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1、 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性一、函数的单调性之判定 在图象中我们发现上升函数的导数大于0,而下降函数的导数小于0,可见,函数的单调性与函数导数的符号有关.xyY=f(x)abxY=f(x)aby 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系定理定理1 设函数f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,则f(x)在a,b上单调上升(下降)的 充分必要条件是在(a,b)内f(x)0(0)即在a,b上f(x)单调上升在(a,b)内f(x)0;在a,b上f(x)单调下降在(a,b)内f(
2、x)0;.证明:我们只证明单调上升的情况 必要性,设在a,b上f(x)单调上升,任意取一点 x0(a,b),及x a,b,不论xx0还是xx0,由于f(x)单调上升,都有 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系xyY=f(x)abxx0 x又函数在(a,b)内可导,f(x0)存在,对它取极限得到由x0的任意性,知必要性成立.充分性.设在(a,b)内f(x)0,再设x1,x2是a,b内任意两点,设x10在a,b上f(x)严格单调上升.(2)在(a,b)内f(x)0,则f(x)在a,b上的图形是凹的 (2)若在(a,b)内f”(x)0,则f(x)在a,b上的图形是凸
3、的.证明:在(1)的情况,设x1和x2是a,b内任意两点,且x10)的凹凸性 例2 讨论函数y=sinx在其一个周期(0,2)内的凹凸性sinx在(0,)内上凸,在(,2)内上凹.xyxyxyY=lnx记忆方法解:是上凸的解:高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系二 拐 点 在y=sinx的曲线中,当x=时,其左邻域为上凸(y”0).它是曲线的凹凸性的分界点称为拐点 xy=sinxy定义2 曲线f(x)的向上凸部分与向下凹部分的分解点称 为该曲线的拐点.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系定理定理3 (必要条件)若函数f(x)在
4、(a,b)上二阶可导,则曲线 f(x)上的点(x0,f(x0)为拐点的必要条件是f”(x0)=0可能的拐点只有两种情况:(1)它是方程f”(x0)=0的根,(2)它f”(x)不存在的点,即函数f(x)的二阶不可导点.(判别 时看左右两边是否变号).高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例3 求下列曲线的拐点解:则1，3可能是拐点曲线是凹的曲线是凸的曲线是凹的 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 当x0,当x0,y“0,即在x=0的左,右两边y“变号,表示它是拐点.所以在两阶导数不存在时,需要用它的左右是否变号来 分析它的拐点.
5、没有使y“(x)=0的点,但当x=0时y“不存在,点(0,0)可能是拐点.yxx=1,x=3是曲线的拐点.xy 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系三 渐 近 线xyy=f(x)y=kx+bpMNQ 1，斜渐近线 y=kx+b p是动点,它到直线L的距离 定义3 若曲线s上的动点p沿着曲线无限地远离原点时,点p与某一固定直线L之间的距离趋近于0,则称直线L为曲线s的渐近线.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系LpNM 如果已知曲线y=f(x),由(2)求出k,由(1)求出b,得到直线方程y=kx+b 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系2，水平渐近线y=b 3,竖直渐近线x=a当由(2)求出k=0时,这时在这时,动点p距离原点将越来越远渐近线是y=kx+b,则b=f(x)-kx的极限,k=f(x)/x的极限渐近线是y=b,则k=0,所以b是x时f(x)的极限.渐近线是x=a,则k为无穷大,f(x)的极限为无穷大.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例4 求曲线的渐近线解:所以x=1是曲线的竖直渐近线是曲线的斜渐近线