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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date一元二次方程难点归类一元二次方程难点归类第六课时 一元二次方程难点专项专训一：巧用一元二次方程的定义及相关概念求值名师点金：巧用一元二次方程的定义及相关概念求值主要体现在：利用定义或项的概念求字母的值，利用根的概念求字母或代数式的值，利用根的概念解决探究性问题等 利用一元二次方程的定义确定字母的取值1已知(m3)x2x1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是()Am
2、3 Bm3Cm2 Dm2且m32已知关于x的方程(m1)xm21(m2)x10.(1)m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程(2)m取何值时，它是一元一次方程？ 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值3若关于x的一元二次方程(3a6)x2(a24)xa90没有一次项，则a_.4已知关于x的一元二次方程(m1)x25xm210的常数项为0，求m的值 利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值5已知关于x的方程x2bxa0的一个根是a(a0)，则ab的值为()A1 B0 C1 D26已知关于x的一元二次方程(k4)x23xk2160的一个根为0，求k的值7已知实数a是一元二次方程x22 01
3、6x10的一个根，求代数式a22 015a的值 利用一元二次方程根的概念解决探究性问题8已知m，n是方程x22x10的两个根，是否存在实数a使(7m214ma)(3n26n7)的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由专训二：一元二次方程的解法归类名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法等在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果 限定方法解一元二次方程方法1形如(xm)2n(n0)的一元二次方程用直接开平方法求解1方程4x2250的解为()Ax BxCx Dx2用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无
4、解的方程为()Ax255 B3x20Cx240 D(x1)20方法2当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解3用配方法解方程x234x，配方后的方程变为()A(x2)27 B(x2)21C(x2)21 D(x2)224解方程：x24x20.5已知x210xy216y890，求的值方法3能化成形如(xa)(xb)0的一元二次方程用因式分解法求解6(改编宁夏)一元二次方程x(x2)2x的根是()Ax1 Bx0Cx11，x22 Dx11，x227解下列一元二次方程：(1)x22x0；(2)16x290；(3)4x24x1.方法4如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8用公
5、式法解一元二次方程x22x，方程的解应是()Ax BxCx Dx9用公式法解下列方程(1)3(x21)7x0；(2)4x23x5x2. 选择合适的方法解一元二次方程10方程4x2490的解为()Ax BxCx1，x2 Dx1，x211一元二次方程x293x的根是()Ax3 Bx4Cx13，x24 Dx13，x2412方程(x1)(x3)5的解是()Ax11，x23 Bx14，x22Cx11，x23 Dx14，x2213解下列方程(1)3y23y60；(2)2x23x10. 用特殊方法解一元二次方程方法1构造法14解方程：6x219x100.15若m，n，p满足mn8，mnp2160，求mnp的
6、值方法2换元法a整体换元16已知x22xyy2xy60，则xy的值是()A2或3 B2或3C1或6 D1或6 17解方程：(x1)(x2)(x3)(x4)48.b降次换元18解方程：6x435x362x235x60.c倒数换元19解方程2.方法3特殊值法20解方程：(x2 013)(x2 014)2 0152 016.专训三：根的判别式的四种常见应用名师点金：对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，式子b24ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1
7、已知关于x的方程kx2(1k)x10，下列说法正确的是()A当k0时，方程无解B当k1时，方程有一个实数解C当k1时，方程有两个相等的实数解D当k0时，方程总有两个不相等的实数解2已知关于x的方程x22xm0没有实数根，其中m是实数，试判断关于x的方程x22mxm(m1)0有无实数根 利用根的判别式求字母的值或取值范围3(2015 咸宁)已知关于x的一元二次方程mx2(m2)x20，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？ 利用根的判别式求代数式的值4(2015福州改编)已知关于x的方程x2(2m1)x40有两个相等的实数根，求的值 利用根的判
8、别式确定三角形的形状5已知a，b，c是一个三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(ac)x2bx0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状专训四：一元二次方程与三角形的综合名师点金：一元二次方程是初中数学重点内容之一，常常与其他知识结合，其中一元二次方程与三角形的综合应用就是非常重要的一种，主要考查一元二次方程的根的概念、根的判别式的应用，一元二次方程的解法及与等腰三角形、直角三角形的性质等知识的灵活运用 一元二次方程与三角形三边关系1三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程x27x120的解，则第三边的长为()A3 B4C3或4 D无法确定2根据一元二次方程根的定义，解答下列问题一个三角形
9、两边长分别为3 cm和7 cm，第三边长为a cm，且整数a满足a210a210，求三角形的周长解：由已知可得4a0时，关于x的一元二次方程c(x2m)b(x2m)2ax0有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由4已知ABC的三边长a，b，c中，ab1，cb1，又已知关于x的方程4x220xb120的根恰为b的值，求ABC的面积 一元二次方程与等腰三角形5等腰三角形一条边的长为3，它的另两条边的长是关于x的一元二次方程x212xk0的两个根，则k的值是()A27 B36 C27或36 D186已知关于x的一元二次方程(ac)x22bx(ac)0，其中a，b，c为ABC的三边的长(1)
10、如果x1是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由；(3)如果ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根专训五：可化为一元二次方程的分式方程的应用名师点金：可化为一元二次方程的分式方程的实际应用较广泛，一般应用于营销、行程、工程等问题中，解分式方程的基本思路是化归，去掉分母后转化为一元二次方程，但最后一定要验根，有时可能会产生增根或不符合题意的根 营销问题1某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均
11、为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？(说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价)2小明的爸爸下岗后，做起了经营水果的生意，一天，他先去水果批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多购进10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.5元，然后到零售市场，都按每千克2.8元零售，结果乙种水果很快售完，甲种水果售出时，出现滞销，他便按原售价的5折售完剩下的水果，请你帮小明的爸爸算一算，这天卖水果是赔钱了还是赚钱了(不考虑其他因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 行程问题3从甲站到乙站有150 km，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，匀速行驶，1 h后快
12、车在慢车前12 km，结果快车比慢车早25 min到达乙站，快车和慢车每小时各行多少千米？ 工程问题4某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天才能完成此项工程(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天(2)若甲工程队单独施工a天后，再由甲、乙两工程队合作_天(用含a的代数式表示)可完成此项工程(3)如果甲工程队施工每天需收取施工费1万元，乙工程队施工每天需收取施工费2.5万元，那么甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？答案专训一1D点拨：由题意，得解得m2且m3.2解：
13、(1)当时，它是一元二次方程，解得m1.即当m1时，原方程可化为2x2x10.(2)当或者当m1(m2)0且m211时，它是一元一次方程解得m1或m0.故当m1或m0时，它是一元一次方程32点拨：由题意得解得a2.4解：由题意，得解得m1.5A点拨：关于x的方程x2bxa0的一个根是a(a0)，a2aba0.a(ab1)0.a0，ab1.6解：把x0代入(k4)x23xk2160，得k2160，解得k4.k40，k4.k4.7解：实数a是一元二次方程x22 016x10的一个根，a22 016a10.a212 016a，a22 016a1.a22 015aa22 015aa22 015aaa2
14、2 016a1.8解：存在由题意可知m22m10，n22n10，m22m1，n22n1.(7m214ma)(3n26n7)7(m22m)a3(n22n)7(7a)(37)4(7a)，由4(a7)8得a9，故存在实数a，且a的值等于9.专训二1C2.C3.C4解：x24x20， x24x 2， (x2)2 6， x2 ，x12，x22.5解：x210xy216y890， (x210x25)(y216y64) 0， (x5)2(y8)2 0，x5，y8，.6D7解：(1)x22x0，x(x2)0，x10，x22.(2)16x290，(4x3)(4x3)0，x1，x2.(3)4x24x1，4x24x
15、10，(2x1)20，x1x2.8B9解：(1)3(x21)7x0，3x27x30，b24ac(7)243313.x.x1，x2.(2)4x23x5x2，4x24x30，b24ac(4)244(3)64.x.x1，x2.10C11.C12.B13解：(1)3y23y60，y2y20，y2y0，y，y12，y21.(2)2x23x10，b24ac(3)24211.x.x11，x2.14解：将原方程两边同乘6，得(6x)219(6x)600.解得6x15或6x4.x1，x2.15解：因为mn8，所以mn8.将mn8代入mnp2160中，得n(n8)p2160，所以n28n16p20，即(n4)2p
16、20.又因为(n4)20，p20，所以解得所以mn84，所以mnp4(4)00.16B17解：原方程即(x1)(x4)(x2)(x3)48，即(x25x4)(x25x6)48.设yx25x5，则原方程变为(y1)(y1)48.解得y17，y27.当x25x57时，解得x1，x2；当x25x57时，(5)24112230，无实数根原方程的根为x1，x2.18解：经验证，x0不是方程的根，原方程两边同除以x2，得6x235x620，即635620.设yx，则x2y22，原方程可变为6(y22)35y620.解得y1，y2.当x时，解得x2或x；当x时，解得x3或x.经检验，均符合题意原方程的解为x
17、12，x2，x33，x4.19解：设y，则原方程化为y2，整理，得y22y30，y13，y21.当y3时，3，x1.当y1时，1，x1.经检验，x1都是原方程的根，原方程的根为x11，x21.20解：方程组的解一定是原方程的解，解得x4 029.方程组的解也一定是原方程的解，解得x2.原方程最多有两个实数解，原方程的解为x14 029，x22.点拨：解本题也可采用换元法设x2 014t，则x2 013t1，原方程可化为t(t1)2 0152 016，先求出t，进而求出x.专训三1C点拨：当k0时，方程为一元一次方程，解为x1；当k0时，因为(1k)24k(1)k22k1(k1)20，所以当k1
18、时，4，方程有两个不相等的实数解；当k1时，0，方程有两个相等的实数解；当k0时，0，方程总有两个实数解故选C.2解：x22xm0没有实数根，1(2)24(m)44m0，即m4.方程x22mxm(m1)0有两个不相等的实数根3(1)证明：(m2)28mm24m4(m2)2.不论m为何值，(m2)20，即0.不论m为何值，方程总有实数根(2)解：解关于x的一元二次方程mx2(m2)x20，得x.x1，x21.方程的两个根都是正整数，是正整数m1或m2.两根不相等，m2.m1.4解：关于x的方程x2(2m1)x40有两个相等的实数根，(2m1)24140.2m14.m或m.当m时，当m时，.5解：
19、关于x的一元二次方程(ac)x2bx0有两个相等的实数根，b24(ac)b2(a2c2)0，即b2c2a2.此三角形是直角三角形专训四1C2三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边分类讨论方程根的定义3解：ABC是直角三角形理由如下：原方程可化为(bc)x22axcmbm0，4ma24m(cb)(cb)4m(a2b2c2)m0，且原方程有两个相等的实数根，a2b2c20，即a2b2c2.ABC是直角三角形4解：将xb代入原方程，整理得4b219b120，解之得b14，b2.当b4时，a3，c5，324252，即a2b2c2，ABC为直角三角形，C90.SABCab346；当b时，a
20、10，不合题意舍去因此ABC的面积为6.5B6解：(1)ABC是等腰三角形理由如下：把x1代入原方程，得ac2bac0，所以ab.故ABC是等腰三角形(2)ABC是直角三角形理由如下：方程有两个相等的实数根，则(2b)24(ac)(ac)0，所以b2a2c20，所以a2b2c2.故ABC是直角三角形(3)如果ABC是等边三角形，则abc，所以方程可化为2ax22ax0.所以2ax(x1)0.所以方程的解为x10，x21.专训五1解：方法一：设第二次采购玩具x件，则第一次采购玩具(x10)件，由题意得0.5.整理得x2110x3 0000，解得x150，x260，经检验x150，x260都是原方
21、程的解当x50时，第二次采购每件玩具的批发价为150503(元)，高于玩具的售价，不合题意，舍去；当x60时，第二次采购每件玩具的批发价为150602.5(元)，低于玩具的售价，符合题意因此第二次采购玩具60件方法二：设第一次采购玩具x件，则第二次采购玩具(x10)件，由题意得0.5，整理得x290x2 0000，解得x140，x250，经检验，x140，x250都是原方程的解，第一次采购40件时，第二次采购401050(件)，所以第二次采购每件玩具的批发价为150503(元)，不合题意，舍去；第一次采购50件时，第二次采购501060(件)，所以第二次采购每件玩具的批发价为150602.5(
22、元)，符合题意因此第二次采购玩具60件2解：设小明的爸爸购乙种水果x千克，则购甲种水果(x10)千克，所以甲种水果的批发价为每千克元，乙种水果的批发价为每千克元根据题意得0.5.方程两边同乘x(x10)，整理得x2110x3 0000，解之得x150，x260.经检验，x150，x260都是方程的根当x50时，乙种水果的批发价为每千克3(元)，高于水果零售价，不合题意，舍去；当x60时，乙种水果的批发价为每千克2.5(元)，符合题意；甲种水果的批发价为每千克2(元)，也符合题意因此，小明的爸爸购进乙种水果60千克，购进甲种水果601050(千克)，小明的爸爸这一天卖水果盈利：(502.8502
23、.8602.8)(100150)44(元)小明的爸爸这一天卖水果赚钱了，赚了44元3解：设慢车每小时行x km，则快车每小时行(x12)km，由题意得.解得x172(不合题意，舍去)，x260.于是x1272.快、慢车每小时分别行72 km、60 km. 4解：(1)设乙工程队单独施工x天可完成此项工程，则甲工程队单独施工(x30)天可完成此项工程，由题意得201，整理，得x210x6000，解得x130，x220，经检验x130，x220都是分式方程的解，但x220不符合题意，应舍去，故x30，x3060.故甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要60天，30天(2)(3)由(2)和题意，得1a(12.5)64.解得a36.故甲工程队至少要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元-