对比与牛顿-莱布尼茨公式的比较优劣对比与数值积分的比较注意计算细节注意计算细节计算中需要注意的地方计算中需要注意的地方易错点总结易错点总结多角度思考问题多角度思考问题从各个角度思考问题从各个角度思考问题思考的技巧思考的技巧积极尝试不同方法积极尝试不同方法不同方法的比较不同方法的比较如何选择最优方法如何选择最优方法积分换元法使用技巧准确选取换元变量准确选取换元变量如何选择如何选择选取的注意事项选取的注意事项 0404第4章 分部积分法 分部积分法定义分部积分法是求导的逆运算，它是求解一类函数积分的有力工具。其基本思想是利用乘法法则将一个积分分解为两个函
9、数的乘积积分，并通过对其中一个函数求导，对另一个函数积分的方法，逐渐将原积分拆分为容易求解的形式。分部积分法的公式分部积分法的公式为u(x)v(x)dxu(x)v(x)-v(x)u(x)dx，其中u(x)和v(x)为可导函数。分部积分法具体分部积分法具体操作操作分部积分法的具体操作步骤如下：分部积分法的具体操作步骤如下：1.1.选择选择u(x)u(x)和和v(x)v(x)2.2.对对u(x)u(x)求导，得到求导，得到u(x)u(x)3.3.对对v(x)v(x)积分，得到积分，得到v(x)v(x)4.4.将得到的结果代入分部积分法公式，计算出将得到的结果代入分部积分法公式，计算出u(x)v(x
10、)dxu(x)v(x)dx5.5.若被积函数还能继续分解，则反复运用分部积分法，直若被积函数还能继续分解，则反复运用分部积分法，直至求出积分。至求出积分。例例2 2求求lnxdxlnxdx解：选择解：选择u(x)=lnxu(x)=lnx，v(x)=1/xv(x)=1/x，利用分部积分法，得到，利用分部积分法，得到lnxdx=xlnx-dx=xlnx-x+Clnxdx=xlnx-dx=xlnx-x+C，其中，其中C C为常数。为常数。例例3 3求求arctanxdxarctanxdx解：选择解：选择u(x)=arctanxu(x)=arctanx，v(x)=1/(1+x2)v(x)=1/(1+x
11、2)，利用分部积，利用分部积分法，得到分法，得到arctanxdx=xarctanx-arctanxdx=xarctanx-(1/(1+x2)*xdx=xarctanx-(1/(1+x2)*xdx=xarctanx-1/2ln(1+x2)+C1/2ln(1+x2)+C，其中，其中C C为常为常数。数。例例4 4求求sinxdxsinxdx解：选择解：选择u(x)=sinxu(x)=sinx，v(x)=dxv(x)=dx，利用分部积分法，得到，利用分部积分法，得到sinxdx=-cosx+cosxdx=-sinxdx=-cosx+cosxdx=-cosx+sinx+Ccosx+sinx+C，其中
12、，其中C C为常数。为常数。分部积分法的实例例例1 1求求xexdxxexdx解：选择解：选择u(x)=xu(x)=x，v(x)=exv(x)=ex，利用分部积分法，得到利用分部积分法，得到xexdx=x*ex-xexdx=x*ex-exdx=x*ex-ex+Cexdx=x*ex-ex+C，其中，其中C C为常数。为常数。分部积分法求解不定积分选择u(x)和v(x)Step 1对u(x)求导，得到u(x)Step 2对v(x)积分，得到v(x)Step 3将得到的结果代入分部积分法公式，计算出积分Step 4确定积分上下限Step 10103将积分的上下限代入计算得到定积分Step 302利用
13、分部积分法计算不定积分Step 2分部积分法的使用技巧1.选择u(x)和v(x)时，要根据被积函数的特点进行选择，一般选择u(x)为多项式、三角函数、指数函数、对数函数等可以不断求导的函数，选择v(x)为容易积分的函数；2.遇到复杂的被积函数，可以尝试逐步分部积分，将整个积分拆分为多个小的积分；3.在计算不定积分时，可以先求导再进行分部积分，以求得反函数的形式，观察反函数是否为已知函数，如果是，则很容易求得原函数。换元积分法换元积分法适用于一些特定形态的被积函适用于一些特定形态的被积函数数常用于求解不定积分和定积分常用于求解不定积分和定积分操作较为复杂，需要较高的数操作较为复杂，需要较高的数学
14、功底学功底分式分解法分式分解法适用于被积函数为有理函数的适用于被积函数为有理函数的情况情况常用于求解不定积分和定积分常用于求解不定积分和定积分操作较为繁琐，需要较高的数操作较为繁琐，需要较高的数学功底学功底三角函数积分法三角函数积分法适用于被积函数中含有三角函适用于被积函数中含有三角函数的情况数的情况常用于求解不定积分和定积分常用于求解不定积分和定积分操作简单，易于掌握操作简单，易于掌握分部积分法与其它积分方法的比较分部积分法分部积分法适用于求一类函数积分适用于求一类函数积分常用于求解不定积分和定积分常用于求解不定积分和定积分操作简单，易于掌握操作简单，易于掌握 0505第5章 不定积分的应用
15、 曲线长度的计算曲线长度的计算在微积分中，曲线长度是指曲线的弧长。弧长的微分形式在微积分中，曲线长度是指曲线的弧长。弧长的微分形式为为dsds，使用积分可得到曲线长度，即长度定积分公式。下，使用积分可得到曲线长度，即长度定积分公式。下面是一个曲线长度的计算实例。面是一个曲线长度的计算实例。曲线长度的计算实例求曲线y x2在区间0,1上的弧长。问题代入弧长微分公式ds=sqrt(1+(dy/dx)2)dx，然后进行积分即可。解析弧长为(0,1)sqrt(1+4x2)dx。答案 曲线面积的计算曲线面积的计算在微积分中，曲线面积是指曲线与在微积分中，曲线面积是指曲线与x x轴之间的区域所围成轴之间的
16、区域所围成的面积。面积微元形式为的面积。面积微元形式为dSdS，使用积分可得到曲线面积，使用积分可得到曲线面积，即面积定积分公式。下面是一个曲线面积的计算实例。即面积定积分公式。下面是一个曲线面积的计算实例。曲线面积的计算实例求曲线y=x2在区间0,1上的面积。问题代入面积微元公式dS=ydx，然后进行积分即可。解析面积为(0,1)x2 dx。答案 体积的计算体积的计算在微积分中，体积是指由平面图形旋转形成的几何体的空在微积分中，体积是指由平面图形旋转形成的几何体的空间大小。旋转体的体积公式为间大小。旋转体的体积公式为(a,b)f2(x)dx(a,b)f2(x)dx，平移体，平移体的体积公式为
17、的体积公式为(a,b)r2(x)-r1(x)2dx(a,b)r2(x)-r1(x)2dx。下面是两个。下面是两个旋转体的体积计算实例。旋转体的体积计算实例。旋转体的体积计算实例对y=x2关于x轴旋转一周，求体积。问题代入旋转体的体积公式(0,1)x4 dx，然后进行积分即可。解析体积为/5。答案 旋转体的体积计算实例对y=x在区间0,1上关于y=-1旋转一周，求体积。问题代入旋转体的体积公式(0,1)(1+x2)2 dx，然后进行积分即可。解析体积为5/6。答案 不定积分主要应用于定积分、微分方程和微分几何等领域。不定积分的应用方法0103计算曲线长度需要求出曲线的弧长，在微积分中，弧长通常用
18、长度定积分公式进行求解。曲线长度02不定积分应用需要结合具体问题，选择合适的方法，进行求解。不定积分应用的特点 0606第6章 总结 不定积分的定义不定积分的基本概念原函数求解原函数的方法不定积分不定积分常见变形含参不定积分 不定积分的性质利用线性性简化求解过程线性性一种不定积分的求解方法换元法一种不定积分的求解方法分部积分法 根据不定积分的性质计算曲线长度曲线长度的计算0103根据不定积分的性质计算体积体积的计算02根据不定积分的性质计算曲线面积曲线面积的计算指指数数函函数数与与对对数数函函数数ex dx=ex+Cex dx=ex+C1/x dx=ln|x|+C(x0)1/x dx=ln|x
19、|+C(x0)三三角角函函数数与与反反三三角角函函数数sin x dx=-cos x+Csin x dx=-cos x+Ccos x dx=sin x+Ccos x dx=sin x+Csec2 x dx=tan x+Csec2 x dx=tan x+Ccsc2 x dx=-cot x+Ccsc2 x dx=-cot x+C其他函数其他函数1/(x2+a2)dx=1/(x2+a2)dx=(1/a)arctan(x/a)+C(1/a)arctan(x/a)+C1/(x2-a2)dx=1/(x2-a2)dx=(1/2a)ln|(x-a)/(x+a)|+C(1/2a)ln|(x-a)/(x+a)|+
20、C基本积分公式幂函数幂函数xn dx (x(n+1)/(n+1)+xn dx (x(n+1)/(n+1)+C(n-1)C(n-1)不定积分与定积不定积分与定积分的联系分的联系定积分是不定积分在区间上的运算，是曲线与定积分是不定积分在区间上的运算，是曲线与x x轴所围成轴所围成的面积，而不定积分是一个常数与所有原函数的集合。通的面积，而不定积分是一个常数与所有原函数的集合。通过对比不定积分与定积分的性质，我们可以更好地理解两过对比不定积分与定积分的性质，我们可以更好地理解两者之间的联系。者之间的联系。积分换元法将不定积分中的一部分换成一个新的变量基本思路能够将被积函数中的一部分表示成某种函数的导
21、数形式适用条件 主要步骤 基本积分公式基本积分公式基本积分公式是不定积分的重要工具之一，利用基本积分基本积分公式是不定积分的重要工具之一，利用基本积分公式，可以将一些复杂的不定积分转化为相对简单的形式，公式，可以将一些复杂的不定积分转化为相对简单的形式，方便我们求解。不同类型的基本积分公式需要结合不同的方便我们求解。不同类型的基本积分公式需要结合不同的方法进行求解，例如分部积分法、换元法等。方法进行求解，例如分部积分法、换元法等。适用条件适用条件被积函数可以分解成两个函数被积函数可以分解成两个函数的积的积主要步骤主要步骤1.1.选择适当的分解形式选择适当的分解形式2.2.进行代换求导进行代换求
22、导3.3.计算确定的积分计算确定的积分4.4.化简计算不定积分化简计算不定积分常见形式常见形式u(x)v(x)dx=u(x)v(x)-u(x)v(x)dx=u(x)v(x)-v(x)u(x)dxv(x)u(x)dx分部积分法基本思路基本思路将被积函数进行分解，采用代将被积函数进行分解，采用代换、反复积分等方法进行求解换、反复积分等方法进行求解 0707第7章 不定积分概念 不定积分的概念不定积分的概念不定积分是定积分的反运算，表示求导的逆运算，是解决不定积分是定积分的反运算，表示求导的逆运算，是解决微积分中重要问题的一种方法。微积分中重要问题的一种方法。不定积分的基本性质两个函数的不定积分的和
23、等于它们的不定积分之和线性性质不定积分在a,b上的平均值等于原函数在a,b上的值之差与b-a的积积分中值定理根据换元公式变换积分变量后，再用不定积分公式求解换元积分法求解不定积分时，把原函数中的一个乘积拆分成两个因数相加或相减形式，再用不定积分公式求解分部积分法利用不定积分求出积分区间内曲线yf(x)与x轴所夹区域的面积求曲线下的面积0103利用不定积分求出旋转体的体积和表面积求体积和表面积02利用不定积分求出曲线y=f(x)在积分区间内的弧长求弧长求解不定积分的方法求解不定积分时，需要掌握换元法、分部积分法、有理函数积分法、三角函数积分法等基本方法，以及函数的基本不定积分表。指数函数指数函数
24、axdx=(1/lna)ax+C axdx=(1/lna)ax+C(a0,a1)(a0,a1)ex dx=ex+Cex dx=ex+C三角函数三角函数sinxdx=-cosx+Csinxdx=-cosx+Ccosxdx=sinx+Ccosxdx=sinx+C反三角函数反三角函数1/(x2+a2)dx=1/(x2+a2)dx=(1/a)arctan(x/a)+C(1/a)arctan(x/a)+C1/(a2-x2)dx=1/(a2-x2)dx=arcsin(x/a)+Carcsin(x/a)+C不定积分公式幂函数幂函数axn dx=axn dx=(a/(n+1)x(n+1)+C(a0,(a/(n
25、+1)x(n+1)+C(a0,n-1)n-1)xn dx=(1/(n+1)x(n+1)xn dx=(1/(n+1)x(n+1)+C(n-1)+C(n-1)不定积分的本质不定积分的本质不定积分是求解导数的逆运算，本质上是对函数进行反导，不定积分是求解导数的逆运算，本质上是对函数进行反导，从而得到一组函数族，其中包含一个原函数，即该函数的从而得到一组函数族，其中包含一个原函数，即该函数的导数。导数。不定积分的计算步骤根据被积函数的形式进行判断，选用相应的求不定积分的方法确定函数的形式化简被积函数，简化计算对被积函数进行变形根据不定积分公式，进行积分运算进行积分运算在不定积分的结果中加入任意常数C，使得该函数的导数为被积函数加常数项 再见