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1、1 第第1010章章 结构动力计算基础结构动力计算基础广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGEOFCIVILENGINEERINGANDARCHITECTURECOLLEGEOFCIVILENGINEERINGANDARCHITECTURE1.1.单自由度体系的振动问题单自由度体系的振动问题自由振动；自由振动；强迫振动强迫振动2.2.多自由度体系的振动问题多自由度体系的振动问题自由振动；自由振动；强迫振动强迫振动210.1 1 概述概述 动力计算研究结构在动力计算研究结构在动力荷载动力荷载作用下的作用下的变形和内力变形和内力，即，即研究结构的研究结构的动力反应动力反应。动
2、力荷载：动力荷载：大小、方向、作用点大小、方向、作用点随时间而变化随时间而变化的荷载的荷载。结构的动力反应不但与结构的动力反应不但与动力荷载的性质动力荷载的性质有关有关，还与还与结构结构本身的动力特性本身的动力特性直接相关直接相关。结构本身的动力特性是结构本身的动力特性是结构本身固有结构本身固有的，如的，如自振频率及自振频率及振型振型。动动力力计计算算的的特特点点：动动力力计计算算不不能能忽忽略略惯惯性性力力，这这是是动动力力计计算算与与静静力力计计算算的的本本质质区区别别。内内力力和和变变形形都都是是时时间间的的函函数数。一、动力计算的特点动力计算的特点3 二二、动力荷载的分类动力荷载的分类
3、（1）简谐性周期荷载）简谐性周期荷载（要掌握）（要掌握）规律通常为正弦或余弦函数形式：规律通常为正弦或余弦函数形式：（2）冲击荷载）冲击荷载 n荷载强度很大，但作用时间很短，荷载强度很大，但作用时间很短，如打桩、爆炸荷载。如打桩、爆炸荷载。tPp(t)Ptp(t)tdtPp(t)tdta（3）随机荷载）随机荷载 n变化规律带有一定偶然性变化规律带有一定偶然性的的非确定性荷载，如地震荷载非确定性荷载，如地震荷载和风荷载。和风荷载。4三、动力计算中体系的自由度三、动力计算中体系的自由度 质点的位移就是动力计算的基本未知数。确定运动过程中质点的位移就是动力计算的基本未知数。确定运动过程中任一时刻所有
4、质量的位置所需的独立几何参数的数目，称任一时刻所有质量的位置所需的独立几何参数的数目，称为该体系的自由度。为该体系的自由度。基本假定：忽略轴向变形基本假定：忽略轴向变形，认为杆不可伸长（压缩）的。认为杆不可伸长（压缩）的。一、一、集中质量法集中质量法。把连续分布的质量集中为几个质点，。把连续分布的质量集中为几个质点，转化为有限自由度问题。转化为有限自由度问题。二、广义坐标法二、广义坐标法。用有限个广义坐标参数及给定函数组。用有限个广义坐标参数及给定函数组合来描述无限自由度问题合来描述无限自由度问题。结构动力计算模型的简化方法结构动力计算模型的简化方法三、有限元法三、有限元法。把结构离散为若干单
5、元和自由度计算。把结构离散为若干单元和自由度计算。5三、动力计算中体系的自由度三、动力计算中体系的自由度 一、一、附加链杆法附加链杆法。使质点不发生线位移所施加的附加链。使质点不发生线位移所施加的附加链杆数即为体系动力计算的自由度。杆数即为体系动力计算的自由度。二、铰接体系法二、铰接体系法。将所有质点、刚结点及固定端支座变为。将所有质点、刚结点及固定端支座变为铰结点，铰接体系的自由度数也就是动力计算的自由度。铰结点，铰接体系的自由度数也就是动力计算的自由度。质点体系的振动自由度确定方法：质点体系的振动自由度确定方法：集中质量法集中质量法 简化为若干质点计算。忽略杆的轴向变形和质点的转动。简化为
6、若干质点计算。忽略杆的轴向变形和质点的转动。6三、动力计算中体系的自由度三、动力计算中体系的自由度 附加链杆法：附加链杆法：对质点施加链杆约束，限制所有质点的位移，对质点施加链杆约束，限制所有质点的位移，所施加的链杆数就是体系的自由度数。所施加的链杆数就是体系的自由度数。2个自由度个自由度1个自由度个自由度2个自由度个自由度4个自由度个自由度2个自由度个自由度7n铰接体系法：铰接体系法：将所有质点、刚结点及固定端支座变为铰结点将所有质点、刚结点及固定端支座变为铰结点后，使铰接体系成为几何不变体系所需要增加的链杆数即为后，使铰接体系成为几何不变体系所需要增加的链杆数即为自由度数。当体系有斜杆时可
7、考虑采用。自由度数。当体系有斜杆时可考虑采用。4个自由度个自由度三、动力计算中体系的自由度三、动力计算中体系的自由度 8三、动力计算中体系的自由度三、动力计算中体系的自由度 注意注意：体系中集中质量的个数不一定等于体系振动的自由度，：体系中集中质量的个数不一定等于体系振动的自由度，自由度数目与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次自由度数目与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数无关数无关。三个集中质量，一个自由度三个集中质量，一个自由度一个集中质量，两个自由度一个集中质量，两个自由度9四、阻尼四、阻尼 阻尼对结构的作用阻尼对结构的作用：一类是材料的非弹性变形，使变形能损失。一类是材料的
8、非弹性变形，使变形能损失。一类是阻尼力，包括介质阻力和摩擦阻力。一类是阻尼力，包括介质阻力和摩擦阻力。阻尼是振动的一个重要因素，而且很复杂，需化简阻尼是振动的一个重要因素，而且很复杂，需化简;把各种阻尼综合作用假定为受一个阻尼力作用。并且假定阻把各种阻尼综合作用假定为受一个阻尼力作用。并且假定阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，这一假定称为粘滞阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，这一假定称为粘滞阻尼理论。即尼理论。即：vR阻尼力；方向与运动速度的方向相反。阻尼力；方向与运动速度的方向相反。c阻尼系数；阻尼系数；v质点运动的速度；质点运动的速度；102008年广西人才小高地申报年广西人才小高地申
9、报单自由度体系的振动1.1.动力微分方程的建立动力微分方程的建立2.2.单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动3.3.单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动4.4.阻尼对振动的影响阻尼对振动的影响研究单自由度体系的研究单自由度体系的自振频率及在简谐荷自振频率及在简谐荷载作用下的动力响应载作用下的动力响应重点掌握！重点掌握！1110.2 2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动一、自由振动微分方程的建立一、自由振动微分方程的建立1.刚度法刚度法：根据：根据力的平衡条件力的平衡条件mmkyy质点质点m受力：受力：弹性力：弹性力：-ky，与位移方向相反；与位移方向相反；惯性力：惯
10、性力：，与加速度方向相反；，与加速度方向相反；根据达朗伯原理：根据达朗伯原理：2.柔度法柔度法：根据体系：根据体系变形协调条件变形协调条件体系受体系受惯性力惯性力：m的位移：的位移：其中其中：k 刚度系数；使刚度系数；使m产生单位位移需要施加的力；产生单位位移需要施加的力；柔度系数；单位力作用下柔度系数；单位力作用下m产生的位移：产生的位移：1210.2 2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动二、自由振动微分方程的解二、自由振动微分方程的解自由振动的组成：自由振动的组成：一部分由一部分由初始位移初始位移 y0引起的；引起的；另一部分由另一部分由初始速度初始速度 v0引起的。引起的。方
11、程的解也可以写成：方程的解也可以写成：微分方程微分方程：令：令：方程方程改为：改为：方程通解方程通解：根据初始条件根据初始条件：t=0时，时，y=y0,v=v0可确定可确定方程的解方程的解：根据初始条件可解得根据初始条件可解得：1310.2 2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动三、结构的自振周期三、结构的自振周期圆频率或频率圆频率或频率：2 时间内的振动次数时间内的振动次数,单位单位:“弧度弧度/s”；自振频率自振频率f：单位时间的振动次数；单位时间的振动次数；单位单位:“Hz（赫兹）（赫兹）”从微分方程的解从微分方程的解：位移是周期函数；位移是周期函数；自振周期自振周期T：振动一
12、周需要的时间；振动一周需要的时间；单位单位:“s（秒）（秒）”自振周期的性质自振周期的性质：1.自振周期仅与结构的自振周期仅与结构的质量和刚度质量和刚度有关；与外界的干扰力无关。有关；与外界的干扰力无关。2.质量越大，周期越大；质量越大，周期越大；刚度越大，周期越小。刚度越大，周期越小。3.自振周期是结构动力性能的一个重要指标。自振周期是结构动力性能的一个重要指标。例例1 1：图示等截面竖直悬臂杆，长度为：图示等截面竖直悬臂杆，长度为l，截面面积为截面面积为A A，惯性矩为惯性矩为I I，弹性模量弹性模量为为E E。杆顶重物的质量为杆顶重物的质量为mm。杆的质量忽略不计，计算水平振动的自振周期
13、。杆的质量忽略不计，计算水平振动的自振周期。解：解题的依据解：解题的依据刚度系数：刚度系数：使质点产生单位位移需要施加的力。使质点产生单位位移需要施加的力。柔度系数柔度系数：质点在单位力作用下产生的位移。：质点在单位力作用下产生的位移。M图例例2 2：求图示结构的重量集中为柱顶，：求图示结构的重量集中为柱顶，W=20KNW=20KN，试计算结构试计算结构的自振周期。的自振周期。EIEI1 1 10107 7NmNm2 2.结构的刚度系数即使柱顶发生单结构的刚度系数即使柱顶发生单位位移时，在柱顶需施加的力。位位移时，在柱顶需施加的力。ABn结构的自振频率和周期：结构的自振频率和周期：n考虑梁考虑
14、梁AB的平衡可得：的平衡可得：1610.3 3 单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动mykyP(t)P(t)1.1.单自由度体系的强迫振动的微分方程：单自由度体系的强迫振动的微分方程：可写成：可写成：2.2.当荷载为简谐荷载时：当荷载为简谐荷载时：3.3.微分方程的解为：微分方程的解为：为静荷载为静荷载F F作用下的振幅。作用下的振幅。时，振幅会趋近于无穷大，这种现象叫共振。时，振幅会趋近于无穷大，这种现象叫共振。为动力系数。为动力系数。m受力图受力图17强迫振动时的动力放大系数强迫振动时的动力放大系数 1)简谐动荷载作用在简谐动荷载作用在质点质点上，内力动力系数与位移上，内力动力系数
15、与位移动力系数相同。动力系数相同。动力系数动力系数:只须将只须将干扰力幅值当作静荷载干扰力幅值当作静荷载按静力方法计算出相应按静力方法计算出相应的位移、内力的位移、内力，再乘以动力系数再乘以动力系数 即可即可。先算出质体上的惯性力，再将先算出质体上的惯性力，再将惯性力及荷载幅值作用于结构惯性力及荷载幅值作用于结构上（上（如左图所示）如左图所示），然后按静，然后按静力方法计算位移和内力。力方法计算位移和内力。2)简谐动荷载不作用在质点上，结构没有一个统一简谐动荷载不作用在质点上，结构没有一个统一的动力系数。的动力系数。例例3 3：图示梁：图示梁l=4m4m，惯性矩惯性矩I=7480 I=7480
16、 cmcm4 4，弹模，弹模E E 10104 4KN/cmKN/cm2 2。在跨中。在跨中有电动机，重量有电动机，重量Q=35KNQ=35KN，转速转速n=500r/minn=500r/min。电机转动的离心力电机转动的离心力P=10KNP=10KN，离心力的竖向分力为离心力的竖向分力为Psin t。不计梁的质量，试求梁振动的最不计梁的质量，试求梁振动的最大动位移和最大动弯矩，最大位移和最大弯矩。大动位移和最大动弯矩，最大位移和最大弯矩。1.1.体系自由振动的频率：体系自由振动的频率：3.3.动力系数：动力系数：为动力位移和动力应为动力位移和动力应力的放大倍数。力的放大倍数。2.2.荷载频率
17、：荷载频率：4.4.最大动位移（振幅）：最大动位移（振幅）：94.3kN.m例例3 3：图示梁：图示梁l=4m4m，惯性矩惯性矩I=7480 I=7480 cmcm4 4，弹模，弹模E E 10104 4KN/cmKN/cm2 2。在跨中。在跨中有电动机，重量有电动机，重量Q=35KNQ=35KN，转速转速n=500r/minn=500r/min。电机转动的离心力电机转动的离心力P=10KNP=10KN，离心力的竖向分力为离心力的竖向分力为Psin t。不计梁的质量，试求梁振动的最不计梁的质量，试求梁振动的最大动位移和最大动弯矩，最大位移和最大弯矩。大动位移和最大动弯矩，最大位移和最大弯矩。体
18、系自由振动的频率：体系自由振动的频率：动力系数：动力系数：4.4.最大动位移（振幅）：最大动位移（振幅）：最大位移：等于静荷载和动荷载作用下的最大位移之和。最大位移：等于静荷载和动荷载作用下的最大位移之和。5.5.最大动弯矩：最大动弯矩：最大弯矩：最大弯矩：59.3kN.m20最大位移和最大内力的计算最大位移和最大内力的计算振动体系的最大位移为最大动位移与静位移之和；振动体系的最大位移为最大动位移与静位移之和；振幅为动位移的幅值（最大动位移）；振幅为动位移的幅值（最大动位移）；最大内力为最大动内力与静内力之和。最大内力为最大动内力与静内力之和。最大动位移和最大动内力要考虑动力系数的影响；最大动
19、位移和最大动内力要考虑动力系数的影响；动位移和动内力有正负号的变化，在与静位移和内动位移和动内力有正负号的变化，在与静位移和内力叠加时应予以注意。力叠加时应予以注意。21动荷载频率与结构受力特点的关系动荷载频率与结构受力特点的关系l当外荷载的频率很大时当外荷载的频率很大时()，体系振动很快，因，体系振动很快，因此惯性力很大，弹性力和阻尼力相对来说比较小，此惯性力很大，弹性力和阻尼力相对来说比较小，动荷载主要与惯性力平衡。动荷载主要与惯性力平衡。l当外荷载的频率很小时（当外荷载的频率很小时（c b B.ab c C.ba c D.c a bA二、选择填空二、选择填空三、动力计算三、动力计算29l
20、 m1m2 m3lllakEI=例例4.求求图图示体系中示体系中m1=2m，m2=m3=m。已知梁。已知梁EI=，弹弹簧簧的的刚刚度系数度系数k，求，求质质点的振点的振动频动频率。率。，解：体系振动中的力：刚度法建立体系的动力方程：30ak例例5.求求图图示体系中示体系中弹弹簧支座的最大簧支座的最大动动反力及梁的最大反力及梁的最大动动位移。位移。已知梁已知梁EI=，弹弹簧的簧的刚刚度系数度系数k，且有：，且有：解：解：结构的动力及位移图：结构的动力及位移图：C点的静力位移及相应弹簧反力：点的静力位移及相应弹簧反力：弹簧的最大动反力：弹簧的最大动反力：梁的最大动位移：梁的最大动位移：31例例6.
21、图图示示刚刚架的架的质质量集中在横梁上，量集中在横梁上，质质量量m=1000kg，忽略柱，忽略柱子的子的质质量及杆量及杆的的轴轴向向变变形，求横梁（柱形，求横梁（柱顶顶点）的最大点）的最大侧侧移，并移，并画出画出刚刚架的架的动动弯矩的幅弯矩的幅值图值图。已知：。已知：解：结构的刚度系数及频率：解：结构的刚度系数及频率：横梁的最大静力位移：横梁的最大静力位移：动力系数：动力系数：梁的最大动位移：梁的最大动位移：结构的动弯矩幅值图：结构的动弯矩幅值图：4mEI=EIEIP(t)EIEIP(t)200/9200/9200/9200/9200/9200/9有有例例7.试试求求图图示体系的自振示体系的自
22、振频频率及率及质质量量m的最大的最大动动力位移，力位移，设设=0.5，弹弹簧簧刚刚度度l 3,各杆各杆EI相同。（天津大学相同。（天津大学1996年）年）动力方程：动力方程：33习题习题1.求求图图示体系中示体系中弹弹簧支座的最大簧支座的最大动动反力及梁的最大反力及梁的最大动动位移。位移。已知梁已知梁EI=，弹弹簧的簧的刚刚度系数度系数k，且有：，且有：解：解：结构的动力及位移图：结构的动力及位移图：A点的静力位移及相应弹簧反力：点的静力位移及相应弹簧反力：弹簧的最大动反力：弹簧的最大动反力：梁的最大动位移：梁的最大动位移：结构的动力方程：结构的动力方程：34习题习题2.求梁跨中的振幅及最大位移，并画出求梁跨中的振幅及最大位移，并画出动动弯矩幅弯矩幅值图值图。已。已知知EI=常数，常数，W=9kN，解：解：1.作单位荷载作用下的弯矩图：作单位荷载作用下的弯矩图：3.荷载幅值作用的跨中静位移：荷载幅值作用的跨中静位移：4.动力系数：动力系数：5.梁的最大动位移及最大位移：梁的最大动位移及最大位移：2.求柔度系数及自振频率：求柔度系数及自振频率：6.结构的动弯矩幅值图：结构的动弯矩幅值图：