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1、二阶常系数 机动目录上页下页返回结束第五节第五节(2)(2)齐次线性微分方程 基本思路:求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化二二二二阶阶常系数常系数常系数常系数齐齐次次次次线线性微分方程性微分方程性微分方程性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入得称为微分方程的特征方程特征方程,1.当时,有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r 为待定常数),所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.机动目录上页下页返回结束2.2.当当当当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解代入方程得:是特征方程的重根取 u=x,则得因此原方程的通解为机动目录上页
2、下页返回结束3.3.当当当当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为机动目录上页下页返回结束小小结结:特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.机动目录上页下页返回结束若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广:机动目录上页下页返回结束例例1.1.的通解.解解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例例2.求解初值问题解解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为机动目录上页下页返回结束例例3.3.的通解.
3、解解:特征方程特征根:因此原方程的通解为机动目录上页下页返回结束解:机动目录上页下页返回结束补充补充补充补充例题例题例题例题例例4.4.解解:由第五节例1 知,位移满足质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律 立坐标系如图,设 t=0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建 因此定解问题为自由振动方程,机动目录上页下页返回结束方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1)1)无阻尼自由振无阻尼自由振动动情况情况 (n n=0=0)机动目录上页下页返回结束解的特征解的特征:简谐振动 A:振幅,:初相,周期:固有频率 机动目录上页下页返回结束(仅由系统特性确定)方程:特征方程:特征根:小阻尼:n k临界阻尼:n=k 解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征机动目录上页下页返回结束例例5.5.的通解.解解:特征方程特征根:因此原方程通解为例例5.解解:特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解推广目录上页下页返回结束内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.机动目录上页下页返回结束思考与练习 求方程的通解.答案答案:通解为通解为通解为作作业 P358 1(1),(3),(5);2(1),(3),(5).第九节目录上页下页返回结束