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1、2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其平面向量数量积的物理背景及其含义含义2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角夹角 一般地，实数一般地，实数与向量与向量a 的的积积是一是一个个向量向量，记作，记作a，它的它的长度长度和和方向方向规定规定如下：如下：(1)|a|=|a|(2)当当0时时,a 的方向与的方向与a方向相同；方向相同；当当0时时,a 的方向与的方向与a方向相反；方向相反；特别地，当特别地，当=0或或a=0时时,a=0 设设a,b为任意向量，为任意向量，,为为任意实数任意实数，则有：，则有：(a)=()a (+)a=a+a (a+b)=a+b=1
2、80=90已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a，OB=b，则则AOB=（0 180）叫做向量叫做向量a与与b的的夹角夹角。=0特殊情况特殊情况OBA 我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F|S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b，它们的它们的夹角为夹角为，我们把数量我们把数量|a|b|cos叫做叫做a
3、与与b的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作ab ab=|a|b|cos规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0。|a|cos（|b|cos）叫做向量）叫做向量a在在b方向方向上（向量上（向量b在在a方向上）的方向上）的投影投影。注意：向量注意：向量的数量积是的数量积是一个数量。一个数量。向量的数量积是一个数量，那么它什向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？么时候为正，什么时候为负？ab=|a|b|cos当当0 90时时ab为正；为正；当当90 180时时ab为负。为负。当当=90时时ab为零。为零。设设a，b都是非零向量，都是非零向量，e
4、是与是与b方向相同方向相同的单位向量，的单位向量，是是a与与e的夹角，则的夹角，则 （1）ea=ae=|a|cos（5）|ab|a|b|ab|a|b|（4）cos=（3）当）当a与与b同向时，同向时，ab=|a|b|当当a与与b反向时，反向时，ab=|a|b|特别地，特别地，aa=|a|2或或|a|=aa。（2）ab ab=0OAB abB1ab=|a|b|cos解：解：ab=|a|b|cos=54cos120 =54（-1/2）=10例例1 1 已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a与与b b的夹角的夹角=120=120，求，求a ab b。例例2 已知已知a=(1,1),b=(2,0),求求ab。解：解：|a|=2,|b|=2,=45 ab=|a|b|cos=22cos45 =2 数量积数量积ab等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方向上的投影的方向上的投影|b|cos的乘积。的乘积。OAB|b|cos abB1已知已知ABC的顶点的顶点A（1，1），），B（4，1），），C（4，5）。）。计算计算cosA,cosB,cosc.1.ab=|a|b|cos2.数量积几何意义3.重要性质