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1、-例 1】2010，西城，一模：关于x的方程 23(1)230mxmxm032132mxmmx 求证：m取任何实数时，方程总有实数根；解：1分两种情况：当0m 时，原方程化为033x，解得1x，不要遗漏 当0m，原方程有实数根.当0m时，原方程为关于x的一元二次方程，222 31 4236930mmmmmm.原方程有两个实数根.如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于 0就可以了，不过中考如果不是压轴题根本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了 综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根.2010年 省 市 关 于*的 一 元 二 次 方 程)0(012abxax有
2、两 个 相 等 的 实 数 根，求4)2(222baab的值。【关键词】分式化简，一元二次方程根的判别式【答案】解：)0(012abxax有两个相等的实数根，240bac，即240ba 2222222222244444)2(aabbaaabbaaabbaab0a，4222abaab 1.(2010 年 省 市)*公司投资新建了一商场,共有商铺30 间.据预测,当每间的年租金定为 10 万元时,可全部租出.每间的年租金每增加 5 000 元,少租出商铺 1间.该公司要为租出的商铺每间每年 交各种费用 1 万元,未租出的商铺每间每年交各种费用 5 000 元.1当每间商铺的年租金定为 13 万元时
3、,能租出多少间？2当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益 收益租金各种费用 为 275 万元？【答案】1 30 0005 0006,能租出 24 间.2设每间商铺的年租金增加*万元,则 305.0 x10*305.0 x15.0 x0.5275，2*211*50，*5 或 0.5，每间商铺的年租金定为 10.5 万元或 15 万元.2010 年中考在国家下身的宏观调控下，*市的商品房成交价由今年 3 月分的 14000 元/2m下降到 5 月份的 12600 元/2m 问 4、5 两月平均每月降价的百分率是多少？参考数据：95.09.0 如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7
4、 月分该市的商品房成交均价是否会跌破 10000 元/2m？请说明理由。【关键词】一元二次方程的应用【答案】1解：设 4、5 月份平均每月降价的百分率为*，根据题意得 化简得2(1)0.9x 解得120.05,1.95(xx不合题意,舍去)因此 4、5 月份平均每月降价的百分率为 5%。2解：如果按此降价的百分率继续回落，估计 7-月份的商品房成交均价为 由此可知，7 月份该市的商品房成交均价不会跌破10000 元/m2(2010年聊城)2009年我市实现国民生产总值为1376亿元，方案全市国民生产总值以后三年都以一样的增长率一实现，并且 2011 年全市国民生产总值要到达1726 亿元 1求
5、全市国民生产总值的年平均增第率准确到1%2 求 2010 年至 2012 年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？准确到 1 亿元【关键词】一元二次方程的应用【答案】1设全市国民生产总值的年平均增长率为x，根据题意，得：1726)1(13762 x 25.1)1(2 x，1.11 x，%101.01x，1.21x不合题意，舍去 答：全市国民生产总值的年平均增长率约为 10%(2)1376(1+10%)+1726+1726(1+10%)=1513.6+1726+1898.65138(亿)答：2010 年至 2012 年全市三年可实现国民生产总值约为 5138 亿元【例 2】1x、2x是方程0532
6、2 xx的两个根，不解方程，求以下代数式的值：12221xx 221xx 32222133xxx 略解：12221xx212212)(xxxx417 221xx 212214)(xxxx213 3 原 式)32()(2222221xxxx54174112【例 3】关于x的方程05)2(222mxmx有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值。分析：有实数根，则0，且16212221xxxx，联立解得m的值。略解：依题意有：由解得：1m或15m，又由可知m49 15m舍去，故1m 探索与创新：【问题一】1x、2x是关于x的一元二次方程0)1(4422mxmx的两个非零实数根
7、，问：1x与2x能否同号？假设能同号请求出相应的m的取值围；假设不能同号，请说明理由。略 解：由1632m 0得m21。121mxx，22141mxx0 1x与2x可能同号，分两种情况讨论：1 假设1x0，2x0，则002121xxxx，解得m1 且m0 m21且m0 2假设1x0，2x0，则002121xxxx，解得m1 与m21相矛盾 综上所述：当m21且m0 时，方程的两根同号。【问 题 二】1x、2x是 一 元 二 次 方 程01442kkxkx的两个实数根。1是否存在实数k，使23)2)(2(2121xxxx成立？假设存在，求出k的值；假设不存在，请说明理由。-2求使21221xxx
8、x的值为整数的实数k的整数值。略解：1由k0 和0k0 121 xx，kkxx4121 2122121219)(2)2)(2(xxxxxxxx 59k，而k0 不存在。2 21221xxxx4)(21221xxxx14k，要使14k的值为整数，而k为整数，1k只能取1、2、4，又k0 存在整数k的值为2、3、5 12.2011 市 中 考 18.关 于 的 一 元 二 次 方 程*2+2*+k+1=0 的实数解是*1和*2.1求k的取值围；2如果*1+*2-*1*2-1 且k为整数，求k的值。12.解：1方程有实数根 =22-4k+10(2 分 解得 k0 K的取值围是k0.(4分)2根据一元
9、二次方程根与系数的关系，得*1+*2=-2,*1*2=k+15 分*1+*2-*1*2=-2,+k+1 由，得 -2,+k+1 -1 解 得 k-2.6 分 又由1k0 -2k0.7 分 k为整数 k的值为-1 和 0.8 分 14.2011 义乌市中考19商场*种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件设每件商品降价*元.据此规律，请答复：1商场日销售量增加件，每件商品盈利元用含*的代数式表示；2在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可到达 210
10、0 元？14.解：1 2*50*每 空1分2 分 2由题意得：50*302*=2100 4 分 化简得：*235*+300=0 解得：*1=15，*2=205 分 该商场为了尽快减少库存，则*=15不合题意，舍去.*=20 答：每件商品降价 20 元，商场日盈利可达 2100 元.6 分 假设关于*的一元二次方程0342kxx的两个实数根为1x、2x，且满足213xx，试求出方程的两个实数根及k的值.10.解:由根与系数的关系得:421 xx，21xx3k2 分 又213xx，联立、，解方程组得1321xx 6313321xxk 答：方程两根为12=3,=1;=6xxk.9.2011 市中考2
11、3此题总分值 8 分*市为争创全国文明卫生城，2008 年市政府对市区绿化工程投入的资金是 2000 万元，2010 年投入的资金是 2420 万元，且从 2008 年到 2010 年，两年间每年投入资金的年平均增长率一样.1求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；2 假设投入资金的年平均增长率不变，则该市在 2012年需投入多少万元？9.解：1设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为x，1 分 根据题意得，22000(1)2420 x3 分来源:Z&*&k.得 110%x，22.1x 舍去 5 分来源:Z*k.答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为 10.6 分 22012年
12、需投入资金：22420(1 10%)2928.2万元 7 分 答：2012 年需投入资金 2928.2 万元.8 分 例 2.分解因式：分析：形如的多项式，-叫关于*，y 的二元二次多项式，它的因式分解有三种方法：双十字相乘法，待定系数法，公式法。解：解法 1：解法 2：设 比拟对应项系数 解法 3：整理为关于*的二次三项式 令，则 2009 年关于*的一元二次方程*2+2k1*+k21=0 有两个不相等的实数根 1数k的取值围；20 可能是方程的一个根吗？假设是，请求出它的另一个根；假设不是，请说明理由【分析】这是一道确定待定系数 m 的一元二次方程，又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具
13、备分类讨论的思维能力【答案】1=2k1 24k21=4k28k+44k2+4=8k+8 原方程有两个不相等的实数根，8k+80，解得 k1，即实数k的取值围是 k1 2假设 0 是方程的一个根，则代入得 02+2k1 0+k21=0，解得 k=1 或 k=1舍去 即当 k=1 时，0 就为原方程的一个根 此时，原方程变为*24*=0，解得*1=0，*2=4，所以它的另一个根是 4 根与系数：2009 年 关于x的一元二次方程2210 xmxm 的两个实数根分别是12xx、，且22127xx，则212()xx的值是 A1 B12 C13 D25 1.2009 年12xx，是方程220 xxa的两
14、个实数根，且12232xx 1求12xx，及a的值；2求32111232xxxx的值 2(2009 年)：关于x的方程2210 xkx 1求证：方程有两个不相等的实数根；2假设方程的一个根是1，求另一个根及k值 3.2009 年江津区、分别是ABC 的三边，其中1，4，且关于*的方程042bxx有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状.1.解：1由题意，得12122232.xxxx，解得121212xx ，所以12(12)(12)1axx 2法一：由题意，得211210 xx 所以32111232xxxx=32211111223xxxxxx=21112211211xxxx 法二：由题意，得21121xx，所以-32111232xxxx=11112(21)3(21)2xxxxx=2111122632xxxxx=1122(21)33xxx=1121242331211xxxxx 2.解：12210 xkx，224 2(1)8kk ，无论k取何值，2k 0，所以280k，即0，方程2210 xkx 有两个不相等的实数根 2设2210 xkx 的另一个根为x，则12kx ，1(1)2x，解得：12x，1k，2210 xkx 的另一个根为12，k的值为 1 3.解:方程240 xxb有两个相等的实数根=2(4)40b b=4.c=4.b=c=4.ABC 为等腰三角形.