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1、关于函数单调性和曲线凹凸性第1页，讲稿共50张，创作于星期日定理定理1.(函数单调性的判别法).(1)若x(a,b)有 f(x)0.则y=f(x)在a,b上单调增加;(2)若x(a,b)有f(x)0.则y=f(x)在a,b上单调减少;设y=f(x)C(a,b),且在(a,b)内可导.证证:x1,x2 a,b 且x10,则f()0.故f(x2)f(x1)0,即 f(x2)f(x1).(2)若f(x)0,则f()0.故f(x2)f(x1)0,即 f(x2)f(x1).f(x2)f(x1)=f()(x2 x1)(x1 x2)根据Lagrange中值定理,得出由x1,x2 在a,b上的任意性知f(x)
2、在a,b上单调增加.于是f(x)在a,b上单调减少.第3页，讲稿共50张，创作于星期日例例1.讨论y=lnx在(0,+)上的单调性.解解:由定理1知 y=lnx在(0,+)内单调增加.oxyy=lnx第4页，讲稿共50张，创作于星期日例例2.讨论f(x)=x36x2+9x3的单调性.解解:f (x)=3x212x+9以x1=1,x2=3为界将f(x)的定义域(,+)分成三个部分区间(,1),(1,3),(3,+).当 x0,当1x3时:f(x)3 时:f(x)0,=3(x1)(x3)所以f(x)单调增加;所以f(x)单调减少;所以f(x)单调增加.第5页，讲稿共50张，创作于星期日10331y
3、x故 f(x)在(,1)(3,+)内单调增加，在(1,3)内单调减少.第6页，讲稿共50张，创作于星期日例例3.讨论f(x)=x3的单调性.解解:因为f(x)=3x20 (x 0)由定理1知 f(x)=x3在(,0)和(0,+)内均单调增加.这里 x=0 时 f(0)=0.但x0时有f(x)0时,有f(0)0 时 x ln(1+x)y=f(x)f(x)0思考思考问题问题第8页，讲稿共50张，创作于星期日二、二、曲线的凹凸性及其判定法曲线的凹凸性及其判定法oxyy=x2第9页，讲稿共50张，创作于星期日oxyx1x2f(x1)f(x2)AB 在曲线 y=f(x)上任取两点 A(x1,y1)和 B
4、(x2,y2)，固定 t(0,1)得(x1,x2)内一点t0,1则弦 AB 的参数方程为：第10页，讲稿共50张，创作于星期日oxyx1x2f(x1)f(x2)AB这时，弦上对应点纵坐标为而曲线弧上对应点纵坐标为有第11页，讲稿共50张，创作于星期日x1x2f(x1)f(x2)oxyAB有第12页，讲稿共50张，创作于星期日定义定义1:设f(x)C(a,b)，x1,x2 a,b(x1x2)和 t(0,1),若有则称曲线y=f(x)在a,b上是凹的(凸的).()第13页，讲稿共50张，创作于星期日oxyoxy定理定理2.设f(x)C a,b且在(a,b)内可导.则曲线 y=f(x)在a,b上为凹
5、的(凸的)充分必要条件是 f(x)在(a,b)内单调增加(减少).第14页，讲稿共50张，创作于星期日定理定理3.(曲线凹凸的判别法)设 f(x)C(a,b)且在(a,b)内具有二阶导数.(1)若x(a,b),有f(x)0.曲线y=f(x)在a,b上是凹的.(2)若x(a,b),有f(x)0.曲线y=f(x)在a,b上是凸的.第15页，讲稿共50张，创作于星期日例例4.讨论曲线y=lnx在(0,+)内的凹凸性.解解:由定理3知曲线 y=lnx在(0,+)内是凸的.oyx1y=lnx第16页，讲稿共50张，创作于星期日例例5.讨论曲线 y=x3 的凹凸性.解解:y=6x当 x0时,y0时,y 0
6、.这里点(0,0)称曲线 y=x3 的拐点.故 y=x3在(,0内是凸弧.故 y=x3 在 0,+)内是凹弧.0yxy=x3第17页，讲稿共50张，创作于星期日 一般地，设f(x)C(U(x0),若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处左右两侧凹凸性相反，则称(x0,f(x0)为该曲线的拐点.第18页，讲稿共50张，创作于星期日定义1中有 y=f(x)凹 f(t x1+(1t)x2)0,y0 且 xy 时，有其中n1.证证：令 f(t)=tn.(t 0)f(t)=n(n1)t n2 0.(t 0)故t 0时 f(t)的曲线为凹的.取 x 0,y 0 得第20页，讲稿共50张，创作于星期日y
7、 y=f(x)x0有 f(x)f(x0)定义定义1.设f(x)在U(x0)内有定义.若(极小值).(极小值点).点x0称为极大值点一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法第21页，讲稿共50张，创作于星期日定理定理1.(Fermat)若f(x)在x0可导,且在 x0 取得极值,则 f (x0)=0.使 f(x)为零的点称为f(x)的驻点.第22页，讲稿共50张，创作于星期日(1)可导函数的极值点必是驻点.但其逆命题不成立.(2)连续函数在其导数不存在的点处,也有可能取得极值.0yxy=|x|0yxy=x3例如y=x3在x=0处不取极值.例如y=|x|在x=0处有极小值f(0)=0.第23页
8、，讲稿共50张，创作于星期日0yxx00yxx0(1)当 x0,当 xx0时,f (x)0,则f(x)在 x0 处取极大值;(2)当 xx0 时,f (x)x0时,f (x)0,则f(x)在x0处取极小值.定理定理2.(判别条件I)设f(x)C(U(x0),在可导.第24页，讲稿共50张，创作于星期日证证：(1)在当 x0.故 f(x)单调增加，有 f(x)x0时，f(x)0.故 f(x)单调减少，也有 f(x)f(x0).从而有f(x)f(x0).即 f(x0)为极大值.同理证(2).第25页，讲稿共50张，创作于星期日例例1.求f(x)=x33x29x+5的极值.解解:f(x)=3x2 6
9、x 9=3(x+1)(x3)令f(x)=0 解得驻点 x1=1,x2=3x=1:x0.x1时 f(x)0 x=3:x3时 f(x)3时 f(x)0 极大值f(1)=10.极小值 f(3)=22.第26页，讲稿共50张，创作于星期日例例2.求f(x)=的极值解解:x 0时,f(x)0时,f(x)0故得 极小值f(0)=0 xy0第27页，讲稿共50张，创作于星期日定定理理3.(判别条件II)设f(x)在U(x0)内二阶可导.且f(x0)=0.f(x0)0,则(1)当 f(x0)0 时,f(x)在 x0 取极小值.第28页，讲稿共50张，创作于星期日证证:(1)由 f(x0)0 时,按定义得根据极
10、限保号性，在U(x0)内有又由于f(x0)=0 所以第29页，讲稿共50张，创作于星期日 当 x0,xx0时 f(x)0,同理可证(2).于是在U(x0)内,从而由定理2知 f(x)在 x0 取极大值.第30页，讲稿共50张，创作于星期日例例3.求的极值.解解:f(x)以2 为周期，故考虑区间0,2)令 f(x)=cosxsinx=0又有得驻点第31页，讲稿共50张，创作于星期日由定理3知 由周期性知分别为 f(x)的极大值点和极小值点.第32页，讲稿共50张，创作于星期日二、曲线的拐点二、曲线的拐点二、曲线的拐点二、曲线的拐点若 f(x)C(a,b),且在(a,b)内可导，则 y=f(x)凹
11、(凸)f(x)()(x0,f(x0)是 y=f(x)拐点 x0是 f(x)极值点.定理定理4.若f(x0)存在，且点(x0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点，则 f(x0)=0第33页，讲稿共50张，创作于星期日0yx定理定理5.(拐点的充分条件)设f(x)C(U(x0),且在内二阶可导，若 f(x)x0的两侧符号相反，则(x0,f(x0)是拐点.y0 y=x4第34页，讲稿共50张，创作于星期日例例4.确定曲线y=3x44x3+1的凹凸和拐点.解：解：由 x1=0,显然 x 0故曲线在(,0和上为凸的.xyy=3x44x3+1110第35页，讲稿共50张，创作于星期日例例5.确定曲线解：
12、解：在 x=0 处 y 不存在.但 x 0 x 0:y 0 时因其唯一.故也是最小值点.于是当时，S最小.故所用材料能最省.此时思考问题思考问题第45页，讲稿共50张，创作于星期日例例7.某企业开发出一种新产品.已知生产销售 x件产品所需成本费用C=25000+5x(元).若每件产品销售价为问生产销售多少件产品，能使企业的利润最大？这时每件产品的销售价定为多少？解解：目标函数:=x P C利润 L=收入成本第46页，讲稿共50张，创作于星期日亦即最大值点.故生产销售 x=2500 件产品可使企业的利润最大，此时求解：第47页，讲稿共50张，创作于星期日例例8.宽为2m的支渠道垂直地流向宽为3m 的主渠道，若在其中漂运原木，问能通过的原木的最大长度为多少？解解：假设原木直径不计建立坐标系如图32BxytOCL设OAC=t 目标函数第48页，讲稿共50张，创作于星期日求解：故能通过的原木最大长度为7.02m.第49页，讲稿共50张，创作于星期日感谢大家观看12.10.2022第50页，讲稿共50张，创作于星期日