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1、2.4 2.4 2.4 2.4 平面向量的平面向量的平面向量的平面向量的数量积及运算律数量积及运算律数量积及运算律数量积及运算律 特别地，当特别地，当=0或或 =0时时,=0复习回顾复习回顾 向向量量的的数数乘乘我们规定实数我们规定实数 与向量与向量 的积仍是个的积仍是个向向量量，记作，记作 并规定方向如下并规定方向如下 当当 时，时，的方向与的方向与 的的方向相同方向相同 当当 时，时，的方向与的方向与 的的方向相反方向相反 OBA当当0时时，；OAB当当180时，时，反向反向；OABB当当90时，称时，称 垂直，垂直，记为记为 .OAab已知两个非零向量 和 ,作则则叫做向量叫做向量问题问
2、题其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，是向量，是是F 与与s 的夹角，而功是数量的夹角，而功是数量.从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念的概念.一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生的位移的作用下产生的位移s，那么力，那么力F 所做的功应当怎样计算？所做的功应当怎样计算？平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即即 0 （1）两两向向量量的的数数量量积积是是一一个个数数量量，而而不不是是向向量量，符符号号由由夹角决定夹角决定（2）不能写成不能写成 ，表示向量的另一种运算表
3、示向量的另一种运算 已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ，它们的夹角为，它们的夹角为 ，我们把，我们把数量数量 叫做叫做 与与 的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作 ，即即例题讲解例题讲解解：解：例例1已知已知|=5，|=4，与与 的夹角的夹角 ，求，求 .例题讲解例题讲解例例2.2.已知正三角形已知正三角形ABCABC的边长为的边长为1 1，求（，求（1 1）（2 2）（3 3）A AC CB B例题讲解例题讲解例例2.2.已知正三角形已知正三角形ABCABC的边长为的边长为1 1，求（，求（1 1）（2 2）（3 3）A AC CB B例题讲解例题讲解例例2.2.已知正三角
4、形已知正三角形ABCABC的边长为的边长为1 1，求（，求（1 1）（2 2）（3 3）A AC CB B例题讲解例题讲解例例2.2.已知正三角形已知正三角形ABCABC的边长为的边长为1 1，求（，求（1 1）（2 2）（3 3）A AC CB B向量的数量积的向量的数量积的几何意义几何意义（1）投影的概念）投影的概念如图所示：如图所示：B过过B B作作 垂垂直直O OA A，垂垂足足为为 ,则则 ，在在 方向上的投影方向上的投影 叫做向量叫做向量 OA 叫做向量叫做向量 在在 方向上的投影方向上的投影BOAab投影是向量投影是向量还是数量？还是数量？为钝角时，为钝角时，|b|cos0OAB
5、ab为锐角时，为锐角时，|b|cos0OABab为直角时，为直角时，|b|cos=0向量的数量积的向量的数量积的几何意义几何意义（2）数量积的几何意义）数量积的几何意义数量积数量积 等于等于 的长度的长度 的几何意义是的几何意义是 与与 在在 方向上的投影方向上的投影 的乘积的乘积例例3 3、，与与 的夹角为的夹角为 ，则，则 在在 方向上的投影为方向上的投影为 。讨论总结性质：讨论总结性质：（4 4）(判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据)设设 与与 都是非零向量，都是非零向量，为为 与与 的夹角的夹角(2)(2)当当 与与 同向时，同向时，当当 与与 反向时，反向时，（3 3）或或 （5 5）你能得出哪些结论？你能得出哪些结论？快速讨论一下！快速讨论一下！例5 判断正误平面向量的数量积的平面向量的数量积的运算律运算律已知向量已知向量 ，和实数和实数 ，则，则（1）。（交换律）（交换律）（2）=。（3）。（与数乘的结合律）（与数乘的结合律）（分配律）（分配律）.ONMa+bbac 证明运算律证明运算律(3)例6 证明证明证明证明证明练习小结：1.可用来求向量的模可用来求向量的模2.投影投影3性质性质