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1、第五节第五节 连续函数连续函数一、连续函数的定义一、连续函数的定义 二、函数的间断点二、函数的间断点三、连续函数的运算法则三、连续函数的运算法则四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性可见,函数在点一、一、连续函数的定义连续函数的定义定义定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数连续函数.例如例如,在上连续.(有理整函数)又如又如,有理分式函数在其定义域内连续.在闭区间上的连续函数的集合记作只要都有对自变量的增量有函数的增量左连续右连续当时,有函数在点
2、连续有下列等价命题:例例 1.证明函数在内连续.证证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.例例2.确定常数A,B,使得函数在x=0处连续.练习练习.证明函数在 连续.在在二、二、函数的间断点函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但 不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数 f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点间断点.在无定义;间断点分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点无穷间断点.为振荡间断点振
3、荡间断点.为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如例如:显然为其可去间断点.(4)(5)定理定理2.连续、严格单调增加 函数的反函数在其定义域内连续三、连续函数的运算法则三、连续函数的运算法则定理定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如例如,例如例如,在上连续严格单调递增，其反函数(减少).在 1,1 上也连续严格单增.(减少)也连续、严格单调增加定理定理3.连续函数的复合函数是连续的.在上连续 严格单增,其反函数在上也连续严格单增.如果函数则复合函数又如又如,且例如例如,是由连续函数链
4、因此在上连续.复合而成,例例1.设均在上连续,证明函数也在上连续.证证:根据连续函数运算法则,可知也在上连续.四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而例例2.利用初等函数的连续性求下列极限利用初等函数的连续性求下列极限例例3.设函数设函数例例4.设解解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类间断点.在点 x=1 不连续,备用题备用题 确定函数间断点的类型.解解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.内容小结内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式 内容小结内容小结基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.作业：作业：p-81 习题习题1.5 1(1),(3);2(1),(3),(5),(7)3(3),(8),(10)