《线性代数课件-45-精品文档整理.PPT》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课件-45-精品文档整理.PPT（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 .所谓所谓, 是指在集合是指在集合 V 中可以进行加法及中可以进行加法及数乘两种运算数乘两种运算. 则则 a + b V; 若若 a V, R, 则则 a V. 具体地说具体地说, 若若 a V, b V, 集合集合V = x = (0, x2 , , xn)T | x2 , , xn R 是一个向量空间是一个向量空间. b = ( 0 , b2 , , bn )T V , 则则 a + b = ( 0 , a2 + b2 , , an + bn)T V , a = ( 0 , a2 , , an )T V .因为若因为若 a = ( 0 , a2 , , an )T V, 集合集合V =
2、x = (1 , x2 , , xn )T | x2 , , xn R 不是向量空间不是向量空间. 2a = (2 , 2a2 , , 2an )T V.因为若因为若 a = (1 , a2 , , an )T V , 则则 齐次线性方程组的解集齐次线性方程组的解集S = x | Ax = 0 是一个向量空间是一个向量空间(称为齐次线性方程组的称为齐次线性方程组的).因为由齐次线性方程组的解的因为由齐次线性方程组的解的性质性质性质性质 1 1若若若若 x x = = 1 1, , x x = = 2 2 为为为为 AxAx = 0 = 0 的解的解的解的解, , 则则则则x x = = 1 1
3、+ + 2 2也是也是也是也是 AxAx = 0 = 0 的解的解的解的解. .性质性质性质性质 2 2若若若若 x x = = 1 1 为为为为 AxAx = 0 = 0 的解的解的解的解, , k k 为实数为实数为实数为实数, , 则则则则x = x = k k 1 1也是也是也是也是 AxAx = 0 = 0 的解的解的解的解. .性质性质性质性质 1, 21, 2即知即知其解集其解集 S 对向量的线性运算封闭对向量的线性运算封闭. 非齐次线性方程组的解集非齐次线性方程组的解集S = x | Ax = b 不是向量空间不是向量空间 . 因为当因为当 S 为空集时，为空集时，S 不是向不
4、是向量空间；量空间；当当 S 非空时，若非空时，若 S，则，则A(2 ) = 2b b，知知 2 S .间间. 集合集合 L = x = a + b | , R x1 =1a +1b, x2 =2a +2b ，则有则有x1 + x2 = (1+2)a + ( 1 + 2 )b V,kx1 = (k1)a + (k1)b V .这个向量空间称为这个向量空间称为由向量由向量 a , b 所生成的向量空所生成的向量空是一个向量空间是一个向量空间. 因为若因为若 设设 a , b 为两个已知的为两个已知的 n 维向量，维向量，一般地一般地, 为为L=x=1a1 + 2a2 + + mam | 1, 2
5、 , , m R . 设向量组设向量组 a1 , , am与向量组与向量组 b1, , bs等价等价, 记记L1= x= 1a1 + 2a2 + + mam | 1, , m R ,L2= x= 1b1 + 2b2 + + sbs | 1, , s R ,试证试证 L1 = L2 .证明证明证明证明设设 x L1, 则则 x 可由可由 a1, 贩, am线性表线性表因因 a1, 贩, am可由可由 b1, 贩, bs线性表示线性表示, 故故 x 可可x L1, 则则 x L2, 因此因此 L1 L2. L2 L1. 由由b1, 贩, bs线性表示线性表示, 所以所以 x L2. 这就是说这就是
6、说, 若若示示.类似地可证类似地可证,因为因为 L1 L2, L2 L1, 所以所以 L1= L2. 的基，为维单位坐标向量特别地，nnReeen,211000100012121nnxxxxxxx任意向量nnexexex2211的自然基。为其分量。所以可见，向量的坐标就是nnReee,21 设设,221212122)(321,a,aaA,243041)(21,bbB验证验证 a1 , a2 , a3 是是 R3 的一个基的一个基, 并求并求 b1 , b2 在这在这个基中的坐标个基中的坐标.,)()(32312221121132121xxxxxx,a,aa,bb记记作作 B = AX .要要证
7、证 a1, a2, a3是是 R3的的一一个个基基, 只只要要证证a1, a2, a3线线性性无无关关, 即即只只要要证证 A E .设设 b1= x11a1+ x21a2+ x31a3,b2= x12a1+ x22a2+ x32a3, 解解解解 在在 R3 中取定一个基中取定一个基 a1 , a2 , a3 ，再，再取一个新基取一个新基 b1 , b2 , b3 ，设，设 A = (a1 , a2 , a3) ,B = (b1 , b2 , b3) . 求用求用 a1 , a2 , a3 表示表示 b1 , b2 , b3的表示式的表示式()，并求向量在两个基中，并求向量在两个基中的坐标之间
8、的关系式的坐标之间的关系式() .(a1 , a2 , a3) = (e1 , e2 , e3)A，(e1 , e2 , e3) = (a1 , a2 , a3)A- -1，故故(b1 , b2 , b3) = (e1 , e2 , e3)B = (a1 , a2 , a3)A- -1B ,即基变换公式为即基变换公式为(b1 , b2 , b3) = (a1 , a2 , a3)P ,其中表示式的系数矩阵其中表示式的系数矩阵 P = A- -1B 称为从旧基到称为从旧基到新基的新基的.设向量设向量 x 在旧基和新基中的坐标分别为在旧基和新基中的坐标分别为y1 , y2 , y3 和和 z1 , z2 , z3 ，即，即,),(,),(321321321321zzzbbbxyyyaaax故故,321321zzzByyyA得得,3211321yyyABzzz即即.3211321yyyPzzz这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式.作业：作业：P11320，37