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1、第第 五五 章章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型讨论矩阵在相似意义下化简为对角矩阵的问题讨论矩阵在相似意义下化简为对角矩阵的问题.本章讨论在理论上和实际应用上都非常重本章讨论在理论上和实际应用上都非常重要的矩阵特征值问题要的矩阵特征值问题,并利用特征值的有关理论并利用特征值的有关理论,内积的定义内积的定义内积的定义内积的定义主要内容主要内容内积的性质内积的性质内积的性质内积的性质向量的长度和夹角向量的长度和夹角向量的长度和夹角向量的长度和夹角第第 一一 节节 向量的内积向量的内积正交向量组的性质正交向量组的性质正交向量组的性质正交向量组的性质正交基与标准正交基正交基与标准正交基正交基与标准正
2、交基正交基与标准正交基正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交变换正交变换正交变换正交变换 定义定义1 设有设有设有设有 n n 维向量维向量维向量维向量令令令令 x x,y y=x x1 1y y1 1+x x2 2y y2 2+x xn ny yn n,x x,y y 称为向称为向称为向称为向量量量量 x x 与与与与 y y 的的的的内积内积.一、内积的定义一、内积的定义内积是向量的一种运算，这种运算也可用矩内积是向量的一种运算，这种运算也可用矩阵记号表示阵记号表示.当当 x 与与 y 都是列向量时，有都是列向量时，有 x,y=xTy.（1 1）x,y=y,x;（2 2）x,y=x,y;（3
3、 3）x+y,z=x,z+y,z;（4 4）x,x 0,且当且当 x 0 时有时有 x,x 0.下列性质：下列性质：二、内积的性质二、内积的性质设设 x,y,z 为为 n 维向量，维向量，为实数，则内积有为实数，则内积有 三、向量的长度和夹角三、向量的长度和夹角 1.长度的定义长度的定义 定义定义2 令令令令|x x|称为称为称为称为 n n 维向量维向量维向量维向量 x x 的的的的长度长度(或范数或范数).向量的长度具有下列性质向量的长度具有下列性质:2.长度的性质长度的性质 (1)(1)非负性非负性非负性非负性 当当 x 0 时时,|x|0;当当 x=0 时时,|x|=0.(2)(2)齐
4、次性齐次性齐次性齐次性|x|=|x|;当当|x|=1 时时,称称 x 为为单位向量单位向量.3.向量的夹角向量的夹角:定义定义3 当当当当|x x|0,|0,|y y|0 0 时时时时,称为称为称为称为 n n 维向量维向量维向量维向量 x x 与与与与 y y 的的的的夹角夹角.量正交量正交.x=0,则则 x 与任何向量都正交与任何向量都正交,即零向量与任何向即零向量与任何向当当 x,y =0 时时,称向量称向量 x 与与 y 正交正交.显然显然,若若 1.正交向量组的定义正交向量组的定义 定义定义4 由两两正交的非零向量构成的向量由两两正交的非零向量构成的向量由两两正交的非零向量构成的向量
5、由两两正交的非零向量构成的向量两两正交的非零向量两两正交的非零向量两两正交的非零向量两两正交的非零向量,则则则则 a a1 1,a a2 2,a ar r 线性无关线性无关线性无关线性无关.定理定理 1 若若若若 n n 维向量维向量维向量维向量 a a1 1,a a2 2,a ar r 是一组是一组是一组是一组 2.正交向量组的性质正交向量组的性质组称为组称为组称为组称为正交向量组正交向量组.四、正交向量组的性质四、正交向量组的性质 例例 1 已知已知 R4 中三个两两正交的向量：中三个两两正交的向量：试求一个非零向量试求一个非零向量 a a4,使使 a a1,a a2,a a3,a a4
6、两两正交两两正交.补充、向量空间的定义补充、向量空间的定义定义定义 设设设设 V V 为为为为 n n 维向量的集合维向量的集合维向量的集合维向量的集合,如果集合如果集合如果集合如果集合 V V非空非空非空非空,且集合且集合且集合且集合 V V 对于加法及数乘两种运算封闭对于加法及数乘两种运算封闭对于加法及数乘两种运算封闭对于加法及数乘两种运算封闭,那那那那么就称集合么就称集合么就称集合么就称集合 V V 为为为为向量空间向量空间.所谓所谓封闭封闭封闭封闭,是指在集合是指在集合 V 中可以进行加法及中可以进行加法及数乘两种运算数乘两种运算.则则 a+b V;若若 a V,R,则则 a V.具体
7、地说具体地说,若若 a V,b V,例例 1 集合集合V=x=(0,x2,xn)T|x2,xn R 是一个向量空间是一个向量空间.b=(0,b2,bn)T V,则则 a+b=(0,a2+b2,an+bn)T V,a=(0,a2,an)T V.因为若因为若 a=(0,a2,an)T V,r r 维向量空间维向量空间维向量空间维向量空间.定义定义 设设设设 V V 为向量空间为向量空间为向量空间为向量空间,如果如果如果如果 r r 个向量个向量个向量个向量a a1 1,a a2 2,a ar r V V,且满足且满足且满足且满足(i)(i)a a1 1,a a2 2,a ar r 线性无关线性无关
8、线性无关线性无关;(ii)(ii)V V中任一向量都可由中任一向量都可由中任一向量都可由中任一向量都可由 a a1 1,a a2 2,a ar r 线性线性线性线性表示表示表示表示.那么那么那么那么,向量组向量组向量组向量组 a a1 1,a a2 2,a ar r 就称为就称为就称为就称为向量空间向量空间向量空间向量空间V V 的一个基的一个基的一个基的一个基,r r 称为称为称为称为向量空间向量空间向量空间向量空间 V V 的维数的维数的维数的维数,并称并称并称并称 V V 为为为为向量空间的基与维数向量空间的基与维数向量的坐标向量的坐标定义定义 8 如果在向量空间如果在向量空间如果在向量
9、空间如果在向量空间 V V 中取定一个基中取定一个基中取定一个基中取定一个基a a1 1,a a2 2,a ar r,那么那么那么那么 V V 中任一向量中任一向量中任一向量中任一向量 x x 可唯一地表可唯一地表可唯一地表可唯一地表示为示为示为示为x=x=1 1a a1 1+2 2a a2 2+r ra ar r,数组数组数组数组 1 1,2 2,r r 称为向量称为向量称为向量称为向量 x x 在基在基在基在基 a a1 1,a a2 2,a ar r 中的中的中的中的坐标坐标.1.定义定义4正交基正交基.且都是单位向量且都是单位向量且都是单位向量且都是单位向量,则称则称则称则称 e e1
10、 1,e er r 是是是是 V V 的一个的一个的一个的一个标准标准间间间间V V(V V R Rn n)的一个基的一个基的一个基的一个基,如果如果如果如果 e e1 1,e er r 两两正交两两正交两两正交两两正交,定义定义 5 设设设设 n n 维向量维向量维向量维向量 e e1 1,e e2 2,e er r 是向量空是向量空是向量空是向量空 例例 2 设设是例是例 1 中所求正交向量组中所求正交向量组,试求试求 R4 的一个标准正的一个标准正交基交基.2.用标准正交基表示向量用标准正交基表示向量即即 ki=eiT a a=a a,ei.得得 eiT a a=kieiTei=ki,为
11、求其中的系数为求其中的系数 ki(i=1,r),用用 eiT 左乘上式左乘上式,a a=k1e1+k2 e2+krer.示示,设表示式为设表示式为么么 V 中任一向量中任一向量 a a 应能由应能由 e1,e2,er 线线 性性 表表 若若 e1,e2,er 是是 V 的一个标准正交基的一个标准正交基,那那 3.标准正交基的求法标准正交基的求法 设设 a a1,a a2,a ar 是向量空间是向量空间 V 的一个基。利的一个基。利 正交化正交化:我们可以用以下方法把我们可以用以下方法把 a a1,a a2,a ar 标准标准,a ar 标准正交化标准正交化.的过程，称为的过程，称为把基把基 a
12、 a1,a a2,用该基构造出用该基构造出 V 的一个标准正交基的一个标准正交基第一步：正交化第一步：正交化取取 b1=a1;容易验证容易验证 b1,br 两两正交两两正交,且且 b1,br 与与 a1,ar 等价等价.该过程称为该过程称为施密特施密特(Schimidt)正交化过程正交化过程.就得就得 V 的一个标准正交基的一个标准正交基.第二步：单位化第二步：单位化 综上所述综上所述,求向量空间求向量空间 V 的一个标准正交基的一个标准正交基 的的的的 一个标准正交基一个标准正交基一个标准正交基一个标准正交基.步骤步骤 3:把把把把 正交基正交基正交基正交基 b b1 1,b br r 单位
13、化即得单位化即得单位化即得单位化即得 V V正交化正交化正交化正交化,得正交基得正交基得正交基得正交基 b b1 1,b br r;步骤步骤 2:用施密特正交化过程把用施密特正交化过程把用施密特正交化过程把用施密特正交化过程把 a a1 1,a ar r 步骤步骤 1:求求求求 V V 的任意一个基的任意一个基的任意一个基的任意一个基 a a1 1,a ar r;可归为以下三步可归为以下三步:例例 3 设设是三维向量空间的一组基，试用施密特正交化过是三维向量空间的一组基，试用施密特正交化过程把这组基化为标准正交基程把这组基化为标准正交基.例例 4 已知已知求一组非零向量求一组非零向量a2,a3
14、 使使 a1,a2,a3 两两正交两两正交.1.定义定义 定义定义 6 设设设设 A A 为为为为 n n 阶实矩阵阶实矩阵阶实矩阵阶实矩阵,且且且且 A AT TA=EA=E,都是正交矩阵都是正交矩阵.则称则称则称则称 A A 为为为为正交矩阵正交矩阵.例如例如六、正交矩阵六、正交矩阵 2.正交矩阵的性质正交矩阵的性质 (1)(1)若矩阵若矩阵若矩阵若矩阵 A A 为正交矩阵为正交矩阵为正交矩阵为正交矩阵,则则则则 行行行行(列列列列)向量组是两两正交的单位向量组向量组是两两正交的单位向量组向量组是两两正交的单位向量组向量组是两两正交的单位向量组.(3)(3)实矩阵实矩阵实矩阵实矩阵 A A
15、 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 A A 的的的的 A AT T=A=A-1 1;(2)(2)实矩阵实矩阵实矩阵实矩阵 A A 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是|A A|=|=;例例例例 5 5 5 5 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵阵阵阵阵,则它们的乘积矩阵则它们的乘积矩阵则它们的乘积矩阵则它们的乘积矩阵 ABAB 也是正交矩阵也是正交矩阵也是正交矩阵也是正交矩阵.定理定理 若矩阵若矩阵若矩阵若矩阵 A A 与矩阵与矩阵与矩阵与矩阵 B B 是同阶的正交矩是同阶
16、的正交矩是同阶的正交矩是同阶的正交矩HomeworkHomeworkP138.2(1),3(1),4备用题 若非零向量与n维向量组A:中向量都正交,则向量组A必线性相关证 本题也即表明在向量空间Rn中同时与一个非零向 量正交的线性无关的向量至多是n-1个.这在三维欧氏空间R3中是显然的.用反证法若向量组A线性无关,因(n+1)个向量的向量组必线性相关.于是向量必可由向量组A线性表示为用此表示式计算向量的长度，并利用由向量长度性质知=0，此与为非零向量矛盾 定义定义 7 若若若若 P P 为正交矩阵，则线性变换为正交矩阵，则线性变换为正交矩阵，则线性变换为正交矩阵，则线性变换|x|表示向量的长度
17、，相当于线段的长度表示向量的长度，相当于线段的长度.设设 y=Px 为正交变换，则有为正交变换，则有y=Px y=Px 称为称为称为称为正交变换正交变换.这是正交变换的优良特性这是正交变换的优良特性.|y|=|x|说明经正交变换线段长度保持不变，说明经正交变换线段长度保持不变，七、正交变换七、正交变换例例间的关系式间的关系式线性变换线性变换.例例 2 齐次线性方程组的解集齐次线性方程组的解集S=x|Ax=0 是一个向量空间是一个向量空间(称为齐次线性方程组的称为齐次线性方程组的解空间解空间).因为由齐次线性方程组的解的因为由齐次线性方程组的解的即知即知其解集其解集 S 对向量的线性运算封闭对向量的线性运算封闭.