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1、2022/10/261第三章第三章 周期周期信号的信号的傅里叶级数傅里叶级数表示表示说明：此课件对应于教材第说明：此课件对应于教材第3 3章的节（其中节仅简单介绍，不作章的节（其中节仅简单介绍，不作要求）；节关于要求）；节关于LTILTI系统分析及滤波器以后再讲。系统分析及滤波器以后再讲。本章主要内容：本章主要内容：连续时间周期信号的傅里叶级数表示连续时间周期信号的傅里叶级数表示及其性质及其性质离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间周期信号的傅里叶级数表示及其性质及其性质2从时域分析到频域分析从时域分析到频域分析（以连续时间非周期信号为例）（以连续时间非周期信号为例）3 频域分析频域分析u
2、周期信号（离散周期信号（离散/连续）的傅里叶级数（第三章）连续）的傅里叶级数（第三章）u 连续非周期信号的傅里叶变换（第四章连续非周期信号的傅里叶变换（第四章,本课程重点内容本课程重点内容)u 离散非周期信号的傅里叶变换（第五章）离散非周期信号的傅里叶变换（第五章）43.2.LTI LTI系统对复指数信号的响应系统对复指数信号的响应1 1、信信号号分分解解的的概概念念-将将一一个个信信号号表表示示为为一一系系列基本信号的线性加权和列基本信号的线性加权和 基本信号的两个性质基本信号的两个性质:A A.由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用的信号由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用的信号.B
3、 B.LTILTI系系统统对对这这些些基基本本信信号号的的响响应应很很简简单单，系系统统对对任任意意输输入入信信号号的的响响应应可可以以表表示示为为每每一一个个基基本本信信号号的的响响应应的的线线性性加加权和权和.复指数信号满足这两个性质：复指数信号满足这两个性质：离散时间：离散时间：连续时间：连续时间：5例：设一个连续时间例：设一个连续时间LTILTI系统的单位冲激响应为系统的单位冲激响应为h(t)，当输入信号，当输入信号为为 时，求其输出？时，求其输出？同样，给定一个离散同样，给定一个离散LTILTI系统的单位冲激响应系统的单位冲激响应hn和输入信号和输入信号 ，其输出为：，其输出为：其中
4、其中 是个与是个与t无关的量，记其为无关的量，记其为 ，即，即 则有：则有：其中：其中：62 2、LTI系统对复指数信号的响应是一个同样的系统对复指数信号的响应是一个同样的 复指数信号，只是在幅度上有变化复指数信号，只是在幅度上有变化 复振幅因子复振幅因子H(s)或或H(z)一般来说是复变量一般来说是复变量s或或z的的函数函数,它们跟它们跟h(t)或或hn有如下的关系：有如下的关系：离散时间：离散时间：连续时间：连续时间：73 3、系统的特征函数、系统的特征函数(Eigenfunction)若系统对一个输入信号的输出响应仅是一个幅度因子若系统对一个输入信号的输出响应仅是一个幅度因子常数（可能是
5、复数）乘以该输入信号，则称该信号为常数（可能是复数）乘以该输入信号，则称该信号为系统的系统的特征函数特征函数，而该幅度因子常数称为系统的，而该幅度因子常数称为系统的特征特征值值(eigenvalue)。对一个特定对一个特定 sk 或或 zk,或或 就是对应的特征值就是对应的特征值。是连续是连续LTILTI系统的特征函数系统的特征函数是离散是离散LTILTI系统的特征函数系统的特征函数8如如果果一一个个LTI系系统统的的输输入入信信号号（连连续续/离离散散）可可以以分分解解为复指数信号的线性加权和：为复指数信号的线性加权和：那么根据特征函数的性质和那么根据特征函数的性质和LTILTI系统的叠加特
6、性，系统的叠加特性，系统的输出有如下形式：系统的输出有如下形式：4 4、将一个信号分解为特征函数、将一个信号分解为特征函数(复指数信号复指数信号)的线性加权和的线性加权和A.A.什么样的信号可以分解为复指数信号的线性加权和？什么样的信号可以分解为复指数信号的线性加权和？B.B.sk,zk取何值？取何值？C.C.如何确定系数如何确定系数ak？93.3.连续时间周期信号的傅里叶级数表示连续时间周期信号的傅里叶级数表示1、复指数傅里叶级数复指数傅里叶级数一个周期为一个周期为T的周期信号的周期信号x(t)的复指数傅里叶级数的复指数傅里叶级数：成谐波关系的复指数信号集成谐波关系的复指数信号集-基波分量或
7、一次谐波分量基波分量或一次谐波分量-N次谐波分量次谐波分量其中系数其中系数 ak一般来说是一般来说是 的复函数。的复函数。-直流分量直流分量10 傅里叶级数系数的确定傅里叶级数系数的确定:综合公式:(synthesis equation)分析公式:(analysis equation)傅里叶级数的系数或傅里叶级数的系数或x(t)的频谱系数的频谱系数 相位谱相位谱幅度谱幅度谱x(t)的直流分量（一个周期内的均值）11证明：证明：本证明供学有余力同学参考本证明供学有余力同学参考12综合公式综合公式:综合公式说明：任意周期为综合公式说明：任意周期为T T的信号可以由一个直流信号和一系列周期为的信号可
8、以由一个直流信号和一系列周期为T T的约数的约数(T,T/2,T/3,(T,T/2,T/3,)的周期复指数信号合成的周期复指数信号合成如何理解傅里叶级数？如何理解傅里叶级数？如右图所示，周如右图所示，周期分别为期分别为T,T/2,T,T/2,T/3,T/3,的周期信的周期信号相加后仍然是号相加后仍然是一个周期为一个周期为T T的信的信号号下面的问题是：下面的问题是：如何能够保证这如何能够保证这些信号相加后得些信号相加后得到的波形和到的波形和x(t)一一样？样？13分析公式分析公式:分析公式说明：为了令这些周期信号相加后等于分析公式说明：为了令这些周期信号相加后等于x(t),各个信号各个信号的振
9、幅的振幅ak必须满足上式必须满足上式例例如如对对如如图图所所示示周周期期方方波波信信号号,其其在在一一个个周周期期(-1,1)(-1,1)内内的的信信号号表达式为表达式为:-2 -1-0.5 0.5 1 2tx(t)115可见，周期信号确实可以按傅里叶级数形式分解为一系列可见，周期信号确实可以按傅里叶级数形式分解为一系列复指数信号的线性加权和复指数信号的线性加权和2、三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数因为因为x(t)是是实数实数，即：，即：故有故有由复指数傅里叶级数：由复指数傅里叶级数：所以所以 或者或者由上例可见，周期方波信号又可以分解为成谐波关系的正弦由上例可见，周期方波信号
10、又可以分解为成谐波关系的正弦信号的线性加权和。实际上，信号的线性加权和。实际上，实周期信号总是可以写成三角实周期信号总是可以写成三角函数形式的傅立叶级数。函数形式的傅立叶级数。x(t)的共轭信号的共轭信号x*(t)的的复复指数傅里叶级数：指数傅里叶级数：实信号的幅度谱是偶信号实信号的幅度谱是偶信号17 因为因为 为共轭复数，所以为共轭复数，所以三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数:18例例1 1：已已知知一一个个周周期期为为2的的实实周周期期信信号号x(t),其其复复指指数数傅傅里里叶叶级级数数为：为：其中，其中，求其三角函数傅里叶级数求其三角函数傅里叶级数注：大多数情况下，复指数
11、和三角函数傅里叶级数间的互换可以通过欧拉公式来完成19例例1 1中由成谐波关系的正弦信号的线性组合来构成中由成谐波关系的正弦信号的线性组合来构成x(t)的图解的图解20例例2:2:画出信号画出信号 的幅度谱和相位谱的幅度谱和相位谱 因此，该信号的傅里叶级数的系数为因此，该信号的傅里叶级数的系数为:解：利用欧拉公式：解：利用欧拉公式：2111/2 -3 -2 -1 0 1 2 3k/4karctan(1/2)-2 1 -3 -1 0 2 3 幅度谱幅度谱 相位谱相位谱幅度谱左右对称（偶信号），相位谱关于原点对称（奇信号）幅度谱左右对称（偶信号），相位谱关于原点对称（奇信号）22例例3:3:周期方
12、波信号如图所示周期方波信号如图所示,其在一个周期其在一个周期 (-T/2,T/2)(-T/2,T/2)内的信号表达式为内的信号表达式为:-T -T/2 -T1 T1 T/2 Ttx(t)求其傅里叶级数求其傅里叶级数 若若 T=8T1 有有:若若 T=4 4T1 有：有：-2 0 2k(a)T=4 T1 周期方波信号的傅里叶级数的系数k -8 0 8(c)T=16 T1k-4 0 4(b)T=8 T1保持保持T不变，缩小不变，缩小T1 1：243.4 傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收敛性(简单了解即可简单了解即可)理论上周期信号的傅里叶理论上周期信号的傅里叶级数有无穷多项级数有无穷多项实际中可以
13、用一个有限项的傅实际中可以用一个有限项的傅里叶级数来近似里叶级数来近似x(t)：误差为误差为:在一个周期内的误差能量为在一个周期内的误差能量为:当当 ,EN 最小最小.且随着且随着N的增大，的增大，EN减小，减小，25在一个周期内x(t)绝对可积，即：傅里叶级数的收敛条件傅里叶级数的收敛条件 狄里赫利条件狄里赫利条件(Dirichlet conditions)：傅里叶级数的收敛性：傅里叶级数的收敛性：对于一个周期信号对于一个周期信号x(t)，存在存在一个傅里叶级数，一个傅里叶级数，,即即x(t)的傅里叶的傅里叶级数收敛于级数收敛于x(t)绝大多数周期信号都满足狄里赫利条件，也就是说，绝大多数周
14、期信号都满足狄里赫利条件，也就是说，存在傅里叶级数存在傅里叶级数26吉伯斯现象吉伯斯现象(Gibbs phenomenon):对于一个有不连续点对于一个有不连续点的周期信号的周期信号x(t),有限项的傅里叶级数近似有限项的傅里叶级数近似xN(t)在其不在其不连续点处会产生高频起伏和超量为连续点处会产生高频起伏和超量为9%9%的尖峰的尖峰 。N=1:N=3:N=5:但是在不连续点，但是在不连续点，9%9%的的超量仍然存在超量仍然存在E为x(t)在一个周期内的能量273.5 连续时间傅里叶级数的性质连续时间傅里叶级数的性质周期信号周期信号x(t)与其与其傅里叶级数的系数傅里叶级数的系数ak之间的关
15、系一般表示为之间的关系一般表示为1)线性线性If then 2)时移时移If then 周期信号在时间上的移位，对应于相位谱的变化，幅度谱周期信号在时间上的移位，对应于相位谱的变化，幅度谱保持不变保持不变283)时域反转时域反转If then 连续时间信号的时间反转对应于傅里叶级数系数序列的反转连续时间信号的时间反转对应于傅里叶级数系数序列的反转 x(t)是偶函数是偶函数:x(t)是奇函数是奇函数:4)时域尺度变换时域尺度变换If then 经尺度变换后，信号的周期改变了。其傅里叶级数的系数虽然经尺度变换后，信号的周期改变了。其傅里叶级数的系数虽然不变，但是其基波频率改变了，每个系数对应的谐波
16、频率也随不变，但是其基波频率改变了，每个系数对应的谐波频率也随之改变了之改变了.295)共轭及共轭对称性共轭及共轭对称性If then x(t)为实函数为实函数：a0 是实数是实数，ak是共轭对称的是共轭对称的x(t)为实偶函数：为实偶函数：ak也是实偶函数也是实偶函数x(t)为实奇函数为实奇函数：ak是虚奇函数是虚奇函数 30所以，本定理的物理意义是：所以，本定理的物理意义是：一个周期信号的平均功率一个周期信号的平均功率等于它的全部谐波分量的平均功率之和。等于它的全部谐波分量的平均功率之和。（傅立叶分析也遵循能量守恒定律）（傅立叶分析也遵循能量守恒定律）由于：由于：6)帕斯瓦尔帕斯瓦尔(Pa
17、rseval)定理定理If then 第第k k个谐波分量的平均功率个谐波分量的平均功率对该定理的进一步说明：对该定理的进一步说明：317)微分特性微分特性If then 32例例4:4:求右图所示信号周期信号求右图所示信号周期信号 g(t)的傅里叶级数的傅里叶级数 g(t)=x(t-1)1/2,其中x(t)是例3中的方波信号(T=4,T1=1).时移特性:-1/2 是g(t)的一个直流偏置分量，所以 -2 -1 1 2-1/2 g(t)t1/233x(t)t -2 21因此 k=0,a0 为信号的直流分量为1/2例例5:5:求右图所示三角波信求右图所示三角波信号号x(t)的傅里叶级数的傅里叶
18、级数 x(t)和上例中的 g(t)有如下关系：343.6.离散时间周期信号的傅里叶级数离散时间周期信号的傅里叶级数1、离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数周期为N的离散时间周期信号 xn的傅里叶级数是一系列成谐波关系的复指数信号 的线性加权和:如何确定如何确定k的取值？的取值？对任意整数n,序列 中k仅有N个独立取值,即：因此xn可以分解为N个不同的特征函数的线性加权和，其傅里叶级数只需对连续N个独立k值求和，记为有限项求和有限项求和 所以：所以：352、傅里叶级数系数的确定傅里叶级数系数的确定所以：而而 两边同乘以 并在n=内求和以下推导供学有余力同学参考以下推导供学有余力同学参考36周期信
19、号周期信号 离散时间周期信号（周期为离散时间周期信号（周期为N）的傅里叶级数是一个有限项级数）的傅里叶级数是一个有限项级数（N个不同的复指数信号求和），个不同的复指数信号求和），但但ak本身是一个周期为本身是一个周期为N的周期的周期信号信号。综合公式综合公式:(synthesis equation)分析公式分析公式:(analysis equation)离散时间周期信号的傅里叶级数是一个有限项的级数，确定离散时间周期信号的傅里叶级数是一个有限项的级数，确定 的关系式也是有限项的和式，因而不存在收敛问题，也不会产的关系式也是有限项的和式，因而不存在收敛问题，也不会产生生Gibbs现象。现象。37
20、例例6 6：求：求xn=sin(6 6 n/5/5)的傅里叶级数并画出其系数的傅里叶级数并画出其系数xn是周期信号 N=5.k1/2 -9-8-7-5-4-3 0 1 2 3 4 5 6 78 91011 -6 -2-1 12 幅度谱-/2/2 -9-8-6-5-4-3-1 0 1 2 4 5 6 7 9 10 11 -7 -2 3 8 k相位谱 38例例7 7：如下图所示周期离散方波信号：如下图所示周期离散方波信号xn的傅里叶级数的傅里叶级数系数系数-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 n-5-4-3-2-1 0 1 2 4 5 8 9 10 kak39 N1 0 N1 n例例8 8：对
21、脉宽为：对脉宽为2N1+1，周期为周期为N的离散周期方的离散周期方波信号，其傅里叶级数波信号，其傅里叶级数系数：系数：400.50-0.50.250-0.250.1250-0.125离散周期方波信号的傅里叶级数的系数ak413.7 DFS的性质的性质DFSDFS的性质与的性质与CFSCFS有相似性，留待大家自学（了解即可）有相似性，留待大家自学（了解即可）42本章小结本章小结本章主要讨论了：本章主要讨论了：v 复指数函数是一切复指数函数是一切LTILTI系统的特征函数。系统的特征函数。v 建立了用傅里叶级数表示周期信号的方法，实现了对周期信号的频建立了用傅里叶级数表示周期信号的方法，实现了对周
22、期信号的频域分解。域分解。v 以周期性矩形脉冲信号为典型例子（例以周期性矩形脉冲信号为典型例子（例3 3、例、例8 8），研究连续时间周），研究连续时间周期信号和离散时间周期信号的频谱特点及信号参量改变对频谱的影响。期信号和离散时间周期信号的频谱特点及信号参量改变对频谱的影响。v 通过对连续时间傅氏级数和离散时间傅氏级数的讨论，既看到它们通过对连续时间傅氏级数和离散时间傅氏级数的讨论，既看到它们的基本思想与讨论方法完全类似，又研究了它们之间的重大区别。的基本思想与讨论方法完全类似，又研究了它们之间的重大区别。43你应该掌握以下知识点：你应该掌握以下知识点：v 连续时间和离散时间傅里叶级数的变换对（分析公式和连续时间和离散时间傅里叶级数的变换对（分析公式和综合公式）综合公式）v 周期信号频谱、幅度谱、相位谱的概念和图形表示周期信号频谱、幅度谱、相位谱的概念和图形表示v 连续时间周期信号和离散时间周期信号频谱的特点连续时间周期信号和离散时间周期信号频谱的特点v 会求简单信号的傅里叶级数会求简单信号的傅里叶级数4445