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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1 2014 年考研数学一真题与解析 一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分 下列曲线有渐近线的是（A）xxysin （B）xxysin2（C）xxy1sin （D）xxy12sin【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以【详解】对于xxy1sin，可知1xyxlim且01xxyxxsinlim)(lim，所以有斜渐近线xy 应该选（C）2设函数)(xf具有二阶导数，xfxfxg)()()(110，则在,10上（）（A）当0)(xf时，)()(xgxf （B）当0)(xf时，)()(xg
2、xf（C）当0)(xf时，)()(xgxf （D）当0)(xf时，)()(xgxf【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法【详解 1】如果对曲线在区间,ba上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断如果对区间上任意两点21xx,及常数10，恒有)()()()(212111xfxfxxf，则曲线是凸的 显然此题中xxx,1021，则)()()(211xfxf)()()(xgxfxf110，而)()(xfxxf211，故当0)(xf时，曲线是凸的，即)()()()(212111xfxfxxf，也就是)()(xgxf，应该选（C）【详解 2】如果对曲线在区间,ba上凹凸的定义不熟悉的话，可令x
3、fxfxfxgxfxF)()()()()()(110，则010)()(FF，且)()(xfxF，故当0)(xf时，曲线是凸的，从而010)()()(FFxF，即0)()()(xgxfxF，也就是)()(xgxf，应该选（C）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2 设)(xf是连续函数，则yydyyxfdy11102),(（）210011010 xxdyyxfdxdyyxfdx),(),(（）0101110102xxdyyxfdxdyyxfdx),(),(）sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020drrr
4、fddrrrfd （）sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020rdrrrfdrdrrrfd【分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图【详解】积分区域如图所示 如果换成直角坐标则应该是 xxdyyxfdxdyyxfdx101010012),(),(，（A），（B）两个选择项都不正确；如果换成极坐标则为 sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020rdrrrfdrdrrrfd 应该选（D）若函数dxxbxaxdxxbxaxRba2211)sincos(min)sincos(,，则xbxasincos11（）xs
5、in2 （）xcos2 （）xsin2 （）xcos2 【详解】注意3232dxx，222dxxdxxsincos，0dxxxdxxxsincoscos，2dxxxsin，所以bbadxxbxax42322232)()sincos(所以就相当于求函数bba422的极小值点，显然可知当20ba,时取得最小值，所以应该选（A）行列式dcdcbaba00000000等于 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！3（A）2)(bcad （B）2)(bcad （C）2222cbda （D）2222cbda【详解】20000000000000000)(
6、)()(bcadbcadbcbcadaddcbabcdcbaaddccbabdcdbaadcdcbaba 应该选（B）6设321,是三维向量，则对任意的常数lk,，向量31k，32l线性无关是向量321,线性无关的（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件（C）充分必要条件 （D）非充分非必要条件【详解】若向量321,线性无关，则（31k，32l）Klk),(),(3213211001，对任意的常数lk,，矩阵K的秩都等于 2，所以向量31k，32l一定线性无关 而当000010001321,时，对任意的常数lk,，向量31k，32l线性无关，但321,线性相关；故选择（A）7设事件 A，
7、B 想到独立，3050.)(,.)(BAPBP则)(ABP（）（A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4【详解】)(.)(.)()()()()()(.)(APAPAPBPAPAPABPAPBAP505030 所以60.)(AP，)(ABP205050.)(.)()(APABPBP故选择（B）8设连续型随机变量21XX,相互独立，且方差均存在，21XX,的概率密度分别为)(),(xfxf21，随机变量1Y的概率密度为)()()(yfyfyfY21211，随机变量)(21221XXY，则 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！4（
8、A）2121DYDYEYEY,（B）2121DYDYEYEY,（C）2121DYDYEYEY,（D）2121DYDYEYEY,【详解】)()()(2212112121YEEXEXdyyfyfyEY，222121221212121EXEXdyyfyfyEY)()(，2212212121221222211221141414141412141412121DYXDXDXXEXDXDXEXEXEXEEXEXYEYEDY)()()()()()()()()()(故应该选择（D）二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）9曲面)sin()sin(xyyxz1122在点
9、),(101处的切平面方程为 【详解】曲面)sin()sin(xyyxz1122在点),(101处的法向量为),(|,),(1121101yxzz，所以切平面方程为0110112)()()(zyx，即012zyx 10设)(xf为周期为 4 的可导奇函数，且 2012,),()(xxxf，则)(7f 【详 解】当 20,x时，Cxxdxxxf2122)()(，由00)(f可 知0C，即xxxf22)(；)(xf为周期为 4 奇函数，故1117)()()(fff 11微分方程0)ln(lnyxyxy满足31ey)(的解为 【详解】方程的标准形式为xyxydxdyln，这是一个齐次型方程，设xyu
10、，得到通解为1Cxxey，将初始条件31ey)(代入可得特解为12 xxey 12设L是柱面122 yx和平面0 zy的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分Lydzzdx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！5【详解】由斯托克斯公式RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxL可知 xyDLdxdydxdydzdxdydzydzzdx 其中1022yxzy:取上侧，122yxyxDxy|),(13设二次型3231222132142xxxaxxxxxxf),(的负惯性指数是 1，则a的取值范围是 【详解】由配方法
11、可知 232232231323122213214242xaxxaxxxxxaxxxxxxf)()()(),(由于负惯性指数为 1，故必须要求042 a，所以a的取值范围是22,14设总体 X 的概率密度为其它,),(02322xxxf，其中是未知参数，nXXX,21是来自总体的简单样本，若niiXC12是2的无偏估计，则常数C=【详解】22222532dxxxXE)(，所以21225CnXCEnii，由于niiXC12是2的无偏估计，故125Cn，nC52 三、解答题 15（本题满分 10 分）求极限)ln()(limxxdttetxtx1112112【分析】先用等价无穷小代换简化分母，然后利
12、用洛必达法则求未定型极限【详解】欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！6 21121111111222121122112xxoxxxxexxdttetxxdttetxxxxtxxtx)(lim)(lim)(lim)ln()(lim 16（本题满分 10 分）设函数)(xfy 由方程06223yxxyy确定，求)(xf的极值【详解】解：在方程两边同时对x求导一次，得到 0223222)()(xyyyxxyy，（）即 222232xxyyxyydxdy 令0dxdy及06223yxxyy，得到函数唯一驻点21yx,在（）式两边同时对x求导一次
13、，得到（0223424622yyxxyyyxxyyyy)()(把0121)(,yyx代入，得到0941)(y，所以函数)(xfy 在1x处取得极小值2y 17（本题满分 10 分）设 函 数)(uf具 有 二 阶 连 续 导 数，)cos(yefzx满 足xxeyezyzxz222224)c o s(若0000)(,)(ff，求)(uf的表达式【详解】设yeuxcos，则)cos()(yefufzx，yeufyeufxzeufxzxxyxcos)(cos)(,)(cos2222;yeufyeufyzyeufyzxxxcos)(sin)(,sin)(2222；欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于
14、互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！7 xxxeyefeufyzxz222222)cos()(由条件xxeyezyzxz222224)cos(，可知 uufuf)()(4 这是一个二阶常用系数线性非齐次方程 对应齐次方程的通解为：uueCeCuf2221)(其中21CC,为任意常数 对应非齐次方程特解可求得为uy41*故非齐次方程通解为ueCeCufuu412221)(将初始条件0000)(,)(ff代入，可得16116121CC,所以)(uf的表达式为ueeufuu4116116122)(18（本题满分 10 分）设曲面)(:122zyxz的上侧，计算曲面积分：dxdy
15、zdzdxydydzx)()()(11133【详解】设11221yxz:取下侧，记由1,所围立体为，则高斯公式可得 47373366733113131111210202222223321rdzrrdrddxdydzyxdxdydzyxyxdxdydzyxdxdyzdzdxydydzx)()()()()()()()(在11221yxz:取下侧上，0111111133dxdydxdyzdzdxydydzx)()()()(，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！8 所以dxdyzdzdxydydzx)()()(11133=4111133dxdy
16、zdzdxydydzx)()()(19（本题满分 10 分）设数列 nnba,满足2020nnba,，nnnbaacoscos且级数1nnb收敛（1）证明0nnalim；（2）证明级数1nnnba收敛【详解】（1）证明：由nnnbaacoscos，及2020nnba,可得 20nnnbaacoscos，所以20nnba，由于级数1nnb收敛，所以级数1nna也收敛，由收敛的必要条件可得0nnalim（2）证明：由于2020nnba,，所以2222nnnnnnnnababbabasin,sin 222222222222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbbbabbabbababbabb
17、abasinsincoscos 由于级数1nnb收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数1nnnba收敛 20（本题满分 11 分）设302111104321A，E 为三阶单位矩阵（1）求方程组0AX的一个基础解系；欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！9（2）求满足EAB 的所有矩阵【详解】（1）对系数矩阵 A 进行初等行变换如下：310020101001310011104321134011104321302111104321A，得到方程组0AX同解方程组 43424132xxxxxx 得到0AX的一个基础解系13211（2）显然 B 矩阵
18、是一个34矩阵，设444333222111zyxzyxzyxzyxB 对矩阵)(AE进行进行初等行变换如下：141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE 由方程组可得矩阵 B 对应的三列分别为 1321011214321cxxxx，1321043624321cyyyy，1321011134321czzzz，即满足EAB 的所有矩阵为 321321321321313431212321162ccccccccccccB 其中321ccc,为任意常数 欢迎您阅读并下载本文
19、档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！10 21（本题满分 11 分）证明n阶矩阵111111111与n00200100相似【详解】证明：设A 111111111，Bn00200100 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111nnAE)(，所以 A 的n个特征值为0321nn,；而且 A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化且00A；1002010nnnBE)(所以 B 的n个特征值也为0321nn,；对于1n重特征值0，由于矩阵BBE)(0的秩显然为 1，所以矩阵 B 对应1n重特征值0的特征向量应该有1n个线性无关，进一步矩阵 B 存在n个
20、线性无关的特征向量，即矩阵 B 一定可以对角化，且00B 从而可知n阶矩阵111111111与n00200100相似 22（本题满分 11 分）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！11 设随机变量 X 的分布为2121)()(XPXP，在给定iX 的条件下，随机变量Y服从均匀分布210,),(iiU（1）求Y的分布函数；（2）求期望).(YE【详解】（1）分布函数)/()/()()/()()/(),(),()()(2121221121XyYPXyYPXPXyYPXPXyYPXyYPXyYPyYPyF 当0y时，0)(yF；当10 y时，
21、yyyyF4322121)(；当21 y时，214122121yyyF)(；当2y时，1)(yF 所以分布函数为 2121421104300yyyyyyyF,)(（2）概率密度函数为其它,)()(021411043yyyFyf，434432110dyyydyYE)(23（本题满分 11 分）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！12 设总体 X 的分布函数为00012xxexFx,),(，其中为未知的大于零的参数，nXXX,21是来自总体的简单随机样本，（1）求)(),(2XEXE；（2）求的极大似然估计量（）是否存在常数a，使得对任意的
22、0，都有0aPnnlim【详解】（）先求出总体 X 的概率密度函数 00022xxexxfx,),(，dxexedexdxexEXxxxx0000222222|；;dttedxexdxexEXtxx020203211222（）极大似然函数为 其它,),()(0021211ixininninixexxfLnii 当所有的观测值都大于零时，niiniixnxnLnL12112lnlnln)(，令0dLd)(ln，得的极大似然估计量为nxnii12；（）因为nXXX,21独立同分布，显然对应的22221nXXX,也独立同分布，又有（）个可知2iEX，由辛钦大数定律，可得0112niiinEXxnPlim，由前两问可知，nxnii12，2iEX，所以存在常数a，使得对任意的0，都有0aPnnlim 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！13