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1、结构动力计算二 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望多自由度及无限自由度体系的振动Goalsp运动微分方程的建立和求解p振型向量的概念p自由振动频率和振型计算p多自由度体系的强迫振动p无限自由度体系的振动多自由度及无限自由度体系的振动多自由度体系的自由振动p柔度法：受力分析多自由度和无限自由度体系的振动p柔度法：动力平衡方程思路：自由振动的任一时刻各质量块的位移应等于该时刻各惯性力的共同作用所产生的位移。即两自由度的体系有多自由度和无限自由度体系的振动p
2、柔度法：微分方程求解结构动力计算感兴趣的是各质量块按相同的频率和相同的相位角作简谐振动的自由振动解，即所谓体系的固有振动。设多自由度动力平衡方程的解为（以两自由度体系为例）：多自由度和无限自由度体系的振动p柔度法：微分方程求解将简谐解代入动力平衡方程得整理上述方程，得多自由度及无限自由度体系的振动上述方程记成矩阵形式多自由度和无限自由度体系的振动p柔度法：微分方程求解上述齐次代数方程组要有不全为零解则必须满足条件（Cramer rule）令 并展开上式，得到关于 的二次方程多自由度和无限自由度体系的振动p柔度法：微分方程求解其解为两根均为正的实根，可求得圆频率的两个值多自由度和无限自由度体系的
3、振动p刚度法：建立微分方程两自由度体系有多自由度及无限自由度体系的振动p刚度法：建立微分方程多自由度及无限自由度体系的振动p刚度法：建立微分方程质量块所受的弹性力与结构的位移之间的关系为一般来说，对任意多自由度体系有多自由度及无限自由度体系的振动p刚度法：建立微分方程将弹性力表达式代入动力平衡微分方程，得一般来说，对任意多自由度体系有多自由度及无限自由度体系的振动p刚度法：建立微分方程记成矩阵形式其中：多自由度及无限自由度体系的振动p刚度法：微分方程求解同样令解为代入到平衡微分方程（以两自由度体系为例）得多自由度及无限自由度体系的振动p刚度法：微分方程求解显然，上述齐次方程组有全不为零解的条件
4、是展开频率方程，得到用刚度系数表达的频率的解为多自由度及无限自由体系的振动p刚度法：微分方程的解多自由度及无限自由度体系的振动多自由度体系自由振动举例Example 1:简支梁质量集中在两点处如图示，截面抗弯模量为常数，求自振频率。多自由度及无限自由度体系的振动分析：简支梁的柔度系数计算比较简单，用柔度法求解，（静定结构用柔度法方便）。解：计算结构的柔度系数多自由度及无限自由度体系的振动由图乘法得计算圆频率将柔度系数代入下式（注意到 以及 和 ）多自由度及无限自由度体系的振动简支梁的两个自由振动圆频率为注意：频率按从小到大的顺序排列多自由度及无限自由度体系的振动多自由度体系自由振动举例Exam
5、ple 2横梁刚度为无穷大，各层间刚度系数分别为 、，一、二、三层楼板处的质量分别为 、。求结构的自振频率。（说明：所谓层间刚度系数即是使该层产生单位移而其它各层固定不动时所需的力）多自由度及无限自由度体系的振动Example 2多自由度及无限自由度体系的振动解：求刚架的刚度系数及刚度矩阵类似可求得其它系数，刚度矩阵为多自由度及无限自由度体系的振动写出质量矩阵计算圆频率多自由度及无限自由度体系的振动其中展开矩阵方程得求得多自由度及无限自由度体系的振动对应的圆频率为多自由度及无限自由度体系的振动p振型的概念注意到无论是柔度法的位移协调方程还是刚度法的动力平衡方程，它们都是关于位移的齐次方程，因而
6、其解应该有无穷多组，即任一组解的线性组使都是该方程的解。结构的位移并不能给出具体值。通常只关心在同一频率下各质量的相对位置，即关于振动的形态。单跨三层平面刚架如图所示，假定刚架的质量全部集中在各层横梁单跨三层平面刚架如图所示，假定刚架的质量全部集中在各层横梁上，上，m1=m2=270t,m3=180t。各柱截面的惯性矩。各柱截面的惯性矩。I1=3.267 10-3m4,I2=2.61 10-3m4,I3=1.307 10-3m4,横梁横梁I4=，材料弹性，材料弹性模量模量E=200Gpa。忽略杆的轴向变形。忽略杆的轴向变形,求刚架的自振频率和振型。求刚架的自振频率和振型。多自由度及无限自由度体
7、系的振动多自由度及无限自由度体系的振动解:(1)体系由3个自由度；采用刚度法计算。现计算刚度系数多自由度及无限自由度体系的振动（2）求各阶频率）求各阶频率 把计算得到的系数代入频率方程把计算得到的系数代入频率方程多自由度及无限自由度的振动令令 则：则：方程的实根为：方程的实根为：刚架的三个自振频率为：刚架的三个自振频率为：多自由度及无限自由度体系的振动多自由度及无限自由度体系的振动（3）求振型）求振型 将计算的结果代入方程：将计算的结果代入方程：将将 代入上式，令代入上式，令 1（3）=1，展开任意两个方展开任意两个方程可解得：程可解得：1(1)=0.3332，1(2)=0.6665，第一主振
8、型为第一主振型为：1=0.3332 0.6665 1 T 将将 代入上式，令代入上式，令 2（3）=1，同样可解得：同样可解得：2(1)=-0.6665，2(2)=-0.6665，第二主振型为第二主振型为：2=-0.6665 -0.6665 1 T 将将 代入上式，令代入上式，令 3（3）=1，同样可解得：同样可解得：第三主振型为第三主振型为：3=4.0 -3.0 1 T 或或3=1 -0.75 0.25 T 多自由度及无限自由度体系的振动（4 4）刚架的振型图）刚架的振型图0.66650.333210.66650.6665110.750.25多自由度及无限自由度体系的振动第一振型多自由度及无
9、限自由度体系的振动第二振型多自由度及无限自由度体系的振动第三振型多自由度及无限自由度体系的振动多自由度及无限自由度体系的振动p主振型的正交性 在同一体系中，任何两个不同的主振型向量 和 ，都满足下列关系式：多自由度及无限自由度体系的振动主振型的正交性证明由功的互等定理知：任一主振型中的惯性力在另一主振型相应位移上所做的功，应当等于第二振型的惯性力在该主振型的相应位移上所做的功。以两自由度为例，有多自由度及无限自由度体系的振动因是两不同的主振型，所以有注意到两振型的选择任意性，故主振型正交性得到证明。类似可以证明，主振型对刚度矩阵也有正交性，只要把质量矩阵换成刚度矩阵即可。n 对于标准化的振型向
10、量，也同样具有正交性对于标准化的振型向量，也同样具有正交性 ：n矩阵矩阵MM和和K K两边相乘的是同一个振型向量两边相乘的是同一个振型向量 i i时时,它们的乘它们的乘积等于一个数积等于一个数:n MMi i 称为广义质量称为广义质量.K Ki i 称为广义刚度称为广义刚度.n主振型正交性应用：可利用振型的正交性来校核计算出的主振型向量是否正确。多自由度及无限自由度体系的振动多自由度及无限自由度体系的振动n自由振动微分方程的特解自由振动微分方程的特解:n自由振动微分方程的通解为各特解的某种线性组合，即自由振动微分方程的通解为各特解的某种线性组合，即:它的代表形式是：多自由度体系自由振动的通解多
11、自由度体系自由振动的通解 n组合系数组合系数i和初位相和初位相i可由振动的初始条件确可由振动的初始条件确定；定；n在一般情况下系统振动时，其位移向量中包含在一般情况下系统振动时，其位移向量中包含了各个主振型成分，是一个复杂的运动，只有了各个主振型成分，是一个复杂的运动，只有当体系的初始位移和初始速度满足一定的条件当体系的初始位移和初始速度满足一定的条件时体系才按主振型振动。时体系才按主振型振动。n振型向量振型向量Y一般可以看成是系统各主振型向量的一般可以看成是系统各主振型向量的某种线性组合某种线性组合:多自由度及无限自由度体系的振动 振型组合系数的确定：对上式两边左乘对上式两边左乘 则：则：考
12、虑到振型的正交性,等式右边的多项式中,除只有i=j 一项不等于零，而等于广义质量Mj 外，其余各项均为零n综上所述，根据结构自身的质量矩阵综上所述，根据结构自身的质量矩阵M、刚度矩阵、刚度矩阵K或柔或柔度矩阵度矩阵F，可计算结构的各阶自振频率，可计算结构的各阶自振频率 i和主振型向量和主振型向量 i，进一步可计算振型组合系数进一步可计算振型组合系数 i，最终可求得系统振动时的，最终可求得系统振动时的振型向量振型向量Y。n其中广义质量其中广义质量Mj：多自由度及无限自由度体系的振动建立体系自身的质量矩阵M：n计算体系自身的刚度矩阵计算体系自身的刚度矩阵K或柔度矩阵或柔度矩阵F：多自由度体系自由振
13、动的计算步骤：n根据频率方程计算结构的各阶自振频率i 多自由度及无限自由度的振动多自由度及无限自由度体系的振动n计算系统振动时的振型向量Yn计算结构的主振型向量in计算振型的组合系数j 多自由度及无限自由度体系的振动多自由度体系的强迫振动pn个自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动（每一质量体比自由振动时多承担一项强迫振动力）多自由度及无限自由度体系的振动p若荷载是简谐荷载（注意频率相同），则有p取稳态解多自由度及无限自由度体系的振动p振动特征方程将稳态解代入振动方程，得（注意与自由振动比较）p解的讨论：u若系数矩阵不为零，即 可求得振幅，从而得到任一时刻各质量体的位移多自由度及无限自由度体系的
14、振动u若系数矩阵为零，即u联系到多自由度体系的自由振动解的存在条件，可知u此时，振幅趋于无穷大，意味着当强迫振动频率与自由振动频率中的任一个相同时，就可能出现共振现象。多自由度及无限自由度体系的振动无限自由度体系的自由振动p有限自由度与无限自由度体系运动特征描述比较：u有限自由度体系的质量体是固定的，即质量体的位置坐标是一定的，可以单独描述各质量体的位置，各质量体的振动位置只是时间的函数，其运动方程是常微分方程。u无限自由度体系的各质量点的位置是变化化的，因而在连续描述其运动时是位置和时间的函数，即多变量函数，运动方程是偏微分方程。多自由度及无限自由度体系的振动p等截面杆的弯曲振动多自由度及无
15、限自由度体系的振动p用变量分离法求解无限自由度的振动方程，即设其解为两个分别只与位置和时间有关的函数的乘积。u上式意味着在不同的时刻，弹性曲线的形状保持不变，只是随着时间不同，振幅不同。将上述分离变量解代入运动方程，得多自由度及无限自由度体系的振动整理可得 上式右边与位置坐标无关，左边与时间无关，因而它们都应与位置坐标和时间都无关，即为常数。进而可得到两个微分方程：多自由度及无限自由度体系的振动其中 或者 u关于时间的微分方程（第一个方程）的通解为（回忆单自由度的自由振动解）或多自由度及无限自由度体系的振动u于是无限自由度弯曲自由振动梁的解为 可见自由振动是以 为圆频率的简谐振动，是其振幅曲线
16、，注意常数 已包括在待定振幅函数 中。u关于位置坐标的微分方程（第二个方程）的解可表示为多自由度及无限自由度体系的振动u依据边界条件，可写出包含待定常数 的四个齐次方程。对简支梁左边界有u导出振幅曲线为多自由度及无限自由度体系的振动对简支梁右边界有上述齐次方程组有解的条件为即多自由度及无限自由度体系的振动u注意到将导致 ，故取解为其根为为无穷多个。多自由度及无限自由度体系的振动u与特征解对应的频率为u振幅曲线解为多自由度及无限自由度体系的振动用Rayleigh法求第一频率u原理：一个无阻尼的弹性体系自由振动时，它在任一时刻的总能量（应变能与动能之和）应当保持不变，即能量守恒。u对等截面分布质量
17、的横梁，其位移可表示为多自由度及无限自由度体系的振动u与振动曲线对应的弯曲应变能为u其最大值为u梁的动能为多自由度及无限自由度体系的振动u动能的最值为u当 时，位移和应变能为零，速度和动能最大，体系的总能量为 。u当 时，速度和动能为零，位移和应变能最大，体系的总能量为 。多自由度及无限自由度体系的振动u由能量守恒知u得u若梁上还有集中质量，则有多自由度及无限自由度体系的振动uRayleigh法近似求第一频率应用举例求等截面简支梁的的第一频率。要点：假定位移曲线形状。解：设位移形状曲线 为抛物线应变能和动能的最值为多自由度及无限自由度体系的振动振动频率为又解：若取分布荷载作用下的挠曲线为振幅曲线函数，即多自由度及无限自由度体系的振动可得第一频率为多自由度及无限自由度体系的振动又解：若设形状函数为正弦函数则有多自由度及无限自由度体系的振动其它近似方法简介（略）