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1、材料力学 弯曲应力本讲稿第一页，共四十九页yz5.1 纯弯曲纯弯曲1）弯曲内力与截面应力的关系）弯曲内力与截面应力的关系截面应力分为截面应力分为、，截面内力分为截面内力分为FN、FS、M法向合力为：法向合力为：切向合力为：切向合力为：合力矩：合力矩：FSFNM本讲稿第二页，共四十九页FS=0 只有只有M：纯弯曲：纯弯曲 =0FS、M均不为零：横力均不为零：横力弯曲，弯曲，、不为零不为零aFaFaFaFFSFFxMFax2）纯弯曲、横力弯曲）纯弯曲、横力弯曲本讲稿第三页，共四十九页3）纯弯曲的变形现象纯弯曲的变形现象v横向线横向线 mm，nn 保持直线保持直线 平面假设平面假设v纵向线纵向线 a
2、a，bb 变为同心圆弧变为同心圆弧 上层受压，下层受拉，上层受压，下层受拉，中有中性层中有中性层v纵向纤维间无正应力纵向纤维间无正应力mmnnaabbmmnnaabb本讲稿第四页，共四十九页5.2 5.2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力x轴轴轴线，轴线，y轴轴对称轴（向下），对称轴（向下），z轴轴中性轴（未定），中性轴（未定），设设中性层的曲率半径（未定），中性层的曲率半径（未定），v建立坐标系：建立坐标系：本讲稿第五页，共四十九页v推导推导1）变形几何关系：）变形几何关系：变形后：变形后：变形前：变形前：应变：应变：2）物理方程：）物理方程：3）平衡方程：）平衡方程：MeMe本讲稿第六页，
3、共四十九页3）平衡方程：）平衡方程：z 轴通过形心轴通过形心中性轴过形心中性轴过形心y为主惯轴为主惯轴本讲稿第七页，共四十九页 应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层 应力应变公式的适用范围应力应变公式的适用范围 最大应力、应变点在哪里最大应力、应变点在哪里总结：总结：本讲稿第八页，共四十九页5.3 5.3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力横力弯曲时，基本假设不成立，但横力弯曲时，基本假设不成立，但 满足精度要求，可使用。满足精度要求，可使用。2）强度条件：）强度条件：1）横力弯曲时的正应力公式）横力弯曲时的正应力公式本讲稿第九页，共四十九页3
4、）W：抗弯截面系数，：抗弯截面系数，W=Iz/ymax4）危险截面：危险截面：非等截面梁：综合考虑非等截面梁：综合考虑M 和截面的变化和截面的变化 铸铁梁：铸铁梁：c t *梁如何放置合理梁如何放置合理 *校核弯矩最大点及反向弯矩最大点校核弯矩最大点及反向弯矩最大点矩形：矩形：圆：圆：等截面梁：等截面梁：本讲稿第十页，共四十九页例：已知：例：已知：F=25.3kN=100MPa校核强度校核强度9585110200F88950115FIIIIIIIVMIMIVFFABFRA1265=F1065+F115FRA=23.6kNFRB=27kNMI=FRA0.2=4.72kNmMIV=FRB0.115
5、=3.11kNm危险截面：危险截面：I、II、III本讲稿第十一页，共四十九页已知：已知：t=30MPac=160MPaIz=763cm4y1=52mm校核强度校核强度y1y28012020z2.54xM(kNm)解：解：FRA 2=9 1-4 1FRA=2.5kNMC=FRA 1=2.5(kNm)MB=-F2 1=-4(kNm)F1=9kNF2=4kNFRAFRB1m1m1mCABCB需校核：需校核：B：c、tC：tB:?C:本讲稿第十二页，共四十九页5.1 把把直直径径d=1mm的的钢钢丝丝绕绕在在直直径径为为2m的的卷卷筒筒上上，试计算该钢丝中产生的最大应力。设试计算该钢丝中产生的最大应
6、力。设E=200GPa。解：解：(1)(2)本讲稿第十三页，共四十九页5.13 当当20号号槽槽钢钢受受纯纯弯弯曲曲变变形形时时，测测出出A、B两两点点间间长长度度的的改改变变为为l=27103mm，材材料料的的E=200GPa。试求梁截面上的弯矩试求梁截面上的弯矩M。MM505z0=1.95cm=l/l=0.54 10-3I=144cm4y=1.45cmM=10.7kNmz0本讲稿第十四页，共四十九页5.11 5.11 图图示示为为一一承承受受弯弯曲曲的的铸铸铁铁梁梁，其其截截面面为为 形形，材材料料的的拉拉 伸伸 和和 压压 缩缩 许许 用用 应应 力力 之之 比比。求水平翼板的合理宽度求
7、水平翼板的合理宽度b b。解：解：y1=80mm32030160b6050203010b=510mm34030150b6050b=510mm解解2：本讲稿第十五页，共四十九页5.36 以以F力力将将置置放放于于地地面面的的钢钢筋筋提提起起。若若钢钢筋筋单单位位长长度度的的重量为重量为q，当，当b=2a时，试求所需的时，试求所需的F力。力。Fb=q(a+b)2/2F=9qa/4=2.25qab=2aF本讲稿第十六页，共四十九页x已知：已知：W 和和 求：求：F=?FAFB解：解：2F4aaABCD本讲稿第十七页，共四十九页例：简支梁在跨中受集中载荷例：简支梁在跨中受集中载荷F=30kN，l=8m
8、，=120 MPa。（1）试为梁选择工字钢型号。）试为梁选择工字钢型号。（2）当当提提高高为为40kN时时，原原工工字字钢钢型型号号不不变变，试试问问采取什么措施使梁仍能满足强度条件采取什么措施使梁仍能满足强度条件本讲稿第十八页，共四十九页作业作业 515.45.12本讲稿第十九页，共四十九页5.4 弯曲切应力弯曲切应力v对于横力弯曲情况，对于横力弯曲情况，FS不为零，截面上必然存在不为零，截面上必然存在切应力切应力，分别对不同形状截面进行讨论。，分别对不同形状截面进行讨论。1）矩形截面：矩形截面：假定：假定：a）平行于平行于FS b）仅沿高度变化仅沿高度变化FS本讲稿第二十页，共四十九页推导
9、：推导：沿轴向平衡：沿轴向平衡：切应力互等：切应力互等：右侧：右侧：M+dM左侧：左侧：MdxM+dMMxdxbyxzy1dAy FN1FN2本讲稿第二十一页，共四十九页(y)的分布规律：的分布规律：沿高度抛物线分布，沿高度抛物线分布，max发生在中性轴处发生在中性轴处yzbh本讲稿第二十二页，共四十九页本讲稿第二十三页，共四十九页2)工字型截面梁工字型截面梁minmaxh HzybB本讲稿第二十四页，共四十九页 切应力分布及方向切应力分布及方向 最大切应力：中性轴最大切应力：中性轴4）最大切应力：最大切应力：矩形：矩形：k=3/2工字形：工字形：k=1圆形：圆形：k=4/35）切应力强度条件
10、：切应力强度条件：3）圆截面）圆截面本讲稿第二十五页，共四十九页梁的强度条件小结：梁的强度条件小结：1）应力公式：）应力公式：最大值在距中性最大值在距中性轴最远处轴最远处正应力：正应力：切应力：切应力：最大值在中最大值在中性轴处性轴处本讲稿第二十六页，共四十九页A 对于切应力对于切应力：i）FSmax处，处，ii）截面突然变化处）截面突然变化处2）危险截面：危险截面：A 对于正应力对于正应力：i）Mmax处，处，ii）截面突然变化处）截面突然变化处iii）铸铁：正负铸铁：正负Mmax处处本讲稿第二十七页，共四十九页求：求：max/max解：解：Mmaxql2/8FSmax=ql/2lq=(0.
11、51)bhql2/8ql/2ql/2本讲稿第二十八页，共四十九页3）强度条件：强度条件：正应力起控制作用，优先考虑：正应力起控制作用，优先考虑：切应力一般可满足，校核切应力一般可满足，校核需校核切应力的情况：需校核切应力的情况：i)短跨度梁或载荷在支座附近短跨度梁或载荷在支座附近。ii）腹板薄而高的型钢。）腹板薄而高的型钢。iii）复合梁的结合面）复合梁的结合面。本讲稿第二十九页，共四十九页5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素，弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素，提高弯曲强度的方法：降低提高弯曲强度的方法：降低F一定，减小一定，减小M；M一定，增大一定
12、，增大Wz 合理安排梁的受力情况合理安排梁的受力情况 设计合理的截面设计合理的截面 等强度梁的概念等强度梁的概念本讲稿第三十页，共四十九页作业作业 525.215.22本讲稿第三十一页，共四十九页图图示示工工字字梁梁，F20kN，并并可可沿沿梁梁移移动动，试试选选择择工工字字钢钢型号。已知型号。已知l6m，100MPa，60MPa。F位于跨中时，位于跨中时，M最大最大 Mmax=Fl/4F靠近支座时，靠近支座时，FS最大最大 Qmax=F按弯曲正应力强度条件选择截面按弯曲正应力强度条件选择截面 选择选择 22a工字钢工字钢 d=7.5mmFRAFRBF本讲稿第三十二页，共四十九页5.16 5.
13、16 铸铸铁铁梁梁的的载载荷荷及及横横截截面面尺尺寸寸如如图图所所示示。许许用用拉拉应应力力 ，许许用用压压应应力力 。试试按按正正应应力力强强度度条条件件校校核核梁梁的的强强度度。若若载载荷荷不不变变，但但将将 形形截面倒置，即翼缘在下成为截面倒置，即翼缘在下成为 形，是否合理？何故？形，是否合理？何故？20030(215yc)=20030(yc-100)yc=157.5mmIzc=6013cm4F本讲稿第三十三页，共四十九页2010(kNm)B点：点：yc2=230-yc=72.5mmyc=157.5mmC点：点：4FRD=2031021FRD10kNF本讲稿第三十四页，共四十九页1）合理
14、安排支承：）合理安排支承：xql2/8MIMII最佳：最佳：本讲稿第三十五页，共四十九页2）分散载荷：）分散载荷：FlF/llFll/2Fl/4Fl/8Fl/8Fl/83）载荷靠近支座：）载荷靠近支座：l/6F5l/65Fl/36本讲稿第三十六页，共四十九页1）提高）提高W/A由由195页页表表5.1可可查查得得不不同同截截面面的的W/A，从从正正应应力力考考虑虑，相相同同高高度度，材材料料远远离离中性轴为好。中性轴为好。2）利用材料拉压强度不同的特性）利用材料拉压强度不同的特性铸铁：铸铁：ct 用用T形截面形截面 注意：如何放置注意：如何放置本讲稿第三十七页，共四十九页等强度梁的概念等强度梁
15、的概念:使各截面使各截面max=，变截面梁，变截面梁W(x)矩形截面矩形截面xF悬臂梁悬臂梁:b不变不变:h不变不变:本讲稿第三十八页，共四十九页2F4a4aFFa6aa2F2aFSmax=FMmax=4FaFSmax=FMmax=FaFSmax=FMmax=Fa本讲稿第三十九页，共四十九页F本讲稿第四十页，共四十九页图图示示铸铸铁铁梁梁，受受均均荷荷q，试试校校核核梁梁的的强强度度。已已知知q25N/mm，y1=45mm，y2=55mm。惯惯性性矩矩Iz=8.84 10-6，t35MPa，c140MPa。本讲稿第四十一页，共四十九页5.5 5.5 关于弯曲理论的基本假设关于弯曲理论的基本假设
16、本讲稿第四十二页，共四十九页7.2 7.2 开口薄壁杆件的切应力开口薄壁杆件的切应力 弯曲中心弯曲中心1)开口薄壁杆件弯曲切应力的一般公式开口薄壁杆件弯曲切应力的一般公式 开口薄壁杆件弯曲切应力的特点：开口薄壁杆件弯曲切应力的特点：i)切应力平行于截面中线的切线方向，切应力平行于截面中线的切线方向，ii)切应力沿厚度均匀分布（切应力流）切应力沿厚度均匀分布（切应力流）计算方法：计算方法：本讲稿第四十三页，共四十九页2)弯曲中心：截面上弯曲切应力向某点化简，若合力弯曲中心：截面上弯曲切应力向某点化简，若合力矩为零，则该点为弯曲中心。矩为零，则该点为弯曲中心。上翼缘上翼缘处：处：腹板的剪力：腹板的
17、剪力：FSyhbFSyaz本讲稿第四十四页，共四十九页3)弯曲中心的性质：弯曲中心的性质：i)与材料载荷无关，仅与截面形状有关。与材料载荷无关，仅与截面形状有关。ii)载荷只有作用在弯曲中心才只发生弯曲。载荷只有作用在弯曲中心才只发生弯曲。iii)载荷不作用在弯曲中心，将发生弯曲与扭转的载荷不作用在弯曲中心，将发生弯曲与扭转的组合变形。组合变形。本讲稿第四十五页，共四十九页常见薄壁截面弯曲中心的位置：常见薄壁截面弯曲中心的位置：本讲稿第四十六页，共四十九页例例6-1 外外伸伸梁梁受受力力如如图图a所所示示。梁梁由由钢钢板板焊焊接接而而成成，截截 面面 尺尺 寸寸 如如 图图 d所所 示示。已已 知知=120MPa，=60MPa，试试校校核核梁梁的的强强度度，并并求求焊焊缝缝ab处处的的切切应力。应力。本讲稿第四十七页，共四十九页本讲稿第四十八页，共四十九页求：工字钢翼缘上平行于求：工字钢翼缘上平行于 z 轴的切应力轴的切应力bBzhHdx+d本讲稿第四十九页，共四十九页