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1、第二节第二节 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如：熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如：1)巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)滤波器滤波器 2)切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)滤波器滤波器 3)椭圆椭圆(Ellipse)滤波器滤波器 4)贝塞尔贝塞尔(Bessel)滤波器滤波器 这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。和图表供设计人员使用。1、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法、模拟低通滤波器
2、的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有模拟低通滤波器的设计指标有 p p,p p,s s和和和和s s。p和和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率，分别称为通带截止频率和阻带截止频率，p是通带是通带(0p)中的最大衰减系数中的最大衰减系数 s是阻带是阻带s的最小衰减系数的最小衰减系数c称为称为3dB截止频率：截止频率：滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数数Ha(s)，希望其希望其幅度平方函数幅度平方函数满足给定的指标满足给定的指标 p和和 s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，有：一般滤波器的单位冲激响应为实数，有：2、巴特沃斯低通滤波器
3、的设计方法、巴特沃斯低通滤波器的设计方法(1)巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2 用下式表示：用下式表示：N越大，越接近理想滤波器，越大，越接近理想滤波器，N越大，滤波器的实现也越复杂。越大，滤波器的实现也越复杂。(2)幅度平方函数极点分布及幅度平方函数极点分布及Ha(s)的构成的构成将幅度平方函数将幅度平方函数|Ha(j)|2写成写成s的函数：的函数：上式表明，极点上式表明，极点sk用下式表示：用下式表示：为形成稳定的滤波器，为形成稳定的滤波器，2N个极点中个极点中只取只取s平面左半平面的平面左半平面的N个极点构成个极点构成Ha(s)，而右半平面
4、的而右半平面的N个极点构成个极点构成Ha(-s)。Ha(s)的表示式为的表示式为设设N=3，极点有极点有6个，它们分别为个，它们分别为取取s平面左半平面的极点平面左半平面的极点s0,s1,s2组成组成Ha(s)：(3)频率归一化频率归一化 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对的频率归一化。这里采用对3dB截止频率截止频率c归一化，归一归一化，归一化后的化后的Ha(s)表示为表示为 式中，式中，s/c=j/c。令令=/c，称为归一化频率称为归一化频率；令；令 p=j=j/c，p 称为归一化复变量，这样归一化巴特沃
5、斯的传输函数为称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为式中，式中，pk为归一化极点，用下式表示：为归一化极点，用下式表示：带入带入Ha(p)表达式，得到的表达式，得到的Ha(p)的分母是的分母是p的的N阶多项式，阶多项式，用下式表示：用下式表示：归一化的传输函数系数归一化的传输函数系数Ha(p)的系数以及极点可以查表得到。的系数以及极点可以查表得到。表表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数巴特沃斯归一化低通滤波器参数(4)阶数阶数N的确定的确定 阶数阶数N的大小主要影响幅度特性下降的速度，它应该的大小主要影响幅度特性下降的速度，它应该由技术指标确定。将由技术指标确定。将=p代入幅度
6、平方函数中代入幅度平方函数中:将将=s代入幅度平方函数中代入幅度平方函数中:用上式求出的用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。的最小整数。关于关于3dB截止频率截止频率c，如果技术指标中没有给出，如果技术指标中没有给出，可以按照下面两式求出：可以按照下面两式求出：通常是用一个算出通常是用一个算出c，然后用另一个然后用另一个(反过来反过来)来检来检验。验。总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标根据技术指标p,p,s,s，求出滤波器的阶数求出滤波器的阶数N。(2)求出归一化极点求出归一
7、化极点pk，得到归一化传输函数得到归一化传输函数Ha(p)。(3)将将Ha(p)去归一化。将去归一化。将p=s/c代入代入Ha(p)，得到实际的滤波器得到实际的滤波器 传输函数传输函数Ha(s)。例：例：已知通带截止频率已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减通带最大衰减 p=2dB，阻带阻带截止频率截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减阻带最小衰减 s=30dB，按照以上技术指按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。标设计巴特沃斯低通滤波器。解：解：(1)确定阶数确定阶数N：(2)求极点：求极点：归一化传输函数为归一化传输函数为 上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一上式分
8、母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。不如直接查表简单，由起，形成因式分解形式。不如直接查表简单，由N=5，直接查直接查表得到：表得到：极点：极点：-0.3090其中：其中：b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4(3)为将为将Ha(p)去归一化，先求去归一化，先求3dB截止频率截止频率c。将将p=s/c代入代入Ha(p)中得到：中得到：检验：检验：可以看出，满足可以看出，满足 s=30dB 的真实的真实fskHz处，与处，与12kHz比，比，还有富裕量。还有富裕量。4、模拟滤波器的频率变换、模拟滤波器的频率变换 模拟高
9、通、带通、带阻滤波器的设计模拟高通、带通、带阻滤波器的设计(1)低通到高通的频率变换低通到高通的频率变换和和之间的关系为之间的关系为 上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通知低通G(j)，高通高通H(j)则用下式转换：则用下式转换：模拟高通滤波器的模拟高通滤波器的设计设计步骤如下：步骤如下：A、确定确定高通滤波器的技术指标高通滤波器的技术指标：通带下限频率：通带下限频率p，阻带上限频率阻带上限频率s，通带最大衰减通带最大衰减 p，阻带最小衰阻带最小衰 减减 s。B、确定相应低通滤波器的设计指标，确定相应低通滤波器的设计指标，将高通滤波器将高通滤波
10、器 的边界频率转换成低通滤波器的边界频率的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项，各项 设计指标为：设计指标为：低通滤波器通带截止频率低通滤波器通带截止频率p=1/p；低通滤波器阻带截止频率低通滤波器阻带截止频率s=1/s；通带最大衰减仍为通带最大衰减仍为 p，阻带最小衰减仍为阻带最小衰减仍为 s。C、设计归一化低通滤波器设计归一化低通滤波器G(p)。D、求模拟高通的求模拟高通的H(s)。将将G(p)先转换成归一化高先转换成归一化高通通H(q)，再去归一化，得再去归一化，得H(s)：回忆低通滤波器的去归一化：回忆低通滤波器的去归一化：例：例：设计高通滤波器，设计高通滤波器，fp=200Hz、
11、fs=100Hz，幅度特性单调下幅度特性单调下 降，降，fp处最大衰减为处最大衰减为3dB，阻带最小衰减阻带最小衰减 s=15dB。解：解：高通技术要求高通技术要求fp=200Hz p=3dBfs=100Hz,s=15dB归一化频率归一化频率低通技术要求：低通技术要求：设计归一化低通设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故采用巴特沃斯滤波器，故 求模拟高通求模拟高通H(s)：(2)低通到带通的频率变换低通到带通的频率变换低通与带通滤波器的幅度特性如图：低通与带通滤波器的幅度特性如图：由由与与的对应关系，得到：的对应关系，得到：由上表知由上表知p对应对应u，代入上式中，有代入上式中，有 上
12、式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的上式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。边界频率转换成低通的边界频率。下面推导由归一化低通到带通的转换公式：下面推导由归一化低通到带通的转换公式：将将q=j代入上式，得到：代入上式，得到：为去归一化，将为去归一化，将q=s/B代入代入 ，得到：，得到：模拟带通的设计步骤模拟带通的设计步骤A、确定模拟带通滤波器的技术指标，即：确定模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率带通上限频率u，带通下限频率带通下限频率l下阻带上限频率下阻带上限频率s1,上阻带下限频率上阻带下限频率s2 通带中心频率通带中心频率02=
13、lu，通带宽度通带宽度B=u-l与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：B、确定归一化低通技术要求：确定归一化低通技术要求：s与与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s，这样保证在较大的这样保证在较大的s处更能满足要求。处更能满足要求。通带最大衰减仍为通带最大衰减仍为 p，阻带最小衰减亦为阻带最小衰减亦为 s。C、设计归一化低通设计归一化低通G(p)。D、将将G(p)转换成带通转换成带通H(s)。例：设计模拟带通滤波器，通带带宽例：设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2200rad/s，中中 心频率心频率0=21000
14、rad/s，通带内最大衰减通带内最大衰减 p=3dB，阻带阻带s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻带最阻带最 小衰减小衰减 s=15dB。解解：(1)模拟带通的技术要求模拟带通的技术要求0=21000rad/s,p=3dBs1=2830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/s;0=0/B=5,s1=s1/B=4.15,s2=s2/B=6(2)模拟归一化低通技术要求：模拟归一化低通技术要求：取取s=1.833,p=3dB,s=15dB。(3)设计模拟归一化低通滤波器设计模拟归一化低通滤波器G(p)：取取N=3，查表得：查表得：(4)求模拟带
15、通求模拟带通H(s)：(3)低通到带阻的频率变换低通到带阻的频率变换低通与带阻滤波器的幅频特性如图低通与带阻滤波器的幅频特性如图 l和和u分别是下通带截止频率和上通带截止频率，分别是下通带截止频率和上通带截止频率，s1和和s2分别为阻带的下限频率和上限频率，分别为阻带的下限频率和上限频率，0为阻带中心频率，为阻带中心频率，02=ul，阻带带宽阻带带宽B=u-l，B作为归一化参考频率。作为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为：相应的归一化边界频率为：u=u/B,l=l/B,s1=s1/B,s2=s2/B;02=ul 根据根据与与的对应关系，可得到：的对应关系，可得到：且且u-l=1，p=1，上
16、式称为低通到带阻的频率变换公式。上式称为低通到带阻的频率变换公式。将上式代入将上式代入p=j，并去归一化，可得：并去归一化，可得：上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。设计带阻滤波器的步骤设计带阻滤波器的步骤A、确定模拟带阻滤波器的技术要求：确定模拟带阻滤波器的技术要求：下通带截止频率下通带截止频率l，上通带截止频率上通带截止频率u阻带下限频率阻带下限频率s1，阻带上限频率阻带上限频率s2阻带中心频率阻带中心频率02=ul，阻带宽度阻带宽度B=u-l它们相应的归一化边界频率为它们相应的归一化边界频率为 l=l/B,u=u/B,s1=
17、s1/B,s2=s2/B,20=ul以及通带最大衰减以及通带最大衰减 p和阻带最小衰减和阻带最小衰减 s。B、确定归一化模拟低通技术要求，确定归一化模拟低通技术要求，取取s和和-s的绝对值较小的的绝对值较小的s；通带最大衰减为通带最大衰减为 p，阻带最阻带最小衰减为小衰减为 s。C、设计归一化模拟低通设计归一化模拟低通G(p)D、将将G(p)转换成带阻滤波器转换成带阻滤波器H(s)例：设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：例：设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：l=2905rad/s,s1=2980rad/s,s2=21020rad/s,u=21105rad/s,p=3dB,s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。试设计巴特沃斯带阻滤波器。解解:(1)模拟带阻滤波器的技术要求：模拟带阻滤波器的技术要求：l=2905,u=21105;s1=2980,s2=21020;02=lu=421000025,B=u-l=2200;l=l/B=4.525,u=u/B=5.525;s1=s1/B=4.9,s2=5.1;20=lu=25(2)归一化低通的技术要求：归一化低通的技术要求：(3)设计归一化低通滤波器设计归一化低通滤波器G(p)：(4)带阻滤波器的带阻滤波器的H(s)为：为：