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1、例1】2010，西城，一模已知：关于的方程求证：取任何实数时，方程总有实数根；解：（1）分两种情况：当时，原方程化为，解得， （不要遗漏）当，原方程有实数根. 当时，原方程为关于的一元二次方程， . 原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了） 综上所述，取任何实数时，方程总有实数根.（2010年广东省广州市）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值。【关键词】分式化简，一元二次方程根的判别式【答案】解：有两个相等的实数根，即，1.(2010年浙江省绍兴市)某
2、公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益租金各种费用）为275万元？【答案】（1） 30 0005 0006, 能租出24间. （2）设每间商铺的年租金增加x万元,则 （30）（10x）（30）10.5275， 2 x 211x50， x5或0.5， 每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.20
3、10年安徽中考）在国家下身的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月分的14000元/下降到5月份的12600元/问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/？请说明理由。【关键词】一元二次方程的应用【答案】（1）解：设4、5月份平均每月降价的百分率为x，根据题意得化简得解得因此4、5月份平均每月降价的百分率为5%。（2）解：如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为由此可知，7月份该市的商品房成交均价不会跌破10000元/m2(2010年山东聊城)2009年我市实现国民生产
4、总值为1376亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率一实现，并且2011年全市国民生产总值要达到1726亿元（1）求全市国民生产总值的年平均增第率（精确到1%）（2）求2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？（精确到1亿元）【关键词】一元二次方程的应用【答案】（1）设全市国民生产总值的年平均增长率为，根据题意，得：，（不合题意，舍去）答：全市国民生产总值的年平均增长率约为10%(2) 1376(1+10%)+1726+1726(1+10%)=1513.6+1726+1898.65138(亿)答：2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值约为5138亿元【例2
5、】、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1） （2） （3）略解：（1） （2） （3）原式【例3】已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求的值。分析：有实数根，则0，且，联立解得的值。略解：依题意有： 由解得：或，又由可知舍去，故探索与创新：【问题一】已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问：与能否同号？若能同号请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由。略解：由0得。，0 与可能同号，分两种情况讨论：（1）若0，0，则，解得1且0 且0（2）若0，0，则，解得1与相矛盾 综上所述：当且0时，方程的两根同号。【问题二】已知、是一元二次方程的
6、两个实数根。（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。（2）求使的值为整数的实数的整数值。略解：（1）由0和00 ， ，而0 不存在。（2），要使的值为整数，而为整数，只能取1、2、4，又0存在整数的值为2、3、512.（2011南充市中考）18.关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2.（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2-x1x2-1且k为整数，求k的值。12. .解：（1）方程有实数根 =22-4（k+1）0(2分）解得 k0K的取值范围是k0.(4分)（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-2, x1x2=k+1（5分）
7、x1+x2-x1x2=-2,+ k+1由已知，得 -2,+ k+1-1 解得 k-2. （6分）又由（1）k0 -2k0. （7分） k为整数 k的值为-1和0. （8分）14.（2011义乌市中考）19商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？14. 解：（1） 2x 50x （每空1
8、分）2分（2）由题意得：（50x）（302x）=2100 4分 化简得：x235x+300=0 解得：x1=15， x2=205分该商场为了尽快减少库存，则x=15不合题意，舍去. x=20答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元. 6分若关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且满足，试求出方程的两个实数根及k的值.10. 解:由根与系数的关系得: ，2分 又，联立、，解方程组得4分 5分答：方程两根为.6分9.（2011桂林市中考）23（本题满分8分）某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到
9、2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同.（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？9. 解：（1）设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为， 1分根据题意得， 3分来源:Z&xx&k.Com得 ，（舍去） 5分来源:Zxxk.Com答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10. 6分（2）2012年需投入资金：（万元） 7分答：2012年需投入资金2928.2万元. 8分例2. 分解因式： 分析：形如的多项式，叫关于x，y的二元二次多项式，它的因式分解有三种方法：双十字相乘法，待定系数法，公式法
10、。 解：解法1： 解法2：设 比较对应项系数 解法3：整理为关于x的二次三项式 令，则 （2009年四川绵阳）已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k1）x + k21 = 0有两个不相等的实数根（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力【答案】（1）= 2（k1） 24（k21）= 4k28k + 44k2 + 4 =8k + 8 原方程有两个不相等的实数根， 8k + 80，解得 k1，即实数k的取值范围是 k1（2）假设0是方
11、程的一个根，则代入得 02 + 2（k1） 0 + k21 = 0，解得 k =1 或 k = 1（舍去）即当 k =1时，0就为原方程的一个根此时，原方程变为 x24x = 0，解得 x1 = 0，x2 = 4，所以它的另一个根是4根与系数：2009年内蒙古包头）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（ ）A1 B12 C13 D251.（2009年山东淄博） 已知是方程的两个实数根，且（1）求及a的值；（2）求的值来源:学。科。网Z。X。X。K2(2009年广东中山)已知：关于的方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是，求另一个根及值3.（2009年重庆江津区）已知、分别是ABC的三边，其中1，4，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状.1. 解：（1）由题意，得 解得 所以（2）法一： 由题意，得所以= = 法二： 由题意，得，所以= = = 2. 解：（1），无论取何值，所以，即，方程有两个不相等的实数根（2）设的另一个根为，则，解得：，的另一个根为，的值为13. 解:方程有两个相等的实数根=b=4.来源:学+科+网c=4.b=c=4.ABC为等腰三角形.