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1、 . 向量组向量组 A:,a,a63321121因为因为 - -3a1 + a2 = , 06336336332113所以线性相关所以线性相关. 如如 向量组向量组 A:,a,a63321121因为两向量对应分量成比例，因为两向量对应分量成比例， 所以线性相关所以线性相关. . .定理定理定理定理向量组线性相关的充要条件是该向量向量组线性相关的充要条件是该向量向量组线性相关的充要条件是该向量向量组线性相关的充要条件是该向量有有因因 k1, k2, 贩, km不全为不全为 0 , 不妨设不妨设 k1 0 , 于是便于是便k1a1+ k2a2+ 贩+ kmam= 0 .使使性相关性相关, 则有则有
2、 m 个不全为零的实数个不全为零的实数 k1, k2, 贩, km必要性必要性必要性必要性 设向量组设向量组 A: a1, a2, 贩, am线线组中至少有一个向量可由其余向量线性表示组中至少有一个向量可由其余向量线性表示组中至少有一个向量可由其余向量线性表示组中至少有一个向量可由其余向量线性表示.证明证明证明证明定理定理定理定理向量组线性相关的充要条件是该向量向量组线性相关的充要条件是该向量向量组线性相关的充要条件是该向量向量组线性相关的充要条件是该向量有有因因 k1, k2, 贩, km不全为不全为 0 , 不妨设不妨设 k1 0 , 于是便于是便k1a1+ k2a2+ 贩+ kmam=
3、0 .使使性相关性相关, 则有则有 m 个不全为零的实数个不全为零的实数 k1, k2, 贩, km必要性必要性必要性必要性 设向量组设向量组 A: a1, a2, 贩, am线线组中至少有一个向量可由其余向量线性表示组中至少有一个向量可由其余向量线性表示组中至少有一个向量可由其余向量线性表示组中至少有一个向量可由其余向量线性表示.证明证明证明证明 n 维向量组维向量组100,010,00121neee称为称为 , 试讨论它的线性相关试讨论它的线性相关性性. 讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性:123102124157,aaa 已知向量组已知向量组 a1 , a2 , a3
4、线性无关线性无关, b1= a1+a2 , b2 =a2 + a3 , b3 = a3 + a1 , 试证向量组试证向量组 b1 , b2 , b3 线性无关线性无关.x1b1+ x2b2+ x3b3= 0 ,即即x1(a1+ a2) + x2(a2+ a3) + x3(a3+ a1) = 0 ,亦即亦即(x1+ x3)a1+ (x1+ x2)a2+ (x2+ x3)a3= 0, 因因 a1, a2, a3线性无关线性无关, 故有故有例例例例 6 6已知向量组已知向量组 a1, a2, a3线性无关线性无关, b1= a1+a2 , b2 =a2 + a3, b3= a3+ a1, 试证向量组
5、试证向量组 b1, b2, b3线性无关线性无关.证法一证法一证法一证法一 直接用定义直接用定义直接用定义直接用定义设有设有 x1, x2, x3使使 设向量组设向量组 a1 , a2 , a3 线性相关，向量组线性相关，向量组a2 , a3 , a4 线性无关，证明：线性无关，证明：(1) a1 能由能由 a2 , a3 线性表示；线性表示；(2) a4 不能由不能由 a1 , a2 , a3 线性表示线性表示.作业：P110 3. 4. 5，101.2.相相3.备用题 1 已知向量组A : )2(,21maaam线性无关，设,1322211aabaabaabmm试讨论向量组 B ：mbbb
6、,21的线性相关性解一 本例是教材例6的直接推广，因此教材上两种证法均可沿用到本例，这里解一与解二分别与例6中证一与证二相对应把题设条件写成110011101),(),(2121mmaaabbb并把上式记作 B=AK （4.3）其中m阶方阵K即为B组由A组线性表示的系数矩阵。 于是向量组B线性无关齐次方程Bx = 0 只有零解 （定义4）AKx = 0 只有零解 ( （4.3）式代入)Kx = 0 只有零解 （因A组线性无关）| K | 0而 |K| =1100111011) 1(100110101m为偶数为奇数mm, 0, 2因此， B组线性无关的充要条件是m为奇数12rr 23rr 1mm
7、rr解二 用矩阵秩的性质考察（4.3）式若|K|0，由矩阵秩的性质知 R(B) = R(A) = m, 即矩阵B的秩等于其列数，故向量组B线性无关；反过来，若B组线性无关，R(B)=m 此时，由矩阵秩的性质，R(K) R(B) = m. 注意到 K为m阶方阵， 故R(K) = m，从而 |K|0 , 于是向量组B线性无关的充要条件是 |K| 0 2 。 设向量组 A ：,21aa设向量组 B ： 其中 ,21bb10512,14703;2130,42112112bbaa（1）证明向量组 A 与 B 等价（2）向量组 A 与 B 的相互线性表示的表示式解 先求解(2)， 若(2)已解出，(1)自
8、然成立，为此，把向量组A和B 合起来成矩阵，并求它的行最简形：101424571210312301),(2121bbaa12rr 132rr 144rr 222011103330230132r23rr 242rr 0000000011102301于是，向量b1和 b2 满足2122112,3aabaab也即向量组B可由向量组A线性表示为Kaaaabb),(1123),(),(212121其中，矩阵1123K是上述线性表示的系数矩阵，显然，K可逆且 31211K于是3121),(),(2121bbaa具体写出，有21221132,bbabba从上知两向量组能相互线性表示，故它们等价注 本例强调矩阵行最简形及矩阵的运算. 如果说教材例2的方法 用于两向量组的“定性”，即是否等价等问题的讨论，则本例的 方法用于两向量组的“定量”讨论，即具体给出表示式. 当系数 矩阵不是方阵时，一般的处理方法可参看习题2