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1、第3章 线性系统的能控性与能观测性1第1页，本讲稿共66页系统系统状态状态每一个状态变量每一个状态变量 运动都可由运动都可由输入输入u(t)来来影响和控制，而由任意的始点达到原点影响和控制，而由任意的始点达到原点状态能控状态能控。对能控性和能观测性的直观讨论对能控性和能观测性的直观讨论状态状态 的任意形式的运动均可由的任意形式的运动均可由输出完全反映输出完全反映状态能观测。状态能观测。第2页，本讲稿共66页 能控性(Controllability)和能观测性(Observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制
2、理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。第3页，本讲稿共66页3.1.1 概述概述3.1 线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性 能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”的内部的状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。例例 3.1 给定系统的描述为将其表为标量方程组形式，有：分析：X1、X2受控于U Y与X
3、1无关 Y与 X2有关第4页，本讲稿共66页例例3.2：判断下列电路的能控和能观测性左上图：输入u（t），状态x（t），输出y（t）。右上图：输入u（t），状态x1（t），x2（t）。左图：输入u（t），状态x1（t），x2（t），输出y（t）。第5页，本讲稿共66页3.1.2 能控性的定义能控性的定义 线性时变系统的状态空间描述：其中：X 为 n 维状态向量；U 为 m 维输入向量；J 为时间 t 的定义区间；A为 n*n 的元为 t 的连续函数的矩阵；B 为 n*m的元为 t 的连续函数的矩阵。第6页，本讲稿共66页定义定义1 1：对线性时变系统 ，如果对取定初始时刻 的一个非零初始状态
4、，存在一个时刻 ，和一个无约束的的容许控制 ，使状态由 转移到 时 ，则称此 在时刻 是能控的。定义定义2 2：对线性时变系统 ，如果状态空间中的所有非零状态都是在时刻t0为能控的，那么称系统 在时刻t0是能控的。定义定义3 3：对上述线性时变系统 ，取定初始时刻 ，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻 是不能控的，则称系统在时刻 是不完全能控的。定义的几点解释：(1)对轨迹不加限制，是表征系统状态运动的一种定性特性；(2)容许控制的分量幅值不加限制，且在 上平方可积；(3)线性定常系统的能控性与 无关；第7页，本讲稿共66页(4)如果将上面非零状态转移到零状态，改为零状态到非零状 态，
5、则称为系统的能达性。(5)系统不完全能控为一种“奇异”情况。3.1.3 3.1.3 定常系统状态能控性判据定常系统状态能控性判据考虑线性连续时间系统 (A,B,C,D)：(3.2）其中如果施加一个无约束的控制信号，在有限的时间间隔 内，使初始状态转移到任一终止状态，则称由式（3.2）描述的系统在 时为状态(完全)能控的。如果每一个状态都能控，则称该系统为状态(完全)能控的。且初始条件为 。第8页，本讲稿共66页1.1.格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据定理定理1 1：格拉姆矩阵判据线性定常系统(3.2)为完全能控的充分必要条件是，存在 ，使如下定义的格拉姆矩阵 (3.3)非奇异。证明证明：充分性：已
6、知 非奇异，欲证系统完全能控。采用构造法证明，构造的控制量为在 作用下容易解得：第9页，本讲稿共66页充分性得证。必要性：已知系统为完全能控，欲证 非奇异。反证法。反设 为奇异，也即反设存在某个非零 ，使成立要使上式成立，应有另一方面，因系统完全能控，对非零 又成立由此进而有第10页，本讲稿共66页由此得出这表明，的假设是和系统完全能控相矛盾。因此，反设不成立，即 为非奇异。必要性得证。又第11页，本讲稿共66页定定理理2 2：代数判据线性定常系统(3.2)为完全能控的充分必要条件为 (3.3)其中，n 为矩阵A 的维数。(3.4)称为系统的能控性判别阵。2.2.代数判据代数判据 证明证明:充
7、分性：已知 ，欲证系统为完全能控。反证法。反设系统不完全能控，则格拉姆矩阵奇异。这意味着存在某个非零向量 使成立 第12页，本讲稿共66页由此可得 ，现将上式求导直至 次，再在所得结果中令 ，那么可得到：进而，表上式为 第13页，本讲稿共66页必要性：已知系统完全能控，欲证 反证法。反设 ,这意味着 行线性相关，因此必存在一个非零 维常向量 ，使成立 考虑到问题的一般性，由上式进一步得到再据凯莱哈密顿定理，,均可表示为I，A，A2,An-1 的线性组合，由此得到由于 ，所以上式意味着 为行线性相关。当 为行线性无关时系统为完全能控。充分性得证 第14页，本讲稿共66页这样 表明 为奇异，系统不
8、完全能控，与已知条件矛盾，反设不成立。于是 ,必要性得证。例例3.23.2 考虑由下式确定的系统：第15页，本讲稿共66页即 QC 为非奇异，因此系统是状态能控的。例例3.33.3 考虑由下式确定的系统：即QC为非奇异，因此系统是状态能控的。3 3 PBH PBH 判判据据(由由PopovPopov和和BelevitchBelevitch提提出出,Hautus,Hautus指指出出其其广广泛泛可可应用性。因此以他们姓氏首字母而得名应用性。因此以他们姓氏首字母而得名)解解 对于该系统，定理定理3 3(3.2)系统为完全能控的充要条件是，对矩阵A 的所有特征值 均成立（1 1）秩判据）秩判据第16
9、页，本讲稿共66页或等价地 也即 和 是左互质的 证明证明：必要性：已知系统能控，欲证(3.5)成立。反证法。反设对某个 ，有 ，则意味着，存在一非零向量 ，使成立考虑到一般性，上式得到 进而，第17页，本讲稿共66页由 的任意性，得到这表明系统为不完全能控，与已知条件矛盾。反设不成立。充分性：略。例例3.33.3 设线性定常系统的状态方程为 可直接导出第18页，本讲稿共66页求出 的特征值为：，当 时，第19页，本讲稿共66页当 时，由此可知，系统能控。同样可得第20页，本讲稿共66页（2 2）特征向量判据（主要应用于理论分析）特征向量判据（主要应用于理论分析）定理定理44(3.2)系统为完
10、全能控的充要条件是，矩阵 不能有与 的所有相正交的非零左特征向量。也即对 的任一特征值 ，使同时满足 的特征向量证证明明：必要性：反设存在一个向量 ，使成立则有 这样，所以 ，系统不能控,与假设矛盾。充分性：略。第21页，本讲稿共66页3.1.4 3.1.4 状态能控性条件的标准形判据状态能控性条件的标准形判据 关于定常系统能控性的判据很多。除了上述的代数判据外，本小节将给出一种相当直观的方法，这就是从标准形的角度给出的判据。考虑如下的线性系统式中，如果 的特征向量互不相同，则可找到一个非奇异线性变换矩阵 ，使得 注意注意：如果 A 的特征值相异，那么 A 的特征向量也互不相同；然而，反过来不
11、成立。例如，具有重特征值的 nn 维实对称矩阵也有可能有 n 个互不相同的特征向量。还应注意，矩阵 P 的每一列是与 (i=1,2,，n)有联系的 A 的一个特征向量。第22页，本讲稿共66页将式(3.9)代入式(3.8)，可得 定义则可将式（3.10）重写为：第23页，本讲稿共66页 如果式（3.8）中的矩阵 A 不具有互异的特征向量，则不能将其化为对角线形式。在这种情况下，可将 A 化为Jordan标准形。例如，若A的特征值分别1,1,1,1,1,6,6，,n,并且有 n 4 个互异的特征向量，那么 A 的 Jordan 标准形为 如果 nr 维矩阵 的任一行元素全为零，那么对应的状态变量
12、就不能由任一 来控制。对于A的特征值为两两互异时，当且仅当输入矩阵 没有一行的所有元素均为零时，系统才是状态能控的。如果有相同根时则还要满足相同根相对应的输入矩阵 的所有行是行线性无关的。(注意后一种情况书中没有作说明)在应用状态能控性的这一条件时，应特别注意，必须将式（3.10）的矩阵 转换成对角线形式。第24页，本讲稿共66页其中，在主对角线上的 55 和 22 子矩阵称为Jordan块。对于 所包含的33和 22 子矩阵称为Jordan子块第25页，本讲稿共66页假设能找到一个变换矩阵，使得如果利用定义一个新的状态向量 ，将式（3.9）代入式（3.6）中，可得到下面用秩判据导出能控的充要
13、条件第26页，本讲稿共66页选择 得到 其中 ，对以上矩阵进行线性变换为 第27页，本讲稿共66页也即 为满秩的充要条件为，和 线性无关。第28页，本讲稿共66页 从而系统的状态能控性条件可表述为：当且仅当(1)当矩阵特征值两两相异时，对应于不同特征值的 的每一行的元素不全为零时；(2)矩阵J 中不含Jordan子块的每一Jordan块的最后一行对应的 行向量不全为零；(3)矩阵J 中同一Jordan块中所有Jordan子块最后一行相对应的 行向量线性无关，则系统是状态能控的。例例3.43.4 判断下列系统状态是否是能控的：第29页，本讲稿共66页下列系统是状态不完全能控的：第30页，本讲稿共
14、66页3.1.5 3.1.5 用传递函数矩阵表达的状态能控性条件用传递函数矩阵表达的状态能控性条件 状态能控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。例例3.53.5 考虑下列传递函数：定理定理5 5 状态能控性的充要条件是在输入状态传递函数或传递函数矩阵 中不出现相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不能控。第31页，本讲稿共66页 在此传递函数的分子和分母中存在可约的因子（s+2.5）(因此少了一阶)。由于有相约因子，所以该系统状态不能控。将该传递函数写为状态方程，可得到同样的结论。状态方程为 能控性矩阵的秩 rank(Qc)=1，所以可得到状态不能控的同样结论。第32页，本讲稿共6
15、6页3.1.6 3.1.6 输出能控性输出能控性 在实际的控制系统设计中，也许我们需要控制的是输出，而不是系统的状态。对于控制系统的输出，状态能控性既不是必要的，也不是充分的。因此，有必要再定义输出能控性。考虑下列状态空间表达式所描述的线性定常系统式中，第33页，本讲稿共66页 定义定义44 如果能找到一个无约束的控制向量 ，在有限的时间间隔 内，使任一给定的初始输出 转移到任一最终输出 ，那么称由式（3.13）和（3.14）所描述的系统为输出能控的。定理定理6 6 系统输出能控的充要条件为：当且仅当 m(n+1)r 维输出能控性矩阵的秩为 m 时，由式（3.13）和（3.14）所描述的系统为
16、输出能控的。注意注意：在式（3.14）中存在 DU 项，对确定输出能控性是有帮助的。第34页，本讲稿共66页3.2 3.2 线性连续系统的能观测性线性连续系统的能观测性 3.2.1 3.2.1 能观测性的定义能观测性的定义(3.1)的状态方程可以表示为：则系统输出若定义 这样(3.1)系统的能观测性研究等价于下列系统 第35页，本讲稿共66页几种定义：定义定义5 5：如果系统(3.6)的状态 X(t0)在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定，那么称系统在时刻t0()是能观测的。定义定义6 6：对(3.6)所示系统，如果对取定初始时刻 的一个非零初始状态X0，存在一个有限时刻 ，使对所有 ,有Y
17、(t)=0，则称此初始状态X0在时刻t0是不能观测的。定义定义7 7：对(3.6)所示系统，如果对取定初始时刻 ，如果状态空间中存在一个或一些非零状态 X0 在时刻t0是不能观测的，则称该系统在时刻t0是不能观测的。第36页，本讲稿共66页对于线性定常系统，考虑零输入时的状态空间表达式：式中，如果每一个状态X(t0)都可通过在有限时间间隔t0tt1内由输出Y(t)观测值确定，则称系统为(完全)能观测的。本节仅讨论线性定常系统。不失一般性，设t0=0。能观测性的概念非常重要，这是由于在实际问题中，状态反馈控制遇到的困难是一些状态变量不易直接量测。因而在构造控制器时，必须首先估计出不可量测的状态变
18、量。在“系统综合”部分我们将指出，当且仅当系统是能观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。第37页，本讲稿共66页讨论：在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑由式（3.20）和（3.21）给定的零输入系统。这是因为，若采用如下状态空间表达式 由于矩阵 A、B、C 和 D 均为已知，U(t)也已知，所以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量测值Y(t)中消去。因此，为研究能观测性的充要条件，只考虑式（3.20）和(3.21)所描述的零输入系统就可以了。第38页，本讲稿共66页3.2.2 3.2.2 定常系统状态能观测性的代数判据定常系统状态能观测性的代数判据考虑由式（3.20）和(3.2
19、1)所描述的线性定常系统。易知，其输出向量为将 写为 A 的有限项的形式，即第39页，本讲稿共66页显然，如果系统是能观测的，那么在 0 t t1 时间间隔内，给定输出Y(t)，就可由式（3.22）唯一地确定出 X(0)。可以证明，这就要求 nmn 维能观测性矩阵 的秩为 n 代代数数判判据据：由式（3.20）和（3.21）所描述的线性定常系统，当且仅当 nnm 维能观测性矩阵的秩为 n，即 时，该系统才是能观测的。第40页，本讲稿共66页例例3.5 试判断由式所描述的系统是否为能控和能观测的。解解 由于能控性矩阵的秩为2，即，故该系统是状态能控的。为了检验能观测性条件，我们来验算能观测性矩阵
20、的秩。由于 第41页，本讲稿共66页 的秩为2，故此系统是能观测的。PBHPBH秩秩判判据据 线性定常系统完全能观测的充要条件是，的所有特征值 均成立或等价地表为：也即 和 是右互质的(不存在右公因子)。(3.23)第42页，本讲稿共66页PBHPBH特征向量判据特征向量判据 线性定常系统完全能观测的充要条件是，没有与 的所有行相正交的非零右特征向量。也即对 的任一特征值 ，使同时满足：，(3.24)的特征向量 第43页，本讲稿共66页结论：系统是状态能观测的第44页，本讲稿共66页3.2.4 3.2.4 用传递函数矩阵表达的能观测性条件用传递函数矩阵表达的能观测性条件 例例3.63.6 证明
21、下列系统是不能观测的。式中 解解 由于能观测性矩阵类似地，能观测性条件也可用传递函数或传递函数矩阵表达。此时能观测性的充要条件是：输出初始状态传递函数矩阵 中不发生相约现象。如果存在相约，则约去的模态其输出就不能观测了。第45页，本讲稿共66页注意到故该系统是不能观测的。事实上，在该系统的 中存在相约因子。由于第46页，本讲稿共66页显然，分子、分母多项式中的因子（s+1）可以约去。这意味着，该系统是不能观测的，或者说一些不为零的初始状态X(0)不能由Y(t)的量测值确定。注释注释:当且仅当系统是状态能控和能观测时，其传递函数才没有相约因子。这意味着，可相约的传递函数不具有表征动态系统的所有信
22、息。3.2.5 3.2.5 状态能观测性条件的标准形判据状态能观测性条件的标准形判据 考虑由式（3.13）和（3.14）所描述的线性定常系统，将其重写为:设非奇异线性变换矩阵P可将A化为对角线矩阵，第47页，本讲稿共66页式中，为对角线矩阵。定义式（3.25）和(3.26)可写为如下对角线标准形因此或对于两两互异根情形，如果 mn 维矩阵 CP 的任一列中都不含全为零的元素，那么系统是能观测的。这是因为，如果 CP 的第 i 列含全为零的元素，则在输出方程中将不出现状态变量 ，因而不能由 Y 确定。对于含有相同特征根的则还要满足相同特征根对应的CP 的所有列是列线性无关的。第48页，本讲稿共6
23、6页 上述判断方法只适用于能将系统的状态空间表达式（3.16）和(3.17)化为对角线标准形的情况。如果不能将式（3.16）和(3.17)变换为对角线标准形，则可利用一个合适的线性变换矩阵S，将其中的系统矩阵A 变换为Jordan标准形。式中，J 为 Jordan 标准形矩阵。则式（3.16）和(3.17)可写为如下Jordan标准形定义因此第49页，本讲稿共66页系统能观测的充要条件为：（1）与相异特征值对应的矩阵CS 列中，没有一列包含的元素全为零。（2）与每个不含Jordan 子块的Jordan 块的第一列相对应的矩阵CS 列中，没有一列元素全为零；（3）矩阵CS中与每个Jordan块的
24、 Jordan子 块的第一列相对应的列线性无关；为了说明条件(2），在例3.7中，对应于每个Jordan 块的第一列的CS 列之元素用下划线表示。例例3.73.7 下列系统是能观测的：第50页，本讲稿共66页下列系统是不完全能观测的：第51页，本讲稿共66页3.3 3.3 对偶原理对偶原理 下面讨论能控性和能观测性之间的关系。为了阐明能控性和能观测性之间明显的相似性，这里将介绍由R.E.Kalman提出的对偶原理。1.对偶系统的定义：对偶系统的定义：考虑由下述状态空间表达式描述的系统1：式中，。以及由下述状态空间表达式定义1的对偶系统2：式中，第52页，本讲稿共66页简单地说，对偶性系统有如下
25、关系：+U1(t)X1(t)Y1(t)B A Cdt+U2(t)X2(t)Y2(t)BT AT CTdt对偶系统结构图（b）对偶系统结构图（a）第53页，本讲稿共66页对偶系统图(a)、图(b)：输入端和输出端互换；信号传递方向相反；信号引出点和综合点互换；各矩阵转值。图(a)表示用U1（t）来控制Y1（t）；图(b)表示用输出量Y2（t）去求得输入量U2（t）；前者是控制问题，后者是估计问题。对偶原理揭示了最优控制和最优估计之间的内在联系。第54页，本讲稿共66页2.对偶系统的相互关系：对偶系统的相互关系：1)对偶系统传递函数矩阵互为转置。对偶系统传递函数矩阵互为转置。对系统 1 有：G1（
26、s）=C（SIA）-1 B对系统 2 有：G2（s）=BT（SIAT）-1 CT G2T（s）=BT（SIAT）-1 CT T=C（SIA）-1 B2)对偶系统的特征方程是相同的。对偶系统的特征方程是相同的。SIA=SIAT3.3.对偶原理：对偶原理：当且仅当系统 2 状态能观测（状态能控）时，系统 1 才是状态能控（状态能观测）的。为了验证这个原理，下面写出系统1和2的状态能控和能观测的充要条件。第55页，本讲稿共66页对于系统1：1.状态能控充要条件是nnr 维能控性矩阵 QC1 的秩为n。2.状态能观测充要条件是nnm 维能观测性矩阵 QO1 的秩为n。对于系统2:1.状态能控的充要条件
27、是nnm 维能控性矩阵 QC 的秩为n。2.状态能观测的充要条件是nnr维能观测性矩阵 QO 的秩为n。对比这些条件，可以很明显地看出对偶原理的正确性。第56页，本讲稿共66页利用此原理，一个给定系统的状态能观测性可用其对偶系统的状态能控性来检验和判断。同样，一个给定系统的状态能控性可用其对偶系统的状态能观测性来检验和判断。第57页，本讲稿共66页3.4 3.4 线性定常离散系统的能控性与能观测性线性定常离散系统的能控性与能观测性1 1 线性定常离散系统的能控性线性定常离散系统的能控性设离散系统的状态方程为其中：X(k)为 n 维状态向量；U(k)为 m 维输入向量；G为 n*n 的系统矩阵；
28、H 为 n*m的输入矩阵。定义定义8 如果存在输入信号序列U(k),U(k+1),U(-1),使得系统从第k步的状态X(k)开始，能在第步上达到零状态(平衡状态)。即X()0，其中为大于k的某一个有限正整数，那么就称此系统在第k步上是能控的，X(k)称为第k步上的能控状态。第58页，本讲稿共66页 如果每一个第k步上的状态X(k)都是能控状态，那么就称系统在第k步上的状态是完全能控的。如果对于每一个k，系统的状态X(k)都是完全能控的状态，那么就称系统是状态完全能控的。定定理理7 7：线性定常离散系统（G，H）为完全能控的充分必要条件为 (3.27)其中，n 为矩阵G 的维数。(3.28)称为
29、离散系统的能控性判别阵。证明证明:根据离散系统状态方程的解 第59页，本讲稿共66页若系统是能控的，则在 k=n 时，由上式可以解出U(0),U(1),U(n-1),使得x(k)在第 n 个采样时刻为零，即x(n)=0。从而有：上式有解的充要条件是第60页，本讲稿共66页例例3.8 设线性定常离散系统状态方程试判断系统的能控性。解解 因为能控性矩阵的秩所以，系统是状态完全可控的。第61页，本讲稿共66页注意：2 2 线性定常离散系统的能观测性线性定常离散系统的能观测性设离散系统的状态方程为其中：X(k)为 n 维状态向量；U(k)为 m 维输入向量；G为 n*n 的系统矩阵；H 为 n*m的输
30、入矩阵；Y(k)为 p 输出向量；C为 p*n 的输出矩阵。第62页，本讲稿共66页定义定义9 如果根据第 i 步及以后的观测值Y(i),Y(i+1),Y(),能唯一的确定出第 i 步的状态X(i)，则称此系统在第 i 步是能观测的，若系统在任何一步上都是能观测的，则称系统是完全能观测的。定定理理8 8：线性定常离散系统（G，C）为完全能观测的充分必要条件是 np*n 矩阵 (3.29)的秩为 n。其中，n 为矩阵G 的维数。MO 称为离散系统的能观测性判别阵。第63页，本讲稿共66页 证明证明:对于线性定常离散系统，假设观测是从第0步开始，并认为 u(k)=0,此时系统表示 利用递推方法可得：写成向量矩阵形式：第64页，本讲稿共66页由此可知，当知道Y(0),Y(1),Y(n-1)时,就能确定出X(0)。也就是说，X(0)有唯一解的充要条件是第65页，本讲稿共66页例例3.9 设线性定常离散系统状态方程试判断系统的能观测性。解解 因为能观测性矩阵的秩系统状态不是完全可观测的。第66页，本讲稿共66页