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1、例1】2010,西城,一模已知:关于的方程求证:取任何实数时,方程总有实数根;解:(1)分两种情况:当时,原方程化为,解得, (不要遗漏)当,原方程有实数根. 当时,原方程为关于的一元二次方程, . 原方程有两个实数根. (如果上面的方程不是完全平方式该怎样办?再来一次根的判定,让判别式小于0就可以了,不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式,大家注意就是了) 综上所述,取任何实数时,方程总有实数根.(2010年广东省广州市)已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根,求的值。【关键词】分式化简,一元二次方程根的判别式【答案】解:有两个相等的实数根,即,1.(2010年浙江省绍兴市)某
2、公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.(1)当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间?(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益(收益租金各种费用)为275万元?【答案】(1) 30 0005 0006, 能租出24间. (2)设每间商铺的年租金增加x万元,则 (30)(10x)(30)10.5275, 2 x 211x50, x5或0.5, 每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.20
3、10年安徽中考)在国家下身的宏观调控下,某市的商品房成交价由今年3月分的14000元/下降到5月份的12600元/问4、5两月平均每月降价的百分率是多少?(参考数据:)如果房价继续回落,按此降价的百分率,你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/?请说明理由。【关键词】一元二次方程的应用【答案】(1)解:设4、5月份平均每月降价的百分率为x,根据题意得化简得解得因此4、5月份平均每月降价的百分率为5%。(2)解:如果按此降价的百分率继续回落,估计7月份的商品房成交均价为由此可知,7月份该市的商品房成交均价不会跌破10000元/m2(2010年山东聊城)2009年我市实现国民生产
4、总值为1376亿元,计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率一实现,并且2011年全市国民生产总值要达到1726亿元(1)求全市国民生产总值的年平均增第率(精确到1%)(2)求2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值多少亿元?(精确到1亿元)【关键词】一元二次方程的应用【答案】(1)设全市国民生产总值的年平均增长率为,根据题意,得:,(不合题意,舍去)答:全市国民生产总值的年平均增长率约为10%(2) 1376(1+10%)+1726+1726(1+10%)=1513.6+1726+1898.65138(亿)答:2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值约为5138亿元【例2
5、】、是方程的两个根,不解方程,求下列代数式的值:(1) (2) (3)略解:(1) (2) (3)原式【例3】已知关于的方程有两个实数根,并且这两个根的平方和比这两个根的积大16,求的值。分析:有实数根,则0,且,联立解得的值。略解:依题意有: 由解得:或,又由可知舍去,故探索与创新:【问题一】已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根,问:与能否同号?若能同号请求出相应的的取值范围;若不能同号,请说明理由。略解:由0得。,0 与可能同号,分两种情况讨论:(1)若0,0,则,解得1且0 且0(2)若0,0,则,解得1与相矛盾 综上所述:当且0时,方程的两根同号。【问题二】已知、是一元二次方程的
6、两个实数根。(1)是否存在实数,使成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。(2)求使的值为整数的实数的整数值。略解:(1)由0和00 , ,而0 不存在。(2),要使的值为整数,而为整数,只能取1、2、4,又0存在整数的值为2、3、512.(2011南充市中考)18.关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2.(1)求k的取值范围;(2)如果x1+x2-x1x2-1且k为整数,求k的值。12. .解:(1)方程有实数根 =22-4(k+1)0(2分)解得 k0K的取值范围是k0.(4分)(2)根据一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=-2, x1x2=k+1(5分)
7、x1+x2-x1x2=-2,+ k+1由已知,得 -2,+ k+1-1 解得 k-2. (6分)又由(1)k0 -2k0. (7分) k为整数 k的值为-1和0. (8分)14.(2011义乌市中考)19商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元. 为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出 2件设每件商品降价x元. 据此规律,请回答:(1)商场日销售量增加 件,每件商品盈利 元(用含x的代数式表示);(2)在上述条件不变、销售正常情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到2100元?14. 解:(1) 2x 50x (每空1
8、分)2分(2)由题意得:(50x)(302x)=2100 4分 化简得:x235x+300=0 解得:x1=15, x2=205分该商场为了尽快减少库存,则x=15不合题意,舍去. x=20答:每件商品降价20元,商场日盈利可达2100元. 6分若关于x的一元二次方程的两个实数根为、,且满足,试求出方程的两个实数根及k的值.10. 解:由根与系数的关系得: ,2分 又,联立、,解方程组得4分 5分答:方程两根为.6分9.(2011桂林市中考)23(本题满分8分)某市为争创全国文明卫生城,2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元,2010年投入的资金是2420万元,且从2008年到
9、2010年,两年间每年投入资金的年平均增长率相同.(1)求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率;(2)若投入资金的年平均增长率不变,那么该市在2012年需投入多少万元?9. 解:(1)设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为, 1分根据题意得, 3分来源:Z&xx&k.Com得 ,(舍去) 5分来源:Zxxk.Com答:该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10. 6分(2)2012年需投入资金:(万元) 7分答:2012年需投入资金2928.2万元. 8分例2. 分解因式: 分析:形如的多项式,叫关于x,y的二元二次多项式,它的因式分解有三种方法:双十字相乘法,待定系数法,公式法
10、。 解:解法1: 解法2:设 比较对应项系数 解法3:整理为关于x的二次三项式 令,则 (2009年四川绵阳)已知关于x的一元二次方程x2 + 2(k1)x + k21 = 0有两个不相等的实数根(1)求实数k的取值范围;(2)0可能是方程的一个根吗?若是,请求出它的另一个根;若不是,请说明理由【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程,又讨论方程解的情况的优秀考题,需要考生具备分类讨论的思维能力【答案】(1)= 2(k1) 24(k21)= 4k28k + 44k2 + 4 =8k + 8 原方程有两个不相等的实数根, 8k + 80,解得 k1,即实数k的取值范围是 k1(2)假设0是方
11、程的一个根,则代入得 02 + 2(k1) 0 + k21 = 0,解得 k =1 或 k = 1(舍去)即当 k =1时,0就为原方程的一个根此时,原方程变为 x24x = 0,解得 x1 = 0,x2 = 4,所以它的另一个根是4根与系数:2009年内蒙古包头)关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且,则的值是( )A1 B12 C13 D251.(2009年山东淄博) 已知是方程的两个实数根,且(1)求及a的值;(2)求的值来源:学。科。网Z。X。X。K2(2009年广东中山)已知:关于的方程(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若方程的一个根是,求另一个根及值3.(2009年重庆江津区)已知、分别是ABC的三边,其中1,4,且关于x的方程有两个相等的实数根,试判断ABC的形状.1. 解:(1)由题意,得 解得 所以(2)法一: 由题意,得所以= = 法二: 由题意,得,所以= = = 2. 解:(1),无论取何值,所以,即,方程有两个不相等的实数根(2)设的另一个根为,则,解得:,的另一个根为,的值为13. 解:方程有两个相等的实数根=b=4.来源:学+科+网c=4.b=c=4.ABC为等腰三角形.