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1、第八章 多元函数微分法及其应用 教学目的：1、 理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。2、 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。3、 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4、 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5、 掌握多元复合函数偏导数的求法。6、 会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。7、 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8、 了解二元函数的二阶泰勒公式。9、 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函
2、数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。教学重点：1、 二元函数的极限与连续性；2、 函数的偏导数和全微分；3、 方向导数与梯度的概念及其计算；4、 多元复合函数偏导数；5、 隐函数的偏导数6、 曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；7、 多元函数极值和条件极值的求法。 8. 1 多元函数的基本概念 一 多元函数概念 例 圆柱体的体积V 和它的底半径r、高h之间具有关系 V =pr2h.这里, 当r、h在集合(r , h) | r0, h0内取定一对值(r , h)时, V对应的值就随之确定. 例2
3、一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系 , 二. 多元函数的极限 与一元函数的极限概念类似, 如果在P(x, y)P0(x0, y0)的过程中, 对应的函数值f(x, y)无限接近于一个确定的常数A, 则称A是函数f(x, y)当(x, y)(x0, y0)时的极限. 例3. 设, 求证. 证 因为 , 可见e 0, 取, 则当 , 即时, 总有|f(x, y)-0|0, 由于sin x在x0处连续, 故$d0, 当|x-x0|d时, 有 |sin x-sin x0|e. 以上述d作P0的d邻域U(P0, d), 则当P(x, y)U(P0, d)时, 显然 |f(x, y)
4、-f(x0, y0)|=|sin x-sin x0|0, 为原点O与点M(x, y, z)间的距离. 解 ,同理 , .从而 .记, 它是与同方向的单位向量, 则 . 8. 8 多元函数的极值及其求法 一、多元函数的极值及最大值、最小值 . 例1 函数z=3x2+4y2在点(0, 0)处有极小值. 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)(0, 0)时, z0. 因此z=0是函数的极小值. 例2 函数在点(0, 0)处有极大值. 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)(0, 0)时, z0, 又A0, 所以函数在(1, 0)处有极小值f(1, 0)=-
5、5; 在点(1, 2)处, AC-B2=12(-6)0, 所以f(1, 2)不是极值; 在点(-3, 0)处, AC-B2=-1260, 又A0, 所以函数的(-3, 2)处有极大值f(-3, 2)=31. 例5 有一宽为24cm的长方形铁板, 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽. 问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解 设折起来的边长为xcm, 倾角为a, 那末梯形断面的下底长为24-2x, 上底长为24-2xcosa, 高为xsina, 所以断面面积 , 即A=24xsina-2x2sina+x2sina cosa (0x12, 0a90). 可见断面面积A是x和a的二元函数, 这就是
6、目标函数, 面求使这函数取得最大值的点(x, a). 令Ax=24sina-4xsina+2xsina cosa=0, Aa=24xcosa-2x2 cosa+x2(cos2a-sin2a)=0, 由于sina 0, x0, 上述方程组可化为 . 解这方程组, 得a=60, x=8cm. 二、条件极值 拉格朗日乘数法 . 例6 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积. 解 设长方体的三棱的长为x, y, z, 则问题就是在条件2(xy+yz+xz)=a2下求函数V=xyz的最大值. 构成辅助函数F(x, y, z)=xyz+l(2xy +2yz +2xz -a2), 解方程组, 得, 此时.