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1、02-03学年第二学期空间解析几何与线性代数期终试题一 填空题(每小题3分, 共36分):1. = ; 2. = ; 3. 若A是正交矩阵, 则行列式 |A3AT| = ; 4. 空间四点A(1, 1, 1), B(2, 3, 4), C(1, 2, k), D(-1, 4, 9)共面的充分必要条件是 ; 5. 点P(2, -1, 1)到直线l: 的距离为 ;6. 若4阶方阵A的秩为2, 则伴随矩阵A*的秩为 ; 7. 若可逆矩阵P使AP = PB, B =, 则方阵A的特征多项式为 ;8. 若3阶方阵A使I-A, 2I-A, A+3I都不可逆, 则A与对角阵 相似(其中I是3阶单位矩阵);
2、9. 若A = 与对角阵相合, 则(x, y) = .10. 设A = A1, A2, A3, A4, 其中列向量A1, A2, A4线性无关, A3 = 2A1 - A2 + A4, 则齐次线性方程组Ax = q的一个基础解系是 ; 11. 设A, B都是3阶方阵, AB = O, r(A) - r(B) = 2, 则r(A) + r(B) = ; (A) 5; (B) 4; (C) 3; (D) 2;12. 设n阶矩阵A满足A2 = 2A, 则以下结论中未必成立的是 . (A) A-I可逆, 且(A-I)-1 = A-I; (B) A = O或A = 2I; (C) 若2不是A的特征值,
3、则A = O; (D) |A| = 0或A = 2I. 二 计算题(每小题8分, 共24分)13. 14. 求直线l: 在平面p : x + y - 2z + 1 = 0上的垂直投影直线方程. 15. 设XA = AB + X, 其中A = , B =求X 99. 三 计算题, 解答题(3小题共32分). 16. 设向量组, , , . V = L(a1, a2, a3)是由a1, a2, a3生成的空间. 已知维(V) = 2, b V. (1) 求a, b; (2) 求V的一个基, 并求b在此基下的坐标; (3) 求V的一个标准正交基. 17. 用正交变换化简二次曲面方程: x12 + x
4、22 - 4x1x2 - 2x1x3 - 2x2x3 = 1 求出正交变换和标准形, 并指出曲面类型. 18. 设D为由yOz平面中的直线z = 0, 直线z = y ( y 0)及抛物线y + z2 = 2, 围成的平面区域. 将D绕y轴旋转一周得旋转体W. (1) 画出平面区域D的图形; (2) 分别写出围成W的两块曲面S1, S2的方程; (3) 求S1, S2的交线l在zOx平面上的投影曲线C的方程; (4) 画出S1, S2和l, C的图形. 四 证明题, 解答题(每小题4分, 共8分). 19. 设h是线性方程组Ax = b的一个解, b q, x1, x2是导出组Ax = q的基
5、础解系. 证明: h, x1+h, x2+h线性无关. 20. 设a是3维非零实列向量, |a| =. 又A = aaT. (1) 求A的秩; (2) 求A的全部特征值; (3) 问A是否与对角阵相似? (4) 求|I - A3|. 02-03学年第二学期空间解析几何与线性代数期终试题解答一 填空题(每小题3分, 共36分):1. = ; 2. = ; 3. 若A是正交矩阵, 则行列式 |A3AT| = 1; 4. 空间四点A(1, 1, 1), B(2, 3, 4), C(1, 2, k), D(-1, 4, 9)共面的充分必要条件是k = 3; 5. 点P(2, -1, 1)到直线l: 的
6、距离为 1 ;6. 若4阶方阵A的秩为2, 则伴随矩阵A*的秩为 0 ; 7. 若可逆矩阵P使AP = PB, B =, 则方阵A的特征多项式为(l-1)(l-3);8. 若3阶方阵A使I-A, 2I-A, A+3I都不可逆, 则A与对角阵相似(其中I是3阶单位矩阵); 9. 若A = 与对角阵相合, 则(x, y) = (1, -2).10. 设A = A1, A2, A3, A4, 其中列向量A1, A2, A4线性无关, A3 = 2A1 - A2 + A4, 则齐次线性方程组Ax = q的一个基础解系是 x = 2, -1, -1, 1T; 11. 设A, B都是3阶方阵, AB =
7、O, r(A) - r(B) = 2, 则r(A) + r(B) = D ; (A) 5; (B) 4; (C) 3; (D) 2;12. 设n阶矩阵A满足A2 = 2A, 则以下结论中未必成立的是 B . (A) A-I可逆, 且(A-I)-1 = A-I; (B) A = O或A = 2I; (C) 若2不是A的特征值, 则A = O; (D) |A| = 0或A = 2I. (-1)二 计算题(每小题8分, 共24分)(-2)(-1)(-1)13. = = = (-1)= = = = = 29. 14. 求直线l: 在平面p : x + y - 2z + 1 = 0上的垂直投影直线方程.
8、 解: 过直线l且垂直于平面p的平面p1的法向量必垂直于向量2, 1, 2和1, 1, - 2, 因而可取为 = -4, 6, 1.又因为p1过直线l上的点(2, 1, -1), 由此可得平面p1的点法式方程-4(x - 2) + 6( y - 1) + (z + 1) = 0 整理得4x -6 y - z - 3 = 0 于是可得直线l: 在平面p : x + y - 2z + 1 = 0上的垂直投影直线的一般方程: . 15. 设XA = AB + X, 其中A = , B =求X 99. 解: 原方程可化为X(A-I) = AB, 其中I表示单位矩阵. A-I = , AB = . 初等
9、列变换 = = .于是可得X = AB(A-I) -1 = , X2 = = , X 99 = (X 2)49X = = . (注意X未必等于(A-I) -1AB !)三 计算题, 解答题(3小题共32分). 16. 设向量组, , , . V = L(a1, a2, a3)是由a1, a2, a3生成的空间. 已知维(V) = 2, b V. (1) 求a, b; (2) 求V的一个基, 并求b在此基下的坐标; (3) 求V的一个标准正交基. 初等行变换解: (1) A = a1, a2, a3, b = . 因为维(V) = 2, b V. 所以a - 6 = b + 2 = 0, 即a
10、= 6, b = - 2. (2) 由上述初等行变换的结果可知a1, a2构成V的一个基, 且b =3a1 - a2. (3) 令b1 = a1, b2 = a2 - = = , 再单位化得V的一个标准正交基 , . 17. 用正交变换化简二次曲面方程: x12 + x22 - 4x1x2 - 2x1x3 - 2x2x3 = 1 求出正交变换和标准形, 并指出曲面类型. 解: 二次型f(x1, x2, x3) = x12 + x22 - 4x1x2 - 2x1x3 - 2x2x3的矩阵A = . A的特征多项式|lI -A | = = (l - 3)( l - 1)( l + 2). A的特征
11、值l1 = 3, l2 = 1, l = -2. 由(liI -A)x = q求得A的对应于l1 = 3, l2 = 1, l = -2的特征值向量:, , . 它们已经两两正交, 单位化得, , . 令P = , 则PTP = I, 且P-1AP = PTAP = . 令x = Py, 则原二次曲面的方程化为3y12 + y22 - 2y32 = 1. 可见该二次曲面为二次锥面. Oyz218. 设D为由yOz平面中的直线z = 0, 直线z = y ( y 0)及抛物线y + z2 = 2, 围成的平面区域. 将D绕y轴旋转一周得旋转体W. (1) 画出平面区域D的图形; (2) 分别写出
12、围成W的两块曲面S1, S2的方程; (3) 求S1, S2的交线l在zOx平面上的投影曲线C的方程; (4) 画出S1, S2和l, C的图形. 解: (1) 平面区域D的图形如右图所示: Oyz2lS1CS2x(2) W由锥面S1: 和旋转抛物面S2: y = 2- x2 - z2围成. (3) 由和y = 2- x2 - z2消去y得x2 + z2 = 1. 由此可得S1, S2的交线l在zOx平面上的投影曲线C的方程: (4) S1, S2和l, C的图形如右图所示:四 证明题, 解答题(每小题4分, 共8分). 19. 设h是线性方程组Ax = b的一个解, b q, x1, x2是
13、导出组Ax = q的基础解系. 证明: h, x1+h, x2+h线性无关. 证明: 因为Ah = b q, 所以h不是线性方程组Ax = q的解. 而x1, x2是Ax = q的基础解系, 故h, x1, x2线性无关, 否则h能由x1, x2线性表示, 从而是线性方程组Ax = q的解, 矛盾! 假若k1h + k2(x1+h) + k3(x2+h) = q, 则(k1 + k2 + k3)h + k2x1 + k3x2 = q.于是(k1 + k2 + k3) = k2 = k3 = 0, 即k1 = k2 = k3 = 0. 所以h, x1+h, x2+h线性无关. 20. 设a是3维
14、非零实列向量, |a| =. 又A = aaT. (1) 求A的秩; (2) 求A的全部特征值; (3) 问A是否与对角阵相似? (4) 求|I - A3|. 解: (1) 设a = a, b, cT q, 则A = aaT = O, 且秩(A) = 1. (2) 设b q是A的对应于特征值l的特征向量. 即aaTb = lb. 若aTb = 0, 则lb = aaTb = q, 而b q, 故l = 0. 此时, b是aTx = 0的解向量. 而秩(aT) = 1, 故aTx = 0的每个基础解系均由两个线性无关的解向量构成. 即对应于l = 0, A有两个线性无关的特征向量, 若aTb 0, 则由aaTb = lb 可得aTaaTb = laTb. 从而l = aTa. 此时, 由于aaTa = la. 故可取b = a作为对应于l = aTa的特征向量. 综上所述, A的全部特征值有: l = 0和l = aTa. (3) 由(2)可见A有3个线性无关的特征向量, 所以A与对角阵相似. (4) 由(2)可见存在3阶可逆矩阵P, 使P-1AP = .因此|I - A3| = |P-1|I - A3|P| = |(P-1IP - P-1A3P)| = |I - (P-1AP)3| = = 1- (aTa)3.