2015年考研数学一真题与解析.pdf

《2015年考研数学一真题与解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015年考研数学一真题与解析.pdf（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、1 2015 年考研数学一真题一、选择题18 小题每小题4 分，共 32 分设函数( )f x在(,)上连续，其二阶导数()fx的图形如右图所示，则曲线()yf x在(,)的拐点个数为（A） 0 （B）1 （C）2 （D）3 【详解 】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0 x但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C）2设21123()xxyexe是二阶常系数非齐次线性微分方程xyaybyce的一个

2、特解，则（A）321,abc（B）321,abc（C）321,abc（D）321,abc【详解 】线性微分方程的特征方程为20rarb，由特解可知12r一定是特征方程的一个实根如果21r不是特征方程的实根，则对应于( )xf xce的特解的形式应该为( )xQ x e，其中()Q x应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得213212(),ab，同时*xyxe是原来方程的一个解，代入可得1c应该选（ A）若级数1nna条件收敛，则33,xx依次为级数11()nnnnax的（）收敛点，收敛点（）收敛点，发散点(）发散点，收敛点（）发散点，

3、发散点【详解 】注意条件级数1nna条件收敛等价于幂级数1nnna x在1x处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即11limnnnaa，所以11()nnnnax的收敛半径111lim()nnnnaRna，绝对收敛域为0 2( , )，显然33,xx依次为收敛点、发散点，应该选（B） 设 D 是第一象限中由曲线21 41,xyxy与直线3,yx yx所围成的平面区域， 函数( ,)f x y在2 D 上连续，则( ,)Dfx y dxdy（）（）1321422sinsin( cos , sin )df rrrdr（）1231422sinsin( cos , sin )df rrrdr（）13

4、21422sinsin( cos , sin )df rrdr（）1231422sinsin( cos , sin )df rrdr【详解 】积分区域如图所示，化成极坐标方程：2211212122sin cossinsinxyrrr221141412222sin cossinsinxyrrr也就是 D：43112sinsinr所以(,)Df x y dxdy1231422sinsin( cos ,sin )df rrrdr，所以应该选（B） 5设矩阵2211111214,Aabdad，若集合1 2,，则线性方程组Axb有无穷多解的充分必要条件是（A）,ad（B）,ad（C）,ad（D）,ad【

5、详解 】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：22221111111111111201110111140311001212(, )()()()()BA badadadadadaadd方程组无穷解的充分必要条件是3()(, )r Ar A b，也就是120120()(),()()aadd同时成立，当然应该选（D） 6设二次型123(,)f x xx在正交变换xPy下的标准形为2221232yyy，其中123,Pe e e，若132,Qee e，则123(,)f xxx在xQy下的标准形为（A）2221232yyy（B）2221232yyy3 （C）2221232yyy（ D）2221232yyy

6、【详解 】132123100100001001010010,Qee ee e eP，100001010TTQP211TTTTfx Axy PAPyyy所以100100100210020010010011001101001001010101TTQ AQP AP故选择（ A） 7若,A B为任意两个随机事件，则（）（A）()()()P ABP A P B（B）()()()P ABP A P B（C）2()()()P AP BP AB（D）2()()()P AP BP AB【详解】()(),()(),P AP ABP BP AB所以2()()()P AP BP AB故选择（ C） 8设随机变量,X

7、Y不相关，且213,EXEYDX，则2()E X XY（）（A）3（B）3（C）5（D）5【详解 】222225()()()()E X XYE XE XYEXDXEXEXEYEX故应该选择（D） 二、填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分 . 把答案填在题中横线上）920ln(cos )limxxx【详解】200122ln(cos )tanlimlimxxxxxx10221sincosxx dxx【详解 】只要注意1sincosxx为奇函数，在对称区间上积分为零，4 所以22202214sin.cosxx dxxdxx11若函数( ,)zz x y是由方程2coszexyzxx确定

8、，则0 1( , )|dz【详解 】设2( , , )coszF x y zexyzxx，则1( , )sin,( , ),( , )zxyzFx y zyzx Fx y zxz Fx y zexy且当01,xy时，0z，所以0 10 10 1 00 1 0100 1 00 1 0( , )(, )( , , )( , , )|,|,( , , )( , , )yxzzFFzzxyFF也就得到0 1( , )|dz.dx12设是由平面1xyz和三个坐标面围成的空间区域，则23()dxdydzxyz【详解 】注意在积分区域内，三个变量,x y z具有轮换对称性，也就是dxdydzdxdydzdx

9、dydzxyz1120012366314()dxdydzdxdydz()zDxyzzzdzdxdyzzdz13n阶行列式2002120200220012【详解 】按照第一行展开，得1111212122()()nnnnnDDD，有1222()nnDD由于1226,DD，得11122222()nnnDD14设二维随机变量(,)X Y服从正态分布1 0 1 1 0( , ; , ; )N，则0P XYY【详解 】由于相关系数等于零，所以X，Y 都服从正态分布，1 10 1( , ),( , )XNYN，且相互独立则10 1( , )XN1111101001001022222(),PXYYP Y XP

10、 YXP YX三、解答题15 （本题满分10 分）设函数1( )ln()sinf xxaxbxx，3( )g xkx在0 x时为等价无穷小，5 求常数, ,a b k的取值【详解 】当0 x时，把函数1()ln()sinf xxaxbxx展开到三阶的马克劳林公式，得233332331236123( )()()()()()()xxf xxa xo xbx xxo xaaa xb xxo x由于当0 x时，(),()f xg x是等价无穷小，则有10023aabak，解得，11123,.abk16 （本题满分10 分）设函数)( xfy在定义域I上的导数大于零，若对任意的0 xI，曲线)( xfy

11、在点00(,()xf x处的切线与直线0 xx及x轴所围成区域的面积恒为4，且02( )f，求()fx的表达式【详解 】)(xfy在点00(,()xf x处的切线方程为000()()()yfxxxf x令0y，得000()()f xxxfx曲线)(xfy在点00(,()xf x处的切线与直线0 xx及x轴所围成区域的面积为00000142()()()()f xSf xxxfx整理，得218yy，解方程，得118Cxy，由于02( )f，得12C所求曲线方程为84.yx17 （本题满分10 分）设函数(,)f x yxyxy，曲线223:Cxyxy，求( ,)fx y在曲线C上的最大方向导数6

12、【详解 】显然11,ffyxxy( ,)f x yxyxy在(, )x y处的梯度11,ffgradfyxxy( ,)f x y在(,)x y处 的 最 大 方 向 导 数 的 方 向 就 是 梯 度 方 向 ， 最 大 值 为 梯 度 的 模2211()()gradfyx所以此题转化为求函数2211( , )()()F x yxy在条件223:Cxyxy下的条件极值 用拉格朗日乘子法求解如下：令2222113( , ,)()()()L x yxyxyxy解方程组222 1202 1203()()xyFxxyFyyxxyxy，得几个可能的极值点1 111211 2,(,),( ,),(, )，

13、进行比较，可得，在点21,xy或12,xy处，方向导数取到最大，为93.18 （本题满分10 分）（1）设函数( ), ()u xv x都可导，利用导数定义证明( () ()() ( )()( )u x v xux v xu x vx；（2）设函数12(),( ),( )nu x uxux都可导，12( )( )( )( )nf xu x uxux，写出()f x的求导公式【详解 】 （1）证明：设)()(xvxuy)()()()(xvxuxxvxxuy() ()() ()( ) ()( ) ()u xx v xxu x v xxu x v xxu x v xvxuxxuv)()(xuxuxx

14、vxuxy)()(由导数的定义和可导与连续的关系00limlim()()() ()( ) ()xxyuuyv xxu xux v xu x vxxxx（2）12( )( )( )()nf xu x uxux7 1121212()( )( )()( )( )( )( )( )( )( )nnnfxu x u x uxuxu x uxuxu x uxux19 （本题满分10 分）已知曲线L 的方程为222zxyzx，起点为02 0( , )A，终点为02 0( , )B，计算曲线积分2222()()()Lyz dxzxy dyxydz【详解 】曲线 L 的参数方程为2cossin ,cosxtyt

15、zt起点02 0( , )A对应2t，终点为02 0( , )B对应2t22222222222()()()(sincos ) (cos )(cos ) (cos )(cos ) cosLyz dxzxy dyxydztt dtt dtt dt22022 22sin.tdt20 （本题满分11 分）设向量组123,为向量空间3R的一组基，113223332221,()kk（1）证明：向量组123,为向量空间3R的一组基；（ 2）当k为何值时，存在非零向量，使得在基123,和基123,下的坐标相同，并求出所有的非零向量.【详解 】 （1）123123201020201(,),kk，因为201210

16、2024021201kkkk，且123,显然线性无关，所以123,是线性无关的，当然是向量空间3R的一组基（2）设非零向量在两组基下的坐标都是123(,)x xx，则由条件112233112233xxxxxx8 可整理得：1132231320()()xkxxk，所以条件转化为线性方程组1321320,kkx存在非零解从而系数行列式应该等于零，也就是12312310110101001002020(,)(,kkkk由于123,显然线性无关，所以101010020kk，也就是0k此时方程组化为112121312230,()xxxxxx，由于12,线性无关，所以13200 xxx，通解为1230 xC

17、xxC，其中C为任意常数所以满足条件的0CC其中C为任意不为零的常数21 （本题满分11 分）设矩阵02313312Aa相似于矩阵12000031Bb（1）求,a b的值；（2）求可逆矩阵P，使1PAP为对角矩阵【详解 】 （1）因为两个矩阵相似，所以有trAtrB，AB也就是324235abaabb（2）由2120050150031() ()EB，得 A，B 的特征值都为12315,解 方 程 组0()EA x， 得 矩 阵A的 属 于 特 征 值121的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 为9 12231001.；解方程组50()EA x得矩阵 A 的属于特征值35的线性无关的特征向量为

18、3111令123231101011,P，则1100010005.PAP22 （本题满分11 分）设随机变量X 的概率密度为22000ln,(),xxf xx对 X 进行独立重复的观测，直到第2 个大于 3 的观测值出现时停止，记Y为次数求Y的分布函数；（1）求Y的概率分布；（2）求数学期望.EY【详解 】 （1）X 进行独立重复的观测，得到观测值大于3 的概率为313228()lnxP Xdx显然 Y 的可能取值为2 3 4, , ,且22111171712 3 4888648()(), , ,kkkP YkCkk（2）设22322221111( )()(),()nnnnnnxS xn nxxxxxx2221717116648648()()()kknE YkP Ykk kS23 （本题满分11 分）设总体X的概率密度为1110,( ;),xf x其他其中为未知参数，12,nXXX是来自总体的简单样本（1）求参数的矩估计量；（2）求参数的最大似然估计量【详解 】 （1）总体的数学期望为10 111112()()E Xxdx令()E XX，解得参数的矩估计量：21?X（2）似然函数为12121110,()(,;),nnnxxxL x xx其他显然( )L是关于的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使尽可能大就可以，所以参数的最大似然估计量为12?min(,).nx xx