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1、邬晓红邬晓红信号与系统信号与系统11.LTI系统对复指数信号的响应系统对复指数信号的响应(Ch.3.1)2.连续时间周期信号的傅立叶级数表示连续时间周期信号的傅立叶级数表示(Ch.3.2)3.收敛性和吉伯斯现象收敛性和吉伯斯现象(Ch.3.3)4.傅立叶级数与傅立叶级数与LTI系统系统(Ch.3.8)5.滤波滤波(Ch.3.9)第三章第三章 周期信号的傅立叶级数表示周期信号的傅立叶级数表示 (Fourier Series Representation of Periodic Signals)2傅里叶傅里叶(17681830)周期信号都可以表示为成周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加谐波
2、关系的正弦信号的加权和。权和。非周期信号都可以用正弦非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示。信号的加权积分来表示。最重要的两个贡献：最重要的两个贡献：3第三章第三章 傅立叶级数傅立叶级数3.1 LTI系统对复指数信号的响应系统对复指数信号的响应The Response of LTI Systems to Complex Exponentials时域基本信号单元单位：脉冲和单位冲击信号本章所关心的基本信号单元是：LTI系统的特征函数特征函数(Eigenfunctions)。2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。1.本身简单，且本身简单，且LTI系
3、统对它的响应能简便得到。系统对它的响应能简便得到。n从分解信号的角度出发，从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：基本信号单元必须满足两个要求：4一一.连续时间连续时间LTI 系统：系统：其中：其中：S复变量复变量上式为上式为 的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换证明：证明：LTI5对固定对固定 值的特征值值的特征值系统的特征函数系统的特征函数注：注：若若则则如果：如果：因：因：输入输入输出输出6输入输入输出输出则：则：7二二.离散时间系统：离散时间系统：LTI其中：其中：复变量复变量上式为上式为 的的 变换变换证明：证明：8系统特征值（对固定系统特征值（对固定 值）值）系统特征函数系统特
4、征函数注：注：若若则则如果：如果：输入输入输出输出因为因为93.2 连续时间周期信号的傅里叶级数表示连续时间周期信号的傅里叶级数表示一一.成谐波关系的复指数信号的线性组合：成谐波关系的复指数信号的线性组合：1.周期信号周期信号基波周期基波周期基波频率基波频率令：令：为一组成谐波关系的复指数信号，频率为为一组成谐波关系的复指数信号，频率为 整数倍整数倍任意连续周期信号任意连续周期信号傅里叶级数（傅里叶级数（FS)FS系数系数102.对对周期信号周期信号且：且：为周期实信号为周期实信号令令令令（2）（1）由（由（1）（）（2）或或共轭对称共轭对称113.傅里叶级数的三角函数表示（实信号）傅里叶级数
5、的三角函数表示（实信号）设设为为周期实信号周期实信号12（1）令）令（2）令）令13二二.连续时间周期信号傅里叶级数表示的确定：连续时间周期信号傅里叶级数表示的确定：1.令令（1）对）对14（2）对）对1516则：则：傅里叶级数公式傅里叶级数公式称为傅里叶系数或称为傅里叶系数或 的频谱系数的频谱系数可表示为：可表示为：傅里叶级数表明：傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶级数分解成无数多个连续时间周期信号可以按傅立叶级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。复指数谐波分量的线性组合。17例例3.1：对连续时间周期信号对连续时间周期信号确定其傅里叶级数的系数确定其傅里叶级数的系数解：解：
6、18第三章第三章 傅立叶级数傅立叶级数其中其中例例 已知一周期方波信号已知一周期方波信号 见下图，求见下图，求 的傅里叶级数的傅里叶级数19第三章第三章 傅立叶级数傅立叶级数3.2 连续时间周期信号的傅立叶级数表示连续时间周期信号的傅立叶级数表示 根据根据 可绘出可绘出 的频谱图。的频谱图。称为占空比称为占空比20第三章第三章 傅立叶级数傅立叶级数3.2 连续时间周期信号的傅立叶级数表示连续时间周期信号的傅立叶级数表示不变不变 时时21第三章第三章 傅立叶级数傅立叶级数 连续时间周期信号的傅立叶级数表示连续时间周期信号的傅立叶级数表示不变不变 时时22第三章第三章 傅立叶级数傅立叶级数 连续时
7、间周期信号的傅立叶级数表示连续时间周期信号的傅立叶级数表示周期性矩形脉冲信号的频谱特征：周期性矩形脉冲信号的频谱特征：1.1.离散性离散性 2.2.谐波性谐波性 3.3.收敛性收敛性 考查周期考查周期 和脉冲宽度和脉冲宽度 改变时频谱的变化：改变时频谱的变化：1.1.当当 不变，改变不变，改变 时，随时，随 使占空比减小，谱使占空比减小，谱线间隔变小，幅度下降。但频谱包络的形状不变，线间隔变小，幅度下降。但频谱包络的形状不变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。包络主瓣内包含的谐波分量数增加。2.2.2.2.当当 改变，改变，不变时，随不变时，随 使占空比减小，使占空比减小，谱线间隔不变，幅度下降
8、。频谱的包络改变，包谱线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变，包络主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。络主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。23第三章第三章 傅立叶级数傅立叶级数3.3 连续时间傅立叶级数的收敛连续时间傅立叶级数的收敛 3.3 3.3 傅里叶级数的收敛傅里叶级数的收敛 ，在任何周期内信号绝对可积。，在任何周期内信号绝对可积。在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值为有限值。为有限值。在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。因此，信号绝对可积就保证了因此，信号绝对可积就保证了 的存在。的存在
9、。24第三章第三章 傅立叶级数傅立叶级数3.3 连续时间傅立叶级数的收敛连续时间傅立叶级数的收敛几个不满足几个不满足Dirichlet条件的信号条件的信号25第三章第三章 傅立叶级数傅立叶级数3.3 连续时间傅立叶级数的收敛连续时间傅立叶级数的收敛二二.Gibbs现象现象26第三章第三章 傅立叶级数傅立叶级数3.3 连续时间傅立叶级数的收敛连续时间傅立叶级数的收敛用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的间断点附近不可避免的会会出现振荡和超量。出现振荡和超量。超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。超量的幅度不会随所取项数的增加而减小
10、。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少点处压缩，从而使它所占有的能量减少。273.4 连续时间傅里叶级数性质连续时间傅里叶级数性质一一.线性性：线性性：若若 ,是两个周期是两个周期 T的周期信号：的周期信号：则：则：二二.时移性：时移性：若若则则（自证）（自证）28三三.反折：反折：若若则则证：证：令令29四四.尺度变换尺度变换:如果如果 的周期为，则的周期为，则 的周期为的周期为 且且五五.乘积特性：乘积特性：若若 周期为周期为T则：则：六六.共轭与共轭对称性：共轭与共轭对称性：若若则则30实信号实信号证：证：
11、令令31七七.微分性微分性:若若则则证：证：得证得证32例例 确定下列信号的傅里叶级数系数确定下列信号的傅里叶级数系数33解解1：在例中在例中令令34由上图，在例中，令由上图，在例中，令得得35其中：其中：令令要使上等式成立，有：要使上等式成立，有：36372.令令38八八.帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理说明：一个周期信号的总平均功率等于它的全部谐波分量的平均说明：一个周期信号的总平均功率等于它的全部谐波分量的平均功率之和。功率之和。393.5 离散时间周期信号的傅里叶级数表示（离散时间周期信号的傅里叶级数表示（DFS)周期信号：周期信号：是周期是周期403.6 FS和和LTI系统系统已知：已知：其
12、中：其中：为复数为复数系统函数系统函数取取 则则其中：其中：频响频响41即：即：输入输入输出输出令令即傅里叶级数：即傅里叶级数：42例例 已知已知 求：求：43解：解：其它其它44453.7 滤波滤波一一.频率成形滤波器：频率成形滤波器：用于改变各频谱分量的相对大小。用于改变各频谱分量的相对大小。如：微分滤波器如：微分滤波器令令且且（1）（2）由（由（1）（2）4647第三章第三章 傅立叶级数傅立叶级数微分滤波器在一幅图象上的效果 (边缘增晰)48第三章第三章 傅立叶级数傅立叶级数二二.频率选择滤波器：频率选择滤波器：(1)(1)低通滤波器低通滤波器(Lowpass filter)(Lowpa
13、ss filter)(2)(2)高通滤波器高通滤波器(Highpass filter)(Highpass filter)（3)3)带通滤波器带通滤波器(Bandpass filter)(Bandpass filter)（4 4）带阻滤波器）带阻滤波器 （5 5）全通滤波器）全通滤波器用于基本上无失真地通过某些频率，而用于基本上无失真地通过某些频率，而显著地衰减掉或消除掉另一些频率的系统。显著地衰减掉或消除掉另一些频率的系统。分类：分类：49第三章第三章 傅立叶级数傅立叶级数50理想带阻理想带阻全通全通当截止频率相同时：当截止频率相同时：高通低通高通低通1带通带阻带通带阻151例例 已知：一连续系统，其频响为已知：一连续系统，其频响为其它其它输入输入 ，周期，周期 其傅氏系数为其傅氏系数为且且问问 能保证能保证 解：解：52（1）（2）其它其它其它其它其它其它（3）53因：因：比较（比较（1）（2）得）得（4）希望希望由（由（4）：）：由（由（3）时能满足时能满足54