2019年考研数学一真题与解析.pdf

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1、1 2019 年考研数学一真题解析一、选择题18 小题每小题4 分，共 32 分1当0 x时，若tanxx与kx是同阶无穷小，则k（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案 】 （C）【详解 】当0 x时，331tan()3xxxo x，所以331tan()3xxxo x，所以3k2设函数,0( )ln,0 x xxf xxx x，则0 x是( )f x的（）（ A）可导点，极值点（B）不可导的点，极值点（ C）可导点，非极值点（D）不可导点，非极值点【答案 】 （B）【详解 】 （1）0001ln(00)limlnlim0,(00)lim0,(0)01xxxxfxxfx xfx，所以函数在0

2、 x处 连 续 ；（ 2 ）0ln(0)limxxxfx， 所 以 函 数 在0 x处 不 可 导 ；（ 3 ） 当0 x时 ，2( ),( )20f xxfxx，函数单调递增；当10 xe时，( )1ln0fxx，函数单调减少，所以函数在0 x取得极大值3设nu是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（）（A）1nnun（B）11( 1)nnnu(C）111nnnuu（D）2211()nnnuu【答案 】 （D）【详解 】设nu是单调增加的有界数列，由单调有界定理知limnnu存在， 记为limnnuu；又设n，满足nuM，则221111()()2()nnnnnnnnuuuuuuM uu，

3、且2210nnuu，则对于正项对于级数2211()nnnuu，前n项和：221111111()2()2()22nnnkkkknnkkSuuMuuM uuMuMu也就是2211()nnnuu收敛精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 2 4设函数2( , )xQ x yy，如果对于上半平面(0)y内任意有向光滑封闭曲线C都有( , )( , )0CP x y dxQ x y dy?那么函数( ,)P x y可取为（）（A）22xyy（ B

4、）221xyy（ C）11xy（D）1xy【答案 】 （D）【详解 】显然，由积分与路径无关条件知21PQyxy，也就是1( , )( )P x yC xy，其中( )C x是在(,)上处处可导的函数只有（D）满足5设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若22AAE，且4A，则二次型Tx Ax的规范形是（）（A）222123yyy（B）222123yyy（C）222123yyy（ D）222123yyy【答案 】 （C）【详解】假设是矩阵A的特征值，由条件22AAE可得220，也就是矩阵A特征值只可能是1和2而1234A，所以三个特征值只能是1231,2，根据惯性定理，二次型的规范型为222

5、123yyy6 如 图 所 示 ， 有 三 张 平 面 两 两 相 交 ， 交 线 相 互 平 行 ， 它 们 的 方 程123(1,2,3)iiiia xa ya zd i组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A，则（）（A）()2, ()3r Ar A（B）()2, ( )2r Ar A（C）()1, ()2r Ar A（D）( )1, ()1r Ar A【答案 】 （A）【详解 】(1)显然三个平面没有共同交点，也就是非齐次方程组无解，从而()( )r Ar A；（2）从图上可看任何两个平面都不平行，所以( )2r A；7 设,A B为随机事件，则( )( )P AP B的充

6、分必要条件是（）（A）()()( )P ABP AP BU（B）()() ()P ABP A P B精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 3 （C）()()P ABP BA（D）()()P ABP AB【答案 】 （C）【详解 】选项（ A）是,A B互不相容；选项（B）是,A B独立，都不能得到( )()P AP B；对于选项（ C） ，显然，由()()(),()()()P ABP AP ABP B AP BP AB，()()( )

7、()()()( )()P ABP BAP AP ABP BP ABP AP B8设随机变量X与Y相互独立，且均服从正态分布2(,)N则1 P XY（）（A）与无关，而与2有关（B）与有关，而与2无关（C）与，2都有关（D）与，2都无关【答案 】 （A）【详解 】由于随机变量X与Y相互独立，且均服从正态分布2(,)N，则2(0, 2)XYN，从而1111 11212222XYP XYPXYP只与2有关二、填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9设函数( )f u可导，(sinsin)zfyxxy，则11coscoszzxxyy【答案 】coscosyxxy

8、解：cos(sinsin),cos(sinsin )zzx fyxyyfyxxxy11coscoscoscoszzyxxxyyxy10微分方程2220yyy满足条件(0)1y的特解为y【答案 】32xye【详解 】把方程变形2220yyy得22()()20yy，即222(2)222xxd ydxyCeyCey精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 4 由初始条件(0)1y确定3C，所以32xye11.幂级数1( 1)(2 )!nnnxn

9、在(0,)内的和函数( )S x.看不清楚题目是1( 1)(2 )!nnnxn还是0( 1)(2 )!nnnxn，我以1( 1)(2 )!nnnxn给出解答【答案 】cos1x【详解 】注意20( 1)cos,(,)(2 )!nnnxxxn，从而有：110( 1)( 1)( 1)()()1cos1,(0,)(2 )!(2 )!(2 )!nnnnnnnnnxxxxxnnn12设为曲面22244(0)xyzz的上侧，则2244dxdyxz【答案 】32.3【详解 】显然曲面在xOy平面的投影区域为22( , ) |4xyDx yxy2222220043244dxdydxdydxdy2sin3xyx

10、zyydrdr13设123(,)A为三阶矩阵，若12,线性无关， 且3122，则线性方程组0Ax的通解为【答案 】121xk，其中k为任意常数【详解 】显然矩阵A的秩()2r A，从而齐次线性方程组0Ax的基础解系中只含有一个解向量由3122可知12320也就是121x为方程组基础解系，通解为121xk，其中k为任意常数14设随机变量X的概率密度为,02( )20,xxf x其他，( )F x为其分布函数，()E X其数学期望，则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - -

11、 - - - - - - - - 5 ()()1 P F XE X【答案 】2.3【详解 】20,01( ),0241,2xF xP Xxxxx，2204()23xE Xdx230122()()1()13233xP F XE XP F XP Xdx三、解答题15 （本题满分10 分）设函数( )y x是微分方程22xyxye满足条件(0)0y的特解（1）求( )y x； （2）求曲线( )yy x的凸凹区间及拐点【详解 】 （1）这是一个一阶线性非齐次微分方程先求解对应的线性齐次方程0yxy的通解：22xyCe，其中C为任意常数；再用常数变易法求22xyxye通解，设22( )xyC x e为

12、其解，代入方程，得2222( ),( )1xxC x eeC x，1( )1C xdxxC，也就是通解为：221()xyxC e把初始条件(0)0y代入，得10C，从而得到22( ).xy xxe（2）2222232222( ),( )(1),( )(3 )(3)(3)xxxxy xxey xexy xxx ex xxe令( )0yx得1233,0,3xxx当3x或03x时，0y，是曲线的凸区间；当30 x或3x时，0y，是曲线的凹区间曲线的拐点有三个，分别为3322(3,3),(0,0),(3,3)ee16（本题满分10 分） 设,a b为实数，函数222zaxby在点(3,4)处的方向导数

13、中， 沿方向34lijvvv的方向导数最大，最大值为10（1）求常数,a b之值；（2）求曲面222(0)zaxbyz的面积【详解 】 （1）222zaxby，则2,2zzaxbyxy；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 6 所以函数在点(3,4)处的梯度为(3,4)(3,4)|,6 ,8zzgradfabxy；223664gradfab由条件可知梯度与34lijvvv方向相同，且22366410gradfab也就得到2268343

14、66410abab解出11ab或11ab（舍）即11ab（2）222222200213144143SxySdSxy dxdydr rdr17 （本题满分10 分）求曲线sin(0)xyexx与x轴之间形成图形的面积【详解 】先求曲线与x轴的交点：令sin0 xex得,0,1,2,xkkL当2(21)kxk时，sin0 xyex；当2(22)kxk时，sin0 xyex由不定积分1sin(sincos )2xxexdxexxC可得2221sin(1)2kxkkexdxee，22221sin(1)2kxkkexdxee所求面积为22202200220022220sinsinsin11(1)(1)2

15、211111(1)(1)22121kkxxxkkkkkkkkkkSexdxexdxexdxeeeeeeeeee18 （本题满分10 分）设1201(0,1,2,)nnaxx dxnL（1）证明：数列na单调减少，且21(2,3,)2nnnaannL； （2）求极限1limnnnaa【详解 】 （1）证明：1201nnaxx dx，112101(0,1,2,)nnaxx dxnL当(0,1)x时，显然有1nnxx，11210() 10nnnnaaxxx dx，所以数列na单调减少；先设2200sincos,0,1,2,nnnIxdxdx nL则当2n时，1222220002sinsincos(1

16、)sincos(1)()nnnnnnIxdxxdxnxxdxnII精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 7 也就是得到22,0,1,1nnnIInnL令sin ,0,2xt t，则12222222000011sincossinsin2nnnnnnnnaxx dxttdtdttdtIIIn同理，2211nnnnaIIIn综合上述，可知对任意的正整数n，均有212nnanan，即21(2,3,)2nnnaannL；（2）由（ 1）的结论数

17、列na单调减少，且21(2,3,)2nnnaannL2111111222nnnnnannnaaannan令n，由夹逼准则，可知1lim1nnnaa19 （本题满分10 分）设是由锥面222(2)(1)(01)xyzz与平面0z围成的锥体，求的形心坐标【详解 】先计算四个三重积分：2221112000(2)(1)1(1)3zDxyzdvdzdxdydzdxdyzdz2221112000(2)(1)(1)12zDxyzzdvzdzdxdyzdzdxdyzzdz2221100(2)(1)0zDxyzxdvdzxdxdydzxdxdy2221112000(2)(1)22 (1)3zDxyzydvdzy

18、dxdydzydxdyzdz0 xdvxdv，2ydvydv，14zdvzdv从而设形心坐标为1( , , )(0,2,)4x y z注：其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体，则由体积公式显然13dv，且由对称性，明显0 x，2y精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 8 20 （本题满分11 分）设向量组1231112 ,3 ,123a为3R空间的一组基，111在这组基下的坐标为1bc（1）求, ,a b c之值；（2）证明：23

19、,也为3R空间的一组基，并求23,到123,的过渡矩阵【详解 】 （1）由123bc可得11231231bcbcabc，解方程组，得32 .2abc且当3a时，123111111,23301110123012，即123,线性无关，确实是3R空间的一组基（2）23111111,33100220231011， 显然23,线性无关，当然也为3R空间的一组基设23123,aP，则从23,到123,的过渡矩阵为1123123111111011111110,3312330.50.512330.5012311231.50.501230.500P21 （本题满分11 分）已知矩阵22122002Ax与2100

20、1000By相似（1）求,x y之值；（2）求可逆矩阵P，使得1P APB【详解 】 （1）由矩阵相似的必要条件可知：ABtrAtrB，即2( 24)241xyxy，解得32xy（ 2 ） 解 方 程 组221232(2)(2)(1)0002EA得 矩 阵A的 三 个 特 征 值1232,1,2；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 9 分别求解线性方程组()0(1,2,3)iEA xi得到分属三个特征值1232,1,2的线性无关的特

21、征向量为：1231112 ,1 ,2004令1123111,212004P，则1P可逆，且11212P AP；同样的方法，可求得属于矩阵B的三个特征值1232,1,2的线性无关的特征向量为：1231100 ,3,00014令2123110,030001P，则2P可逆，且12212P BP；由前面111122PAPPBP，可知令112111212004PPP，就满足1P APB22 （本题满分11 分）设随机变量,X Y相互独立，X服从参数为1 的指数分布，Y的概率分布为：1 P Yp，11P Yp，(01)p令ZXY（1）求Z的概率密度；（2）p为何值时，,X Z不相关；（3）此时，,X Z是

22、否相互独立【详解 】 （1）显然X的概率密度函数为,0( )0,0 xXexfxx先求ZXY的分布函数：( ),1,1 (1) 1( )(1()ZXXFzP ZzP XYzP Xz YP Xz Yp P XzpP XzFzpFz（）再求ZXY的概率密度：,0( )( )()(1)( )0,0(1),0zZZXXzpezfzFzpfzp fzzp ez（2）显然()1,()1;()12E XD XE Yp；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - -

23、- - 10 由于随机变量,X Y相互独立，所以()()()( )12E ZE XYE X E Yp；22()()()( )24E XZE X YE XE Yp；(,)()()()12COV X ZE XZE X E Zp；要使,X Z不相关， 必须(,)()()()120COV X ZE XZE X E Zp， 也就是0.5p时,X Z不相关；（3）,X Z显然不相互独立，理由如下：设事件1AX，事件1BZ，则11( )1xP AP Xe dxe；11()11,1 1,112P BP ZP XYP XYe；11()1,11,1(1,1 1P ABP XZP XXYP XYP XP Ypex，

24、当0.5p时，显然()()( )P ABP A P B，也就是,X Z显然不相互独立23 （本题满分11 分）设总体X的概率密度为22()2,( )0,xAexf xx，其中是已知参数，是未知参数，A是常数，12,nXXXL是来自总体X的简单随机样本（1）求常数A的值；（2）求2的最大似然估计量【详解 】 （1）由( )1f x dx可知222()2202122txAtedxAedA所以2A似然函数为212()22121,(,;)(,)0,niiXnnininiAexL XXXf xL其他，取对数，得22212211ln(,;)lnln()()22nniinL XXXnAXL解方程221222221ln(,;)11()0()22()nniidL XXXnXdL，得未知参数2的最大似然估计量为?2211()niiXn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -