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1、13结构的动力计算2023/2/2【可编辑】第第1313章章 结构的动力计算结构的动力计算13.1 13.1 动力计算概述动力计算概述一、动力计算的特点一、动力计算的特点（2 2）研究单自由度及多自由度的自由振动、强迫振动。）研究单自由度及多自由度的自由振动、强迫振动。1 1、内容：、内容：（1 1）研究动力荷载作用下，结构的内力、位移等计算原理）研究动力荷载作用下，结构的内力、位移等计算原理和计算方法。求出它们的最大值并作为结构设计的依据。和计算方法。求出它们的最大值并作为结构设计的依据。2 2、静荷载和动荷载、静荷载和动荷载 （1 1）静荷载：荷载的大小和方向不随时间变化（如梁板）静荷载：
2、荷载的大小和方向不随时间变化（如梁板自重）。自重）。（2 2）动荷载：荷载的大小和方向随时间变化，需要考虑）动荷载：荷载的大小和方向随时间变化，需要考虑惯性力（惯性力（与影响线不同与影响线不同）。）。3 3、特点、特点 （2 2）内力与荷载不能构成静平衡。必须考据惯内力与荷载不能构成静平衡。必须考据惯性力。依达朗伯原理，加惯性力后，将动力问题转性力。依达朗伯原理，加惯性力后，将动力问题转化为静力问题。化为静力问题。（1 1）必须考虑惯性力（当）必须考虑惯性力（当=时，共振时，共振）。（3 3）分析自由振动即求自振频率、振型、阻尼）分析自由振动即求自振频率、振型、阻尼参数等是求强迫振动动力反应的
3、前提和准备。参数等是求强迫振动动力反应的前提和准备。（4 4）学习循序渐进：）学习循序渐进：第第13章章二、动力荷载的种类二、动力荷载的种类 P(tP(t)t to oP(t)=psin t 1 1、简谐周期荷载：、简谐周期荷载：荷载按正弦余弦规律变化（偏荷载按正弦余弦规律变化（偏心转子对结构的冲击）。心转子对结构的冲击）。2 2、冲击荷载：、冲击荷载：荷载在短时间内急剧增加或减少荷载在短时间内急剧增加或减少（锻锤对基础的冲击、爆炸等）。（锻锤对基础的冲击、爆炸等）。P(t)totdP(t)totd第第13章章3 3、脉动风压、脉动风压4 4、地震荷载、地震荷载三、振动体系的自由度三、振动体系
4、的自由度 1 1、基本未知量：、基本未知量：以质点位移作为基本未知量。结以质点位移作为基本未知量。结构上全部质点有几个独立的位移，就有几个独立的构上全部质点有几个独立的位移，就有几个独立的未知量。未知量。2 2、自由度：、自由度：结构运动时，确定全部质点位置所需结构运动时，确定全部质点位置所需要的独立几何参变量的数目要的独立几何参变量的数目（与几何组成自由度不同）（与几何组成自由度不同）。第第13章章 四、体系振动的衰减现象，阻尼力四、体系振动的衰减现象，阻尼力 （6 6）可用加链杆的方法确定自由度。）可用加链杆的方法确定自由度。1 1、自由振动的衰减：、自由振动的衰减：结构在自由振动时的结构
5、在自由振动时的 振幅随时间逐渐减小振幅随时间逐渐减小 ，直，直至振幅为零、震动停止的现象。至振幅为零、震动停止的现象。第第13章章2 2、引起振幅衰减是因能量损耗，其主要原因有：、引起振幅衰减是因能量损耗，其主要原因有：（2 2）周围介质对振动的阻力。）周围介质对振动的阻力。（1 1）结构材料的内摩擦阻力。）结构材料的内摩擦阻力。（4 4）地基土等的摩擦阻力。）地基土等的摩擦阻力。（5 5）建筑物基础振动引起土体振动，振波传播，）建筑物基础振动引起土体振动，振波传播，能量扩散。能量扩散。（3 3）支座、结点等构件联结处的摩擦力。）支座、结点等构件联结处的摩擦力。第第13章章4 4、粘滞阻尼理论
6、（伏伊特理论）、粘滞阻尼理论（伏伊特理论）阻尼力与体系振动的变形速度成正比，方向与阻尼力与体系振动的变形速度成正比，方向与速度方向相反。速度方向相反。3 3、阻尼、阻尼 使能量耗散的因素，统称为阻尼。使能量耗散的因素，统称为阻尼。式中：式中：c c为阻尼系数；为阻尼系数；y=dy/dt为质点的位移速度；为质点的位移速度；负号表示阻尼力的方向恒与速度方向相反。负号表示阻尼力的方向恒与速度方向相反。第第13章章13.2 13.2 单自由度体系的运动方程单自由度体系的运动方程一、研究单自由度体系振动的重要性一、研究单自由度体系振动的重要性 1 1、是工程上一些实际结构的简化。、是工程上一些实际结构的
7、简化。2 2、是研究复杂动力计算的基础。、是研究复杂动力计算的基础。建筑物基础建筑物基础水塔的水平振动水塔的水平振动第第13章章二、单自由度体系振动的简化模型二、单自由度体系振动的简化模型 mk11ck11cm恢复力简化为一弹簧，恢复力简化为一弹簧，阻尼力简化为一阻尼器阻尼力简化为一阻尼器1 1、弹簧刚度系数（、弹簧刚度系数（k11）使弹簧伸长或压缩单位长度所需之力。使弹簧伸长或压缩单位长度所需之力。2 2、弹簧柔度系数（、弹簧柔度系数（11）在单位力作用下，弹簧的伸长或压缩量。在单位力作用下，弹簧的伸长或压缩量。第第13章章三、单自由度体系运动方程的建立三、单自由度体系运动方程的建立 mk1
8、1cy0ysydS(t)WI(t)D(t)P(t)取物块为隔离体取物块为隔离体,其上共作用五个力其上共作用五个力1 1、达朗伯原理是建立运动方程所依据的基本原理。、达朗伯原理是建立运动方程所依据的基本原理。2 2、列动力平衡方程、列动力平衡方程第第13章章3 3、列位移方程、列位移方程S(t)WI(t)D(t)P(t)以弹簧为研究对象以弹簧为研究对象,分析它与分析它与物块联结点处的位移。物块联结点处的位移。y0S(t)任意时刻的位移任意时刻的位移:即即:将将代入上式代入上式,得得:第第13章章13.2 13.2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动一、无阻尼自由振动一、无阻尼自由振动2
9、 2、运动方程及其解的形式、运动方程及其解的形式令令则则其解其解则则 tC2 C y 令令 CC2C1 1 1、特点、特点 (1)(1)无能量耗散无能量耗散,振动一经开始永不休止：振动一经开始永不休止：(2)(2)无振动荷载：无振动荷载：第第13章章3 3、几个术语、几个术语 （1 1）周期：）周期：振动一次所需的时间。振动一次所需的时间。（2 2）工程频率）工程频率 单位时间内的振动次数（与周期互为倒数）。单位时间内的振动次数（与周期互为倒数）。（3 3）频率（圆频率）频率（圆频率）旋转向量的角速度，即体系在旋转向量的角速度，即体系在2 2 秒内的振动秒内的振动次数。自由振动时的圆频率称为次
10、数。自由振动时的圆频率称为“自振频率自振频率”。第第13章章频率定义式：频率定义式：频率计算式：频率计算式：周期计算式：周期计算式：自振频率是体系本身的固有属性，与体系的自振频率是体系本身的固有属性，与体系的刚度、质量有关，与激发振动的外部因素无关。刚度、质量有关，与激发振动的外部因素无关。第第13章章4 4、微分方程中各常数由初始条件确定、微分方程中各常数由初始条件确定 代入：代入：将将时时得：得：于是：于是：第第13章章进一步可确定式进一步可确定式中的中的c和和 cc2c15 5、分析例题、分析例题13-113-1、13-213-2（P83P83）二、有阻尼的自由振动二、有阻尼的自由振动
11、1 1、振动方程及其解、振动方程及其解则则令令特征方程特征方程特征根特征根第第13章章分三种情况讨论：（分三种情况讨论：（1 1）k k，小阻尼情况，小阻尼情况（2 2）k k，大阻尼情况，大阻尼情况（3 3）k=k=，临界阻尼情况，临界阻尼情况或：或：（1 1）k k，小阻尼情况，小阻尼情况式中式中 称为称为“有阻尼振动的圆频率有阻尼振动的圆频率”称为称为“有阻尼振动的自振周期有阻尼振动的自振周期”y y r rt t2 2（一对共轭复根）（一对共轭复根）结论：振幅结论：振幅Ce-kt按负指数函数衰减的自由振动。按负指数函数衰减的自由振动。第第13章章（2 2）k k，大阻尼情况，大阻尼情况
12、特征根特征根（两个不等的实根）（两个不等的实根）令令则则结论：上式中不含简谐振动因子，阻尼使能量耗尽，结论：上式中不含简谐振动因子，阻尼使能量耗尽，故不振动。故不振动。或或通解通解 第第13章章y yy yt tt to oo o（3 3）k=k=，临界阻尼情况，临界阻尼情况特征根特征根（两个相同的实根）（两个相同的实根）结论：由振动过渡到非振动的临界状态。结论：由振动过渡到非振动的临界状态。大阻尼情况下的振动曲线：大阻尼情况下的振动曲线：通解通解 第第13章章2 2、阻尼系数的确定、阻尼系数的确定（1 1）阻尼比的概念）阻尼比的概念 实际工程中实际工程中K K，属于小阻尼衰减性振动。通，属于
13、小阻尼衰减性振动。通常以阻尼比作为基本参数。常以阻尼比作为基本参数。根据定义根据定义临界状态时临界状态时故阻尼系数故阻尼系数第第13章章（2 2）阻尼比的确定）阻尼比的确定y yt t于是：于是：依上式可绘出振动图形：依上式可绘出振动图形：第第13章章定义定义（对数递减量）（对数递减量）（3 3）阻尼系数的确定）阻尼系数的确定根据实测两个相邻振幅来计算阻尼比，进而求阻尼系数。根据实测两个相邻振幅来计算阻尼比，进而求阻尼系数。实测振幅实测振幅第第13章章解解（1 1）对数递减量：）对数递减量：（2 2）阻尼比：）阻尼比：（3 3）阻尼系数：）阻尼系数：（4 4）振动）振动5 5周期后的振幅：周期
14、后的振幅：例题例题13-3 13-3 图示门式刚架作自由振动。图示门式刚架作自由振动。t=0t=0时，时，y y0 0=0.5cm=0.5cm，y y0 0=0=0。测得测得r r=1.5 S;=1.5 S;一周期后一周期后,y,y1 1=0.4cm=0.4cm。求门架的阻尼。求门架的阻尼系数及振动系数及振动1010周期后的振幅周期后的振幅 y y1010。.PM=1000tEI=第第13章章13.3 13.3 单自由度体系在简谐荷载单自由度体系在简谐荷载 作用下的动力计算作用下的动力计算一、考虑阻尼时运动方程及其解一、考虑阻尼时运动方程及其解 1 1、运动方程、运动方程则：则：设：设：通解包
15、括两部分：通解包括两部分：第第13章章2 2、齐次解：、齐次解：特征方程：特征方程：特征根：特征根：3 3、特解（待定系数法）：、特解（待定系数法）：设：设：将上式代入原方程后，可确定将上式代入原方程后，可确定A A1 1、A A2 2：第第13章章设：设：进一步，可得：进一步，可得：于是可将特解写为于是可将特解写为 的形式。的形式。将各量代入后，可求出特解：将各量代入后，可求出特解：4、通解、通解第第13章章利用利用 可确定通解中的常数可确定通解中的常数C C1 1、C C2 2，于是：，于是：5 5、稳态解（稳态解（分析上式或直接分析通解，达到稳态后）分析上式或直接分析通解，达到稳态后）第
16、第13章章达到稳态时运动方程的解为达到稳态时运动方程的解为 运动方程运动方程二、动位移幅值的计算（考虑阻尼）二、动位移幅值的计算（考虑阻尼）利用利用和和（A AS S为干扰力幅值产生的静位移）为干扰力幅值产生的静位移）运动方程的解（任意时刻的位移）可改写为：运动方程的解（任意时刻的位移）可改写为：1 1、考虑阻尼、考虑阻尼 第第13章章动位移幅值为：动位移幅值为：于是：于是：称为称为“动力系数动力系数”或或“放大系数放大系数”。令：令：第第13章章2 2、不考虑阻尼时动位移幅值的计算、不考虑阻尼时动位移幅值的计算不考虑阻尼时，令动力放大系数计算式中不考虑阻尼时，令动力放大系数计算式中3 3、共
17、振时动位移幅值的计算、共振时动位移幅值的计算共振时，令动力放大系数计算式中共振时，令动力放大系数计算式中放大系数：放大系数：放大系数：放大系数：动位移幅值：动位移幅值：动位移幅值：动位移幅值：第第13章章4 4、影响动位移幅值大小的因素、影响动位移幅值大小的因素（1 1）与干扰力幅值成正比；）与干扰力幅值成正比；（2 2）与）与/的比值有关的比值有关；（a a）当）当 时时-动荷载可作为静荷载处理动荷载可作为静荷载处理；（b b）当）当 时时-与阻尼无关，结构可视为静止；与阻尼无关，结构可视为静止；（c c）当）当=时时-共振，设计时应避免共振。由于阻尼的存在，共振，设计时应避免共振。由于阻尼
18、的存在，振幅不会无限大。振幅不会无限大。第第13章章 D D与与 和和的关系图的关系图D D4.04.03.03.02.02.01.01.00 00.50.51.01.02.02.01.51.5=0=0=1=1=0.2=0.2=0.5=0.55 5、位移和振动荷载之间的相位关系、位移和振动荷载之间的相位关系（1）当不计阻尼（）当不计阻尼（=0）时）时（a）当）当/1 时时:=0，A与与P同相位；同相位；（b）当）当/1 时时:=，A与与P反相位。反相位。有阻尼振动的特解：有阻尼振动的特解：式中：式中：tan 0,且为正值且为正值tan 0/2 tan 0,且为负值且为负值第第13章章02.03
19、.0=0=1=0.2=0.5=01.0与与 和和的关系图的关系图（2 2）当考虑阻尼）当考虑阻尼时时（a a）当）当/1 1时时-0-0 /2,A/2,A与与P P有相位差；有相位差；（b b）当）当/1 1时时-/2/2 ，A A与与P P有相位差；有相位差；（c c）当）当/=1=1时时-=-=/2/2，A A与与P P相位差为相位差为/2/2。1 1、强迫振动达到稳态时，振动荷载输入的能量等于体、强迫振动达到稳态时，振动荷载输入的能量等于体系振动过程中消耗的能量。系振动过程中消耗的能量。三、强迫振动时的能量转换三、强迫振动时的能量转换 2 2、依能量关系同样可以推导出振幅的计算式：、依能
20、量关系同样可以推导出振幅的计算式：第第13章章1 1、一般方法、一般方法 由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值时，内力也应达到幅值（不计阻尼时，位移与动荷幅值时，内力也应达到幅值（不计阻尼时，位移与动荷载同相位）。载同相位）。将惯性力幅值和干扰力幅值同时加在体系上，而后将惯性力幅值和干扰力幅值同时加在体系上，而后按静力学方法求解，即可求得反力和内力的幅值。按静力学方法求解，即可求得反力和内力的幅值。四、动内力幅值的计算四、动内力幅值的计算第第13章章m2 2、比例算法、比例算法 当动力荷载与惯性力共线时，由于结构的位移与外力当动力荷载与惯
21、性力共线时，由于结构的位移与外力成正比，位移、内力同时达到幅值，故可以按比例计算。成正比，位移、内力同时达到幅值，故可以按比例计算。将惯性力幅值放大将惯性力幅值放大 倍后加在质量处，倍后加在质量处，而后按静力学而后按静力学方法求解即可。方法求解即可。时，位移为时，位移为时，位移最大时，位移最大依比例关系：依比例关系：第第13章章mm 1 1、纯强迫振动的振幅可由干扰力振幅、纯强迫振动的振幅可由干扰力振幅P P所引起的静位移所引起的静位移A AS S放大放大 倍而得到。倍而得到。五、计算动位移幅值、动内力幅值时应注意的问题五、计算动位移幅值、动内力幅值时应注意的问题（1 1）当结构的柔度系数易求
22、时）当结构的柔度系数易求时 2 2、若荷载不直接作用在质点上，则应以、若荷载不直接作用在质点上，则应以-R-Ripip 代替代替P P，或以或以 ipip代替代替P P 1111。第第13章章（2 2）当结构的刚度系数易求时）当结构的刚度系数易求时mmm 3 3、当动力荷载与惯性力共线时，、当动力荷载与惯性力共线时，既是动既是动位移放大系数，位移放大系数，也是各截面动内力和动位移的放大系数。也是各截面动内力和动位移的放大系数。例题例题13-4 13-4 在梁的中点作用有一重量为在梁的中点作用有一重量为W=30kNW=30kN的动力机械，已知梁的弹的动力机械，已知梁的弹性模量性模量E=210GP
23、aE=210GPa，惯性矩，惯性矩I=8.010I=8.010-5-5m m4 4 ，动力机械转动时其离心力的垂直分力，动力机械转动时其离心力的垂直分力为为P Psinsintt，且，且P=10kNP=10kN，旋转速度，旋转速度N=500N=500转转/分。若不考虑阻尼，试求梁的最大挠分。若不考虑阻尼，试求梁的最大挠度和弯矩（梁的自重略去不计）。度和弯矩（梁的自重略去不计）。解：解：1 1、自振频率、自振频率：3 3、动力系数、动力系数 ：2 2、干扰力频率、干扰力频率：4 4、梁中点的振幅、梁中点的振幅：第第13章章Psint2m2mP=11mM1图图5 5、梁的总位移、梁的总位移 ：6
24、6、梁的最大弯矩、梁的最大弯矩 ：59Mmax(kN.m)29 例题例题13-5 13-5 图示简支刚架，在图示简支刚架，在1点处有一质体，点处有一质体，m=1000kg，在，在2点处作用点处作用有动力荷载有动力荷载Psint，且，且P=300N，已知，已知EI=5.0107N.m2，设，设=0.5，不考虑阻尼。，不考虑阻尼。求质体求质体m处的动位移幅值。处的动位移幅值。第第13章章解：解：1 1、单位力引起的质体处的位移、单位力引起的质体处的位移：2 2、动位移幅值：动位移幅值：P=1126m6mP=121.5mPsint3m3m6m12mEIEI2EI2m2m补充例补充例题题解解：（一）不
25、共振情况：（一）不共振情况1、动力系数、动力系数：2、动位移幅值、动位移幅值：3、梁中点的总位移、梁中点的总位移：第第13章章4、动力弯矩图及总弯矩图的绘制、动力弯矩图及总弯矩图的绘制a)一般方法一般方法*确定动位移达到幅值时的时间确定动位移达到幅值时的时间第第13章章*确定惯性力幅值和动荷载幅确定惯性力幅值和动荷载幅*将惯性力幅值和动荷载幅加在体系上，绘动力弯矩图将惯性力幅值和动荷载幅加在体系上，绘动力弯矩图150.19801130830b)比例法（适用于无阻尼情况，此题近似）比例法（适用于无阻尼情况，此题近似）1519801130830第第13章章（二）共振情况（二）共振情况1、动力系数、
26、动力系数：2、动位移幅值、动位移幅值：3、梁中点的总位移、梁中点的总位移：设自振频率在计算过程中有设自振频率在计算过程中有25%的误差，则的误差，则 61.5（125%）61.5(125%）46.125 76.875 而而=52.3，产生共振。，产生共振。437.69801418542第第13章章13.4 13.4 单自由度体系在任意荷载作单自由度体系在任意荷载作 用下的强迫振动用下的强迫振动一、瞬时冲量引起的动力反应一、瞬时冲量引起的动力反应1 1、冲量定理、冲量定理 质点的动量在任意段时间内的增量，等于作用于质点的质点的动量在任意段时间内的增量，等于作用于质点的力在同一段时间内的冲量（质点
27、的动量定理）。力在同一段时间内的冲量（质点的动量定理）。2 2、冲量结束时，质点的速度和位移、冲量结束时，质点的速度和位移第第13章章有阻尼自由振动：有阻尼自由振动：冲量结束时，质点的速度和位移冲量结束时，质点的速度和位移由动量定理：由动量定理：取取 t t时间内的平均速度与时间内的平均速度与 t t相乘，得相乘，得冲量结束时的位移：冲量结束时的位移：第第13章章3 3、瞬时冲量引起的动力反应、瞬时冲量引起的动力反应第第13章章二、任意荷载引起的动力反应二、任意荷载引起的动力反应第第13章章13.5 13.5 多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动一、两个自由度体系的自由振动一、两个自由
28、度体系的自由振动1 1、运动方程的建立、运动方程的建立（1 1）列位移方程（柔度法）：）列位移方程（柔度法）：将惯性力将惯性力 代入上式并整理，得：代入上式并整理，得：第第13章章（2 2）列动力平衡方程（刚度法）：）列动力平衡方程（刚度法）：第第13章章 2 2、运动方程的求解和频率方程（柔度系数易求情况）：、运动方程的求解和频率方程（柔度系数易求情况）：(1(1)(2(2)(3(3)设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：将方程的特解及其二阶导数代入式（将方程的特解及其二阶导数代入式（1 1），化简后得：），化简后得：(4(4
29、)令该齐次方程组系数行列式等于零，可得频率方程：令该齐次方程组系数行列式等于零，可得频率方程：(5(5)第第13章章将该齐次方程组系数行列式展开：将该齐次方程组系数行列式展开：解方程，可得两个自振频率：解方程，可得两个自振频率：3 3、运动方程的求解和频率方程（刚度系数易求情况）：、运动方程的求解和频率方程（刚度系数易求情况）：设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：将方程的特解及其二阶导数代入原方程，化简后得：将方程的特解及其二阶导数代入原方程，化简后得：第第13章章4 4、特定初始条件下的简谐振动主振型、特定初始条件下的简谐振
30、动主振型当当=1 1时：时：代入运动方程：代入运动方程：得：得：当当=2 2时：时：对刚度系数易求的情况对刚度系数易求的情况第第13章章当当=1 1时：时：当当=2 2时：时：对刚度系数易求的情况对刚度系数易求的情况 5 5、任意初始条件下，体系的自由振动振动、任意初始条件下，体系的自由振动振动 在一般条件下，质点的位移是由不同频率的简谐分量叠加而成，在一般条件下，质点的位移是由不同频率的简谐分量叠加而成，不再是简谐振动。不再是简谐振动。第第13章章例题：求图示体系的自振频率和主振型。例题：求图示体系的自振频率和主振型。解：解：（1 1）求频率）求频率代入代入（2 2）求振型）求振型第第13章
31、章二、多自由度体系的自由振动二、多自由度体系的自由振动1 1、运动方程的建立、运动方程的建立（1 1）列位移方程（柔度法）：）列位移方程（柔度法）：移项后，写成矩阵的形式：移项后，写成矩阵的形式：第第13章章（2 2）列动力平衡方程方程（刚度法）：）列动力平衡方程方程（刚度法）：移项后，写成矩阵的形式：移项后，写成矩阵的形式：第第13章章2 2、运动方程的求解和频率方程（柔度系数易求情况）、运动方程的求解和频率方程（柔度系数易求情况）设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：将方程的特解及其二阶导数代入式（将方程的特解及其二阶导数代
32、入式（1 1），化简后得：），化简后得：令该齐次方程组系数行列式等于零，可得频率方程：令该齐次方程组系数行列式等于零，可得频率方程：(1(1)(2)(2)(3)(3)(13-(13-111)111)(13-112)(13-112)第第13章章第第13章章设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：(2(2)(3(3)3 3、运动方程的求解和频率方程（刚度系数易求情况）：、运动方程的求解和频率方程（刚度系数易求情况）：(1(1)将方程的特解及其二阶导数代入式（将方程的特解及其二阶导数代入式（1 1），化简后得：），化简后得：(13-98
33、)(13-98)第第13章章令该齐次方程组系数行列式等于零，可得频率方程：令该齐次方程组系数行列式等于零，可得频率方程：(13-99)(13-99)第第13章章 4 4、振型矩阵的概念、振型矩阵的概念第第13章章 例题例题1 1：三层刚架。质量、侧移刚度如图所示。略去横梁变形。试求三层刚架。质量、侧移刚度如图所示。略去横梁变形。试求该刚架的自振频率和主振型。该刚架的自振频率和主振型。解：解：（1 1）求频率）求频率第第13章章（2 2）求振型）求振型第第13章章第第13章章 例题例题2 2：对称刚架。梁抗弯刚度对称刚架。梁抗弯刚度EI=EI=，柱的抗弯刚度，柱的抗弯刚度EIEIC C=6.0=
34、6.0 MN.mMN.m2 2,横梁的总质量横梁的总质量1600kg,1600kg,两柱中点处的集中质量为两柱中点处的集中质量为300kg300kg。求刚架。求刚架的自振频率和主振型。的自振频率和主振型。解：解：（一）正对称形式的自由振动（一）正对称形式的自由振动第第13章章 例题例题2 2：对称刚架。梁抗弯刚度对称刚架。梁抗弯刚度EI=EI=，柱的抗弯刚度，柱的抗弯刚度EIEIC C=6.0=6.0 MN.mMN.m2 2,横梁的总质量横梁的总质量1600kg,1600kg,两柱中点处的集中质量为两柱中点处的集中质量为300kg300kg。求刚架。求刚架的自振频率和主振型。的自振频率和主振型
35、。（二）反对称形式的自由振动（二）反对称形式的自由振动第第13章章（三）原刚架的频率和变形（三）原刚架的频率和变形第第13章章13.6 13.6 多自由度体系主振型的正交性多自由度体系主振型的正交性一、定义一、定义 所谓主振型的正交性是指不同频率相应的主振型之间存所谓主振型的正交性是指不同频率相应的主振型之间存在着相互正交的性质。在着相互正交的性质。二、证明：二、证明：X Xi i(1)(1)X Xi i(2)(2)X Xi i(n)(n)X Xj j(1)(1)X Xj j(2)(2)X Xj j(n)(n)第第13章章第第13章章（13-127）（13-128）振型正交性应用：振型正交性应
36、用：（1 1）简化多自由度体系的动力计算；）简化多自由度体系的动力计算；（2 2）检验所得主振型是否正确。）检验所得主振型是否正确。例题（例题（13-1213-12）第第13章章1 1、列位移方程（柔度法）：、列位移方程（柔度法）：移项后，写成矩阵的形式：移项后，写成矩阵的形式：13.7 13.7 多自由度体系在简谐荷载作用多自由度体系在简谐荷载作用下的的强迫振动下的的强迫振动一、运动方程的建立一、运动方程的建立第第13章章2 2、列动力平衡方程方程（刚度法）：、列动力平衡方程方程（刚度法）：移项后，写成矩阵的移项后，写成矩阵的形式形式：第第13章章二、简谐荷载作用下的强迫振动二、简谐荷载作用
37、下的强迫振动设达到稳态后，各质点按干扰力频率作简谐振动：设达到稳态后，各质点按干扰力频率作简谐振动：柔度系数易求时，将式（柔度系数易求时，将式（3 3）代入式（）代入式（1 1），并化简：），并化简：1 1、运动方程、运动方程2 2、动位移幅值的计算、动位移幅值的计算刚度系数易求时，将式（刚度系数易求时，将式（3 3）代入式（）代入式（2 2），并化简：），并化简：第第13章章 将惯性力幅值和动荷载幅值同时加在体系上，而后按静力方法计算将惯性力幅值和动荷载幅值同时加在体系上，而后按静力方法计算即可。即可。（为什么？）（为什么？）3 3、动内力幅值计算（无阻尼）、动内力幅值计算（无阻尼）三、两个
38、自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动（无阻尼）三、两个自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动（无阻尼）（1 1）柔度系数易求）柔度系数易求1 1、动位移幅值的计算、动位移幅值的计算第第13章章（13-147）（2 2）刚度系数易求）刚度系数易求2 2、动内力幅值计算（无阻尼）、动内力幅值计算（无阻尼）将惯性力幅值和动荷载幅值同时加在体系上，而后将惯性力幅值和动荷载幅值同时加在体系上，而后按静力方法计算即可。按静力方法计算即可。第第13章章（13-133）3 3、注意点、注意点 （1 1）由于强迫振动的动荷载为已知（幅值和频率），故可直接求出动位）由于强迫振动的动荷载为已知（幅值和频率），故可直接
39、求出动位移幅值移幅值A A1 1、A A2 2。（2 2）在简谐荷载作用下，体系达到稳态后，两质点也都作简谐振动，其）在简谐荷载作用下，体系达到稳态后，两质点也都作简谐振动，其频率与干扰力频率相同。频率与干扰力频率相同。（3 3）干扰力频率与振幅的关系：）干扰力频率与振幅的关系：a)a)当当00时；动力作用很小，动位移幅值相当于将干扰力幅值当作静时；动力作用很小，动位移幅值相当于将干扰力幅值当作静荷载所产生的位移。荷载所产生的位移。b)b)当当时；时；A A1 1 00，A A2 2 00。c)c)当当1 1 或或2 2时；产生共振，时；产生共振，A A1 1，A A2 2。(4)(4)当不计
40、阻尼时，位移与惯性力随干扰力作同样变化，并同时达到幅当不计阻尼时，位移与惯性力随干扰力作同样变化，并同时达到幅值。与位移相应的惯性力幅值为：值。与位移相应的惯性力幅值为：第第13章章 例题例题13-1313-13：三层刚架。质量、侧移刚度及动荷载如图所示，三层刚架。质量、侧移刚度及动荷载如图所示，p(t)=100sinp(t)=100sin t kNt kN。每分钟振动。每分钟振动200200次。略去横梁变形。试求该刚架各次。略去横梁变形。试求该刚架各层振幅值及各层柱的剪力幅值。层振幅值及各层柱的剪力幅值。解：解：（一）求各楼层的振幅：（一）求各楼层的振幅：第第13章章（二）求动内力值：（二）
41、求动内力值：44.59444.5947.6167.61617.49217.492Q Q图（图（kN)kN)位移（位移（cm.)cm.)动动M M图（图（kN.m)kN.m)第第13章章 例题例题13-1413-14：结构同例结构同例13137 7，设在质量，设在质量m m2 2处作用有简谐荷载处作用有简谐荷载P Psinsintt。已知：已知：m m1 1=m=m2 2=m=m，EI=EI=常数，常数，=0.6=0.61 1。若不计梁的自重，试求该体系的。若不计梁的自重，试求该体系的动位移和动弯矩的幅值图。动位移和动弯矩的幅值图。解：解：（1 1）求位移幅值）求位移幅值A A1 1、A A2
42、2 第第13章章12l/3l/3l/3m1m2Psint210.204Pl0.317PlP12MP图图2Pl/911M1图图 2l/9112M2图图2l/9(2(2）求质点）求质点1 1、2 2动弯矩幅值动弯矩幅值21P1 1、正则坐标应满足的条件、正则坐标应满足的条件13.8 13.8 多自由度体系在一般动力荷载作用下多自由度体系在一般动力荷载作用下 的强迫振动（的强迫振动（振型叠加法）振型叠加法）一、正则坐标一、正则坐标(1)(1)以质点位移作为坐标（几何坐标）建立的运动方程，必须联立求解。以质点位移作为坐标（几何坐标）建立的运动方程，必须联立求解。(2)(2)以正则坐标代替几何坐标，可将
43、联立方程变为若干个独立方程求解。以正则坐标代替几何坐标，可将联立方程变为若干个独立方程求解。(3)(3)正则坐标的建立正则坐标的建立第第13章章2 2、正则坐标的几何意义、正则坐标的几何意义 a)a)体系的实际位移可以看作是由固体系的实际位移可以看作是由固有振型乘以对应的组合系数有振型乘以对应的组合系数v v1 1、v v2 2之后之后叠加而成。叠加而成。b)b)组合系数组合系数v v1 1、v v2 2称为称为“正则坐标正则坐标”。上述作法相当于将实际位移按振。上述作法相当于将实际位移按振型分解，固称型分解，固称“振型分解法振型分解法”；反之，；反之，“振型叠加法振型叠加法”。c)c)对对n
44、 n个自自由度体系，有：个自自由度体系，有：第第13章章 1 1(1)(1)2 2(2)(2)2 2(1)(1)2 2(2)(2)c)c)对对n n个自自由度体系，有：个自自由度体系，有：1(1)2(n)2(1)2(2)n(1)n(2)1(n)1(2)n(n)第第13章章1 1、正则坐标方程的推导、正则坐标方程的推导二、按振型叠加法计算强迫振动二、按振型叠加法计算强迫振动第第13章章2 2、正则坐标微分方程的解、正则坐标微分方程的解第第13章章（13-173）3 3、振型叠加法解题步骤、振型叠加法解题步骤（1 1）计算计算或或kk ,而后代入频率方程求频率；而后代入频率方程求频率；（2 2）求
45、规准化振型矩阵求规准化振型矩阵 ；（3 3）计算广义质量、广义荷载）计算广义质量、广义荷载（4 4）代入正则坐标微分方程，求正则坐标）代入正则坐标微分方程，求正则坐标（5 5）由正则坐标求几何坐标）由正则坐标求几何坐标（6 6）计算其它动力反应）计算其它动力反应第第13章章 将体系的分布质量集中于若干点上，根据静力等效的原则，使集将体系的分布质量集中于若干点上，根据静力等效的原则，使集中后的质点重力与原来的分布质量的重力互为静力等效。中后的质点重力与原来的分布质量的重力互为静力等效。13.10 13.10 近似法求自振频率近似法求自振频率 一、集中质量法一、集中质量法第第13章章1 1、具有分
46、布质量的简支梁、具有分布质量的简支梁l l/2/2l l/2/2l l/3/3l l/3/3l l/3/3l l/4/4l l/4/4l l/4/4l l/4/42 2、集中质量法、集中质量法 简化结果简化结果l/4l/4l/4l/4两铰拱反对称振动两铰拱反对称振动刚架正对称振动刚架正对称振动刚架反对称振动刚架反对称振动l lEIEI 根据能量守恒和转化定律，当体系作自由振动时，在不考根据能量守恒和转化定律，当体系作自由振动时，在不考虑阻尼的情况下，体系既无能量输入，也无能量耗散，因而在虑阻尼的情况下，体系既无能量输入，也无能量耗散，因而在任一时刻，体系的动能与势能之和为一常量，即任一时刻，体系的动能与势能之和为一常量，即二、能量准则标二、能量准则标 设某体系以频率设某体系以频率 作自由振动，分别考察其达到振幅作自由振动，分别考察其达到振幅位置和静平衡位置时刻的总能量之和，有位置和静平衡位置时刻的总能量之和，有利用上式即可确定自振频率。此法称为利用上式即可确定自振频率。此法称为“瑞雷法瑞雷法”。第第13章章三、用能量法计算自振频率三、用能量法计算自振频率y yx x第第13章章y yx x第第13章章第第13章章第第13章章