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1、 模拟滤波器的设计常 华Tel:62736910中国农业大学信息与电气工程学院2009年年6月月30日日模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计对信号进行分析和处理时，常遇到有用信号被噪声污染的问题。因此，从信号中消除或减弱噪声，成为信号传输与处理中十分重要的问题。根据有用信号与噪声的不同特性，消除或减弱噪声，提取有用信号的过程称为滤波。实现滤波功能的系统或装置称滤波器。经典的滤波器是具有选颁特性的电路，当噪声与有用的信号具有不同的频带时，它们通过滤波器后，噪声将被衰减乃至消除，有用的信号得以保留。System输入输出信号通过线性系统不失真的条件信号通过线性系统不失真的条件信号在传输的过程中，由于传输
2、系统的影响，总会产生某种程度的失真。信号的不失真传输，是指系统的零状态响应与激励的波形相比，只有幅度的大小和出现的时刻有所不同，不存在形状上的变化。若系统的激励信号为x(t)，响应为y(t)，则不失真传输的含义用数学公式表示为式中，K为常数，t0为滞后时间上式表明，与激励信号x(t)相比，系统的响应信号y(t)的幅度变为原信号的K倍，在时间上延迟t0，波形的形状不变。不失真传输时系统的激励响应曲线不失真传输时系统的激励响应曲线关于信号通过线性系统不失真的条件，不加以证明地给出以下结论|H(j)|()x(t)y(t)ttt0-t0表明：信号不失真传输时要求系统的幅频特性|H(j)|为一常数，且相
3、频特性()为过原点的直线(即具有线性相位特性)，如上图所示。理想模拟滤波器理想模拟滤波器用于处理模拟信号的滤波器称为模拟滤波器模拟滤波器分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器和全通滤波器等类型，幅频特性曲线如下图所示。理想滤波器通带内的幅频特性均具有不失真传输的特性。这种特性实际上不可实现。实际滤波特性的通带与阻带之间没有明显的界限，而是逐渐过渡的。理想低通滤波器的冲激响应理想低通滤波器的冲激响应求H(j)的傅立叶逆变换，可得该滤波器的冲激响应为h(t)。()-t-t0 0常见一种理想低通滤波器具有矩形幅频特性和线性相位特性|H(j|H(j)|)|1 1 c-c可见，冲激响应是一个
4、延时t0的抽样函数Sac(t-t0)。由于冲激响应在激励出现之前(t0)就已出现，因此该滤波器为非因果系统，在物理上不可实现。定理：一个线性时不变连续系统属于因果系统的充分必要条件是：当t -10dB -10dB解：根据已知条件有解：根据已知条件有两式相除消去c，得将两式带入|H(j)|2得联立方程0k1k21 1 c c 2 2 dBdB10.790.324.77 HzHz 3.18 HzHz|H(j)|H(j)|将N解出选N=4，查表得4阶归一化c1巴特沃斯低通滤波器的传递函数为值得指出的是，此时的滤波器为截至频率c1 rad/s(f=0.16Hz)时的低通滤波器。将N4，带入对应的式子求
5、解c。如果要求通带在1处刚好达到指标k1，则将N带入(a)式；如果要求通带在2处刚好达到指标k2，则将N带入(b)式求取c(实际滤波器的截止频率)。显然，本题在求解c时应使用(a)式。解得c21.387(fc=3.4Hz)此c是衰减为3dB时的频率(截止频率)。当c时，用s/c置换H4(s)中的s并化简得上式就是所设计的滤波器传递函数。从系统得角度而言，此滤波系统为一四阶系统，为了实现得方便，可用两个二阶系统串连构成。例：试确定一低通巴特沃斯滤波器的传递函数。要求在通带频率fc=2kHz处，衰减3db，阻带始点频率fs=4kHz处，衰减15db0k1k2c c 2 2dBdB10.7070.1
6、784 HzHz 2 HzHz|H(j)|H(j)|选N=3，查表得3阶归一化c1巴特沃斯低通滤波器的传递函数为当c12566 rad/s时，用s/c置换H3(s)中的s并化简得常用巴特沃斯低通滤波器传递函数常用巴特沃斯低通滤波器传递函数H HN N(s)(s)分母多项式分母多项式B BN N(s)(s)的因式分解表的因式分解表NBN(s)1s+12s2+1.4142s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180s+1)6(s2+0.5176s+1)(s2+1.4142s+1)(s2+1.
7、9319s+1)高通滤波器、带通、带阻滤波器可由低通滤波器转换而成高通滤波器、带通、带阻滤波器可由低通滤波器转换而成常用巴特沃斯低通滤波器传递函数常用巴特沃斯低通滤波器传递函数H HN N(s)(s)分母多项式分母多项式B BN N(s)(s)系数表系数表(b b0 0=1=1)Nb1b2b3b4b5b6b721.414232.00002.000042.61313.41422.613153.23615.23615.23613.236163.86377.46419.14167.46413.863774.4939 10.0978 14.5918 14.5918 10.09784.493985.12
8、58 13.1371 21.8462 25.6884 21.8462 13.13715.1258高通、带通、带阻滤波器的设计高通、带通、带阻滤波器的设计得到归一化低通滤波器的模型后，可以通过频率变换的方法得到实际滤波器模型。变换类型变换类型变换关系式变换关系式注释注释低通原型低通原型低通低通s s/cc：高、低通截止频率；：高、低通截止频率；l：通带低端截止频率：通带低端截止频率h：通带高端截止频率：通带高端截止频率02=hl低通原型低通原型高通高通s c/s低通原型低通原型带通带通s (s2+02)/s(h-l)低通原型低通原型带阻带阻s s(h-l)/(s2+02)至此，我们已经解决了所有
9、实际滤波器模型的问题。剩下的问题是如何实现所设计的滤波器。例：设计一阶巴特沃斯低通滤波器，在此基础上按给定指标设计高通、带通、带阻滤波器。低通滤波器：截止频率fc=4kHz(c25133 rad/s)归一化低通滤波器的数学模型为低通滤波器的数学模型为(fc=4kHz)高通滤波器的数学模型为(fc=4kHz)带通滤波器的数学模型为(fl=2kHz，fh=6kHz)带阻滤波器的数学模型为(fl=2kHz，fh=6kHz)l=12566H=376990无源模拟滤波器的设计无源模拟滤波器的设计根据对滤波器的了解，可以得出一个结论：只要系统输出信号的频谱与输入信号的频谱不一致频率成分发生了变化(某些频率
10、成分得到加强、某些频率成分被削弱甚至阻断)，我们就可以将此系统广义地视为是一个滤波器系统。手机、收音机、电视机、雷达。换言之，只要系统包含有零、极点，就可以将此系统广义地视为是一个滤波器系统。对于无源元件构成的电路滤波器系统(元件本身并不释放额外的能量)而言，常见的是R、L、C电路。如何根据给定的模型用R、L、C电路构造滤波器就是我们要解决的问题。根据我们对系统的知识：任何一个复杂系统都可以由根据我们对系统的知识：任何一个复杂系统都可以由若干个简单系统组合而成若干个简单系统组合而成简单系统简单系统(一阶、二阶一阶、二阶系统系统)的串并联的组合，写成下面的形式的串并联的组合，写成下面的形式：无源
11、系统的可实现条件网络函数(传递函数)可以写出多种多样的形式，但并不是每一种形式都可以实现。R(s)Y(s)H2(s)H1(s)H(s)H(s)R(s)Y(s)H1(z)H2(s)+例如：某二端网络的例如：某二端网络的阻抗函数阻抗函数如右式。将其改写为如右式。将其改写为若某二端阻抗函数为阻抗函数如右式。将其改写为系统I(s)U(s)12H H1F1显然，该系统应是由1F电容与-1电阻串联组成，由于负电阻不是耗能元件而是含源部件，因此所给定的阻抗函数用无源元件是无法实现的。U(s)I(s)二端无源网络的综合所谓二端无源网络的综合就是用R、L、C无源元件实现阻抗函数或导纳函数1、RC综合将网络的阻抗
12、函数Z(s)分解成由一系列RC并联电路为子系统Zi(s)的串接形式，则有注意：分母是导纳的并联。R1R2Rm系统I(s)U(s)Z(s)R01/C1s1/C2s1/CmsZ(s)已知网络的阻抗函数为求其极点，用待定系数法分解系统的阻抗函数。注意：传递函数中的所描述的元件参数均以国际单位计量。(欧姆)、H(亨)、F(法拉)于是可得31/6F1/3F2/32、RL综合将网络导纳函数Y(s)分解成由一系列RL串联电路为子系统Yi(s)的并接形式，则有系统I(s)U(s)Y(s)于是可得R0Y(s)R1R2RmL1sL2sLms已知网络的导纳函数为求其极点，用待定系数法分解系统的导纳函数。1/31/6
13、H1/3H2/33、LC综合一个系统仅由电抗元件L、C构成称为LC综合。串接形式系统I(s)U(s)Z(s)Lms1/C1s1/C2s1/CmsZ(s)L1sL2sL0s系统I(s)U(s)Y(s)C0sY(s)C1C2CmL1sL2sLms并接形式已知系统的阻抗函数为求其两种实现。128/81H9/128FZ(s)9/25F1HY(s)1/3F2/75F3H3/2H二端网络的输入、输出均在同一端对上，如果输入输出在不同端对且在系统内部不包含有含源器件，则称为无源四端网络。四端网络共有四种传递函数：l 输出电压/输入电流转移阻抗函数l 输出电流/输入电压转移导纳函数l 输出电压输出电压/输入电
14、压电压传输函数输入电压电压传输函数l 输出电流/输入电流电流传输函数无源四端网络的可实现条件系统应为稳定系统：lH(s)是一实系数有理函数且分母多项式B(s)是一霍尔维茨多项式；lH(s)的极点均位于s平面的左半平面，不能在j轴上；lH(s)的零点可位于s平面的任何位置。四端无源网络四端无源网络(二端口网络二端口网络)的综合的综合设对任意给定四端网络函数H(s)=k0/p(s)+q(s)而言，可以通过p(s)/q(s)或q(s)/p(s)，运用辗转相除法将其展成连分式表示形式。Z1Z3Z5Y2Y4Y6Z3Z5Y2Y4Y6设给定传递函数阻抗阻抗(电感电感)导纳导纳(电容电容)将将H(s)看成看成
15、阻抗函数阻抗函数辗转相除图示辗转相除图示辗转相除：本次除数成为下一次的被除数；本次余数成为下一次的除数。s3+2s2s2+1s/2 Z1s3+s/22s2+14s/3 Y23s/22s23s/23s/2 Z313s/20 2s2+12s2+1s3+2s0 Z10s3+2ss/2 Y22s2+1s3+s/23s/22s23s/23s/2 Y413s/204s/3 Z3p(s)/q(s)示例示例q(s)/p(s)示例示例可以发现此转移导纳函数H(s)与设定的传递函数是一致的。换言之，由上图所构成的电路具有所要求的传递函数功能。如果要求得电压传输函数(a)式的二端网络结构应为1/2H3/2H4/3F
16、 Z(s)列出电路的网孔方程如 果4/3F1/2H3/2He(t)+-1I1I2(b)式的二端网络结构应为 Z(s)3/2F4/3H1/2F同理，列出节点电压方程，可以求出转移阻抗函数。可以发现此转移阻抗函数H(s)与设定的传递函数是一致的。i(t)+-13/2F4/3H1/2FV1V2换言之，由上图所构成的电路具有所要求的传递函数功能。如果要求取电压转移函数前极给出的是电压信号，则需要将其转换为电流信号，稍复杂一些。若展开式的为(a)式，H(s)为转移导纳(使用更方便一些)；若展开式的为(b)式，H(s)为转移阻抗。如 果无源模拟滤波器的实现无源模拟滤波器的实现步骤：l根据给定工程需要的参数
17、，确定滤波器的类型构造归一化滤波器(截止频率c=1 rad/s)，写出其数学模型；l运用辗转除法构造电路构成形式；l查表、计算求得实际电路参数(频率、参数去归一化)。当电路形式确定以后，我们便不关心滤波器的模型了。无源模拟滤波器有一套规范的设计方法和表格。当归一化滤波器设计出来后，可通过标准的计算方法求得实际电路参数。选N=3，查表得3阶归一化c1巴特沃斯低通滤波器的传递函数例：试确定一巴特沃斯低通滤波器的传递函数。要求在通带频率c=105 rad/s处，衰减3db，阻带始点频率s=4105 rad/s处，衰减35db；负载电阻R0=103。0k1k2c c 2 2dBdB10.7070.01
18、863.7kHzHz 15.9kH Hz z|H(j)|H(j)|由给定电压传输函数确定出电路形式是由条件的：l根据工程需求得到的H3(s)模型是经过频率归一化后的滤波器模型(c1 rad/s时的滤波器模型)；l电路参数也是经过参数归一化后的参数；l该模型是当负载电阻为1时的模型；去归一化处理：计算基本参数1/2H3/2H4/3F Z(s)1/2H3/2H4/3Fe(t)+-1所有这些都需所有这些都需要转化成实际要转化成实际滤波器参数。滤波器参数。Z1Y2Z3常用巴特沃斯低通滤波器电路的归一元件系数表常用巴特沃斯低通滤波器电路的归一元件系数表NRs123456721.4142 0.707131
19、.5000 1.3333 0.500041.5307 1.5772 1.0824 0.382751.5451 1.6944 1.3820 0.8944 0.309061.5529 1.7593 1.5529 1.2016 0.7579 0.258871.5576 1.7988 1.6588 1.3972 1.0550 0.6560 0.2225N 1/Rs1234567电流源：电压源：上一页题结果L1 15mHC2 13nFL2 5mHe(t)+-1k设计一四阶巴特沃斯低通滤波器，截止频率fc=4kHz，负载电阻R0=150，求实际滤波电路及元件参数。查表：(Rs为电源内阻)e(t)+-150
20、6.460mH9.136mH418nF102nFL1L3C2C4实际设计一个高通模拟滤波器的实现高通模拟滤波器的实现如前所述，当设计出归一化低通滤波器数学模型后，可以通过频率变换的方法得到高通、带通、带阻滤波器的数学模型。同理，当得到一个低通滤波器的物理实现后，也可以通过参数的变换得到高通、带通、带阻滤波器的物理实现。设截止频率为c的低通滤波器的物理实现已知，则其去归一化参数i、i也为已知。于是，具有相同截止频率为c的高通滤波器的物理实现将为：在低通电路中电感系数为i 的电感元件变换为系数为1/i 的电容元件；在低通电路中电容系数为i 的电容元件变换为系数为1/i 的电感元件；L3 6.460
21、mHL1 9.136mH418nF102nFC2C4C1C3L2L4带通模拟滤波器的实现设截止频率为c的低通滤波器的物理实现已知。m为带通相对通带宽度的倒数：m=c/(h-l)则，具有中心频率为c的带通滤波器的物理实现为：低通电路中电感系数为i 的电感元件变换成系数为mi 的电感和系数为1/(mi)电容所构成的串连支路；将低通电路中电容系数为i 的电容元件变换成系数为1/(mi)的电感和系数为mi的电容所构成的并连支路；L3 6.460mHL1 9.136mH418nF102nFC2C4设：m=c/(h-l)=4kHz/(4.5kHz-3.5kHz)=4可以猜想出带阻滤波器是什么样子。值得注意
22、的问题：输入阻抗、输出阻抗、四种传输函数、电路的构成形式、元件选用产生的误差、单侧电阻与双侧电阻、负载电阻、结果修正、信号衰减问题。单位换算问题：36.56 mH0.9459 mH25.84 mH4.5395 mH0.043 uF0.0612 uF1.6731 uF0.3558 uFe(t)+-150无源LC滤波器的缺点是当频率较低时，电感元件的体积、重量较大。于是，人们从上世纪50年代起，大力研究有源RC滤波器。1955年由萨林提出了具有不同滤波特性的二阶电路，电路由R、C和运放组成。有源元件分析设运算放大器为理想运放有源二阶有源二阶RCRC滤波器的设计滤波器的设计ZfZ1V1VoVi1 可
23、见，只要我们合理地搭配零极点就可以得到想实现得滤波器。这些阻抗可以用电感，也可以用电容实现，但常用电容实现。其中，如果元件为电阻Y=1/R；如果元件为电容Y=sC；只要改变元件的组成形式，即可形成高通、低通二阶滤波器。典型的萨林二阶有源滤波器分析负增益二阶滤波器V2-列写节点电压方程根据“虚地”和“虚断”的概念将VA带入上式，得到电压传输函数。Y1Y3V1-Y2Y4Y5VB+-+VA综合步骤：综合步骤：得到归一化二阶滤波器模型；得到归一化二阶滤波器模型；得到实际滤波器模型；得到实际滤波器模型；用待定系数法列写方程；用待定系数法列写方程；确定电容或电阻值；求解电阻确定电容或电阻值；求解电阻或电容
24、值。或电容值。R1R3-C2R4C5V1+-V2+-负增益二阶低通滤波器设计一截止频率fc=4000Hz(c=25133)的有源滤波器。二阶归一化巴特沃斯滤波器模型为：实际滤波器模型电路模型电路模型R1R2C3C4Kr(K-1)rV1V2+正增益二阶低通滤波器+-K为闭环为闭环增益增益设R1、R3、R4为10k，有由b1解出C2，带入b0式解出C5。最后一步：仿真检验。同理，可以设计出其它功能滤波器。变换类型变换类型变换关系式变换关系式注释注释低通原型低通原型低通低通s s/cc：高、低通截止频率；：高、低通截止频率；l：通带低端截止频率：通带低端截止频率h：通带高端截止频率：通带高端截止频率
25、02=hl低通原型低通原型高通高通s c/s低通原型低通原型带通带通s (s2+02)/s(h-l)低通原型低通原型带阻带阻s s(h-l)/(s2+02)对二阶高通滤波器而言，电路模型应为C1C3R2R4Kr(K-1)rV1V2+正增益二阶高通滤波器+-K为闭环为闭环增益增益负增益二阶高通滤波器Y1Y3V1V2-Y2Y4Y5VB+-+-作业：1、推导负增益二阶高通滤波器数学模型。设计一截止频率fc=4000Hz负增益的二阶有源高通滤波器。几种常见有源滤波器形态通带增益为通带增益为传递函数传递函数一阶低通有源滤波器一阶低通有源滤波器一阶高通有源滤波器一阶高通有源滤波器通带增益为通带增益为传递函
26、数传递函数二阶低通有源滤波器传递函数二阶低通有源滤波器传递函数通通常常有有C1=C2=C，联联立立求求解解以以上上三三式式，可可得得滤滤波波器器的传递函数的传递函数通带增益为通带增益为截止频率截止频率 0=1/RC通带增益为通带增益为传递函数为传递函数为二阶压控型低通有源滤波器二阶压控型低通有源滤波器通带增益应小于通带增益应小于33才能保障电路稳定工作。才能保障电路稳定工作。品质因数品质因数Q值为值为截止频率截止频率二阶压控型高通有源滤波器二阶压控型高通有源滤波器通带增益为通带增益为传递函数为传递函数为品质因数品质因数Q值为值为截止频率截止频率通带增益应小于通带增益应小于33才能保障电路稳定工作。才能保障电路稳定工作。二阶带通、带阻有源滤波器二阶带通、带阻有源滤波器典型有源滤波器实验1、设计一二阶低通滤波器，截止频率1000Hz，通带增益5dB，Q=3，输入阻抗大于20k，说明改变Q值的方法。2、设计一二阶高通滤波器，截止频率1000Hz，通带增益5dB，Q=3，输入阻抗大于20k，说明改变Q值的方法。3、按给定电路设计一带通滤波器，中心频率1000Hz，通带宽度1000Hz，通带增益5dB，输入阻抗大于20k，说明滤波器阶数。4、按给定电路设计一带阻滤波器，中心频率1000Hz，阻带宽度1000Hz，通带增益5dB，输入阻抗大于20k，说明滤波器阶数。谢 谢 各 位