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1、材料力学第五章弯曲应力本讲稿第一页，共六十五页 5-1 引言引言 (Introduction)5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams)5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力(Normal stresses in transverse bending )5-4 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件(Shear stresses in beams and strength condition)第五章第五章第五章第五章 弯曲应力弯曲应力弯曲应力弯曲应力 (Stresses in beams)(Stresses in beams
2、)5-5 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施（Measures to strengthen the strength of beams)本讲稿第二页，共六十五页mmF FS SM一一一一、弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力 (Stresses in flexural members)(Stresses in flexural members)当梁上有横向外力作用时，一般情况下，当梁上有横向外力作用时，一般情况下，当梁上有横向外力作用时，一般情况下，当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩梁的横截面上既又弯矩梁的横截面上既又弯矩梁的横截面上既又弯矩MM，又有剪力又
3、有剪力又有剪力又有剪力F FS S.5-1 引言引言 (Introduction)mmF FS S mmM 只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 d dF FN N=d dA A 才能合成弯矩才能合成弯矩才能合成弯矩才能合成弯矩.弯矩弯矩弯矩弯矩MM 正应力正应力正应力正应力 剪力剪力剪力剪力F FS S 切应力切应力切应力切应力 内力内力内力内力 只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素 d dF FS S=d dA A 才能合成
4、才能合成才能合成才能合成剪力；剪力；剪力；剪力；所以，在梁的横截面上一般既有正应力所以，在梁的横截面上一般既有正应力所以，在梁的横截面上一般既有正应力所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力又有切应力又有切应力又有切应力.本讲稿第三页，共六十五页二、分析方法二、分析方法二、分析方法二、分析方法 (Analysis method)平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面 纯弯曲梁纯弯曲梁纯弯曲梁纯弯曲梁(横截面上只有横截面上只有横截面上只有横截面上只有MM而无而无而无而无F FS S的情况的情况的情况的情况)平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时
5、横截面 横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲(横截面上既有横截面上既有横截面上既有横截面上既有F FS S又有又有又有又有MM的情况的情况的情况的情况)简支梁简支梁简支梁简支梁CDCD段任一横截面上，剪力等段任一横截面上，剪力等段任一横截面上，剪力等段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是曲就是曲就是曲就是纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲.若梁在某段内各横截面的弯矩为常若梁在某段内各横截面的弯矩为常若梁在某段内各横截面的弯矩为常若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯
6、曲就称为量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲.三、纯弯曲三、纯弯曲（Pure bending)Pure bending)+FF+FaFFaaCDAB本讲稿第四页，共六十五页deformationdeformationgeometricgeometricrelationshiprelationship Examine the deformationExamine the deformation，then propose the hypothesisthen propose the hypothesis Di
7、stribution regularity Distribution regularity of deformationof deformationDistribution regularity Distribution regularity of stressof stressEstablish the formulaEstablish the formula变变变变形形形形几几几几何何何何关关关关系系系系物物物物理理理理关关关关系系系系静静静静力力力力关关关关系系系系 观察变形，观察变形，观察变形，观察变形，提出假设提出假设提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变形的分
8、布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式建立公式建立公式physicalphysicalrelationshiprelationshipstaticstaticrelationshiprelationship 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams)本讲稿第五页，共六十五页一、实验一、实验一、实验一、实验（Experiment Experiment）1.1.1.1.变形现象变形现象变形现象变形现象（Deformation phenomenon)Deformation phenomenon)纵向
9、线纵向线纵向线纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长.相对转过了一个角度，相对转过了一个角度，相对转过了一个角度，相对转过了一个角度，仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直.各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，横向线横向线横向线横向线本讲稿第六页，共六十五页
10、2.2.2.2.提出假设提出假设提出假设提出假设(Assumptions(Assumptions）（a a a a）平面假设：变形前为平面的横截面）平面假设：变形前为平面的横截面）平面假设：变形前为平面的横截面）平面假设：变形前为平面的横截面 变形后仍保持为平面且垂直于变形变形后仍保持为平面且垂直于变形变形后仍保持为平面且垂直于变形变形后仍保持为平面且垂直于变形 后的梁轴线；后的梁轴线；后的梁轴线；后的梁轴线；（b b b b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤）单向受力假设：纵向纤维不相互挤）单向受力假设：纵向纤维不相互挤）单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压压，只受单向拉压压，只受
11、单向拉压压，只受单向拉压.推论：推论：推论：推论：必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维中性层中性层中性层中性层中性轴中性轴中性轴中性轴 横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴中性轴中性轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴 中性层中性层中性层中性层本讲稿第七页，共六十五页dx图（图（图（图（b b）yzxO应变分布规律：应变分布规律：应变分布规律：应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它
12、到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.图（图（图（图（a a）d dx x二、变形几何关系二、变形几何关系二、变形几何关系二、变形几何关系（Deformation geometric relation Deformation geometric relation）图（图（图（图（c c）yzyxOObbybbOO本讲稿第八页，共六十五页三、物理关系三、物理关系三、物理关系三、物理关系(Physical relationship)Physical relationship)所以所以所以所以Hookes LawHookes LawMyzOx 直梁纯弯曲时横截面上任
13、意一点的正应力，与它到中性轴的距离成直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比正比正比正比.应力分布规律：应力分布规律：应力分布规律：应力分布规律：?待解决问题待解决问题待解决问题待解决问题中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径r r r r?本讲稿第九页，共六十五页yzxOMd dA AzyddA A四、静力关系四、静力关系四、静力关系四、静力关系(Static relationshi
14、p）横截面上内力系为垂直于横截面的空横截面上内力系为垂直于横截面的空横截面上内力系为垂直于横截面的空横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，间平行力系，间平行力系，间平行力系，这一力系简化得到三个内这一力系简化得到三个内这一力系简化得到三个内这一力系简化得到三个内力分量力分量力分量力分量.FNMzMy内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得（1 1）（2 2）（3 3 3 3）本讲稿第十页，共六十五页将应力表达式代入（将应力表达式代入（将应力表达式代入（将应力表达式代入（1 1 1 1）式，得）式，得）式，得）式，得将应力表达式代入（将应力表达式代入
15、（将应力表达式代入（将应力表达式代入（2 2 2 2）式，得）式，得）式，得）式，得将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入(3)(3)(3)(3)式，得式，得式，得式，得中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心自然满足自然满足自然满足自然满足本讲稿第十一页，共六十五页将将将将代入代入代入代入得到得到得到得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:MM为梁横截面上的弯矩；为梁横截面上的弯矩；为梁横截面上的弯矩；为梁横截面上的弯矩；y y为梁横
16、截面上任意一点到中性轴的距离；为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；I Iz z为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩.本讲稿第十二页，共六十五页如右图结构，用公式计算正应力误差如下表：如右图结构，用公式计算正应力误差如下表：本讲稿第十三页，共六十五页讨论讨论 （1 1）应用公式时，一般将）应用公式时，一般将）应用公式时，一般将）应用公式时，一般将 MyMy 以绝对值代入以绝对值代入以绝对值代入以绝对值代入.根据梁变形的情况直根据梁变形的情况直根据梁变形的情况
17、直根据梁变形的情况直接判断接判断接判断接判断 的正负号的正负号的正负号的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力应力应力应力(为正号为正号为正号为正号).).凹入边的应力为压应力（凹入边的应力为压应力（凹入边的应力为压应力（凹入边的应力为压应力（为负号）；为负号）；为负号）；为负号）；（2 2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.则公
18、式改写为则公式改写为则公式改写为则公式改写为引用记号引用记号引用记号引用记号抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数本讲稿第十四页，共六十五页（1 1）当中性轴为对称轴时）当中性轴为对称轴时）当中性轴为对称轴时）当中性轴为对称轴时矩形截面矩形截面矩形截面矩形截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy本讲稿第十五页，共六十五页zy（2 2）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面M 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受
19、拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 和和和和 直接代入公式直接代入公式直接代入公式直接代入公式本讲稿第十六页，共六十五页 当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力.梁在此梁在此梁在此梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲种情况下的弯曲称为横力弯曲种情况下的弯曲称为横力弯曲种情况下的弯曲称为横力弯曲.5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力(Normal stres
20、ses of the beam in nonuniform bending)横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横切应力使横切应力使横切应力使横截面发生翘曲，截面发生翘曲，截面发生翘曲，截面发生翘曲，横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立弯曲时所作的平面假设和单向受力假
21、设都不成立弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.一、横力弯曲一、横力弯曲一、横力弯曲一、横力弯曲(Nonuniform bending)(Nonuniform bending)虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的明，工程
22、中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力计算横力弯曲时横截面上的正应力计算横力弯曲时横截面上的正应力计算横力弯曲时横截面上的正应力.等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为本讲稿第十七页，共六十五页二、公式的应用范围二、公式的应用范围二、公式的应用范围二、公式的应用范围(The applicable range of the flexure formula)1.1.1.1.在弹性范围内在弹性范围内在弹性范围内在弹性范围内(All stresses
23、 in the beam are below the proportional limit)(All stresses in the beam are below the proportional limit)3.3.3.3.平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲（Plane bendingPlane bending）4.4.4.4.直梁直梁直梁直梁（Straight beamsStraight beams）2.2.2.2.具有切应力的梁具有切应力的梁具有切应力的梁具有切应力的梁（The beam with the shear stressThe beam with the shear stress
24、）三、强度条件三、强度条件（Strength condition)1.1.1.1.数学表达式数学表达式数学表达式数学表达式（Mathematical formula)Mathematical formula)梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.本讲稿第十八页，共六十五页2.2.2.2.强度条件的应用强度条件的应用强度条件的应用强度条件的应用(Application of strength condition)(Application of strength condition)
25、（2 2 2 2）设计截面）设计截面）设计截面）设计截面（3 3 3 3）确定许可载荷）确定许可载荷）确定许可载荷）确定许可载荷（1 1 1 1）强度校核强度校核强度校核强度校核 对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的且梁横截面的且梁横截面的且梁横截面的且梁横截面的中性轴中性轴中性轴中性轴一般也不是对称轴，所以梁的一般也不是对称轴，所以梁的一般也不是对称轴，所以梁的一般也不是对称轴，所以梁的（两者有时并不发生在同一横截面上）（两者有时并不发生在同一横截面上）（两者有时并不发生在同一
26、横截面上）（两者有时并不发生在同一横截面上）要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力本讲稿第十九页，共六十五页11201803021m2maBAq=60 kN/ma例例 1:均布载荷作用的简支梁如图所示，均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：试求：（1）aa截面上截面上1、2两点两点正应力正应力（2）此）此截面上的最大截面上的最大正应力；正应力；（3）全梁的全梁的最大正应力；最大正应力；（4）已知）已知E=200GPa，求，求aa截面截面的的曲率半径。曲率半径。解：解：
27、求弯矩画求弯矩画M图图 MxqL2/8yz本讲稿第二十页，共六十五页MxqL2/8 求求 应应 力力aa 截面上截面上1、2两点两点正应力正应力 11201803021m2maBAq=60 kN/mayz本讲稿第二十一页，共六十五页MxqL2/811201803021m2maBAq=60 kN/maaa 截面上截面上最大最大正应力正应力 全梁最大全梁最大正应力正应力 yz本讲稿第二十二页，共六十五页aa截面截面上上曲率半径曲率半径MxqL2/811201803021m2maBAq=60 kN/ma本讲稿第二十三页，共六十五页例题例题例题例题2 2 螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所
28、示螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长已知板长已知板长已知板长3 3a a150mm150mm，压板材，压板材，压板材，压板材料的弯曲许用应力料的弯曲许用应力料的弯曲许用应力料的弯曲许用应力 140MP.140MP.试计算压板传给工件的最大允许压紧力试计算压板传给工件的最大允许压紧力试计算压板传给工件的最大允许压紧力试计算压板传给工件的最大允许压紧力F F.ACBFa2a203014FRAFRB+Fa解：（解：（解：（解：（1 1）作出弯矩图的最大弯矩）作出弯矩图的最大弯矩）作出弯矩图的最大弯矩）作出弯矩图的最大弯矩为为为为FaFa；（2 2）求惯性矩，抗弯截面系数）求惯
29、性矩，抗弯截面系数）求惯性矩，抗弯截面系数）求惯性矩，抗弯截面系数（3 3）求许可载荷）求许可载荷）求许可载荷）求许可载荷本讲稿第二十四页，共六十五页80y1y22020120z例题例题例题例题3 T3 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的许用拉应力为铸铁的许用拉应力为铸铁的许用拉应力为铸铁的许用拉应力为 t t=30MPa =30MPa，许用压应力为许用压应力为许用压应力为许用压应力为 c c=160MPa.=160MPa.已知截面对形心轴已知截面对形心轴已知截面对形心轴已知
30、截面对形心轴z z的的的的惯性矩为惯性矩为惯性矩为惯性矩为 I Iz z =763cm=763cm4 4，y y1 1 =52mm=52mm，校核梁的强度，校核梁的强度，校核梁的强度，校核梁的强度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m本讲稿第二十五页，共六十五页FRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解：解：解：解：最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面C C上上上上最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面B B上上上上 B B截面截面截面截面C C截面截面截面截面80y1y22020120z本讲稿第
31、二十六页，共六十五页例题例题例题例题4 4 由由由由 n n 片薄片组成的梁，当每片间片薄片组成的梁，当每片间片薄片组成的梁，当每片间片薄片组成的梁，当每片间的磨擦力甚小时，每一薄片就独立弯曲，的磨擦力甚小时，每一薄片就独立弯曲，的磨擦力甚小时，每一薄片就独立弯曲，的磨擦力甚小时，每一薄片就独立弯曲，近似地认为每片上承担的外力等于近似地认为每片上承担的外力等于近似地认为每片上承担的外力等于近似地认为每片上承担的外力等于zbFlh解：每一薄片中的最大正应力解：每一薄片中的最大正应力解：每一薄片中的最大正应力解：每一薄片中的最大正应力zbFlh若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲若
32、用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲最大正应力等于最大正应力等于最大正应力等于最大正应力等于本讲稿第二十七页，共六十五页一、梁横截面上的切应力一、梁横截面上的切应力一、梁横截面上的切应力一、梁横截面上的切应力（Shear stresses in beamsShear stresses in beams）1.1.1.1.矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁(Beam of rectangular cross section)(Beam of rectangular cross
33、 section)5-4 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件(Shear stresses in beams and strength condition)（1 1）两个假设）两个假设）两个假设）两个假设(Two assumptions)(Two assumptions)（a a a a）切应力与剪力平行；切应力与剪力平行；切应力与剪力平行；切应力与剪力平行；（b b b b）切应力沿截面宽度均匀分布）切应力沿截面宽度均匀分布）切应力沿截面宽度均匀分布）切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等）（距中性轴等距离处切应力相等）（距中性轴等距离处切应力相等）（距中性轴等距离处切应
34、力相等）.q(x)F1F2本讲稿第二十八页，共六十五页（2 2）分析方法）分析方法）分析方法）分析方法(Analysis method)(Analysis method)（a a）用横截面用横截面用横截面用横截面mm-mm,n n-n n从梁中截取从梁中截取从梁中截取从梁中截取 d dx x一段一段一段一段.两横截面上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等.所以两所以两所以两所以两截面同一截面同一截面同一截面同一y y处的正应力也不等；处的正应力也不等；处的正应力也不等；处的正应力也不等；（b b）假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段
35、上截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素 mBmB1 1，在两端面在两端面在两端面在两端面mAmA1 1，nBnB1 1上两个法向上两个法向上两个法向上两个法向 内力不等内力不等内力不等内力不等.q(x)F1F2mmnnxdxmnnmxyzObdxmmhnyABA1B1ABB1A1mnxzyymmFN2FN1本讲稿第二十九页，共六十五页mnnmxyzOyABA1B1bdxmmhn（c c）在纵截面上必有沿）在纵截面上必有沿）在纵截面上必有沿）在纵截面上必有沿 x x 方向的切向内力方向的切向内力方向的切向内力方向的切向内力d dF FS S.故在此面上就有切故在此面上就有切故在此面上就有切故在
36、此面上就有切应力应力应力应力.根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等.各点的切应力方向均与截面侧边平行各点的切应力方向均与截面侧边平行各点的切应力方向均与截面侧边平行各点的切应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可求出取分离体的平衡即可求出取分离体的平衡即可求出取分离体的平衡即可求出.ABB1A1mnxzyyFN1FN2dFSmm本讲稿第三十页，共六十五页ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS（3 3）公式推导）公式
37、推导）公式推导）公式推导(Derivation of the formula)(Derivation of the formula)假设假设假设假设mm-mm，n n-n n上的弯矩为上的弯矩为上的弯矩为上的弯矩为MM和和和和MM+d+dMM，两截面，两截面，两截面，两截面上距中性轴上距中性轴上距中性轴上距中性轴 y y1 1 处的正应力为处的正应力为处的正应力为处的正应力为 1 1 和和和和 2 2.A A1 1为距中性轴为为距中性轴为为距中性轴为为距中性轴为y y的横线以外部分的横截面面积的横线以外部分的横截面面积的横线以外部分的横截面面积的横线以外部分的横截面面积.式中：式中：式中：式中
38、：为面积为面积为面积为面积A A1 1对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩.A A1 1本讲稿第三十一页，共六十五页化简后得化简后得化简后得化简后得由平衡方程由平衡方程由平衡方程由平衡方程A A1 1ABB1A1mnxzyymFN2FN1dFS本讲稿第三十二页，共六十五页b矩型截面的宽度矩型截面的宽度矩型截面的宽度矩型截面的宽度.yz整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩.距中性轴为距中性轴为距中性轴为距中性轴为y y的横线以外部分横的横线以外部分横的横线以外部分横的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩截面面
39、积对中性轴的静矩截面面积对中性轴的静矩截面面积对中性轴的静矩.（4 4）切应力沿截面高度的变化规律）切应力沿截面高度的变化规律）切应力沿截面高度的变化规律）切应力沿截面高度的变化规律(The shear-stress distribution on the rectangular cross section)(The shear-stress distribution on the rectangular cross section)沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩 与与与与y y之间的关系确定之间的关系确定之间的关系确定之间的关系确定.
40、本讲稿第三十三页，共六十五页y1nBmAxyzOyA1B1m1可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化.z maxmaxy y=h h/2/2（即在横截面上距中性轴最远处）（即在横截面上距中性轴最远处）（即在横截面上距中性轴最远处）（即在横截面上距中性轴最远处）=0=0=0=0y=y=0 0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值式中，式中，式中，式中，A=bhA=
41、bh为矩形截面的面积为矩形截面的面积为矩形截面的面积为矩形截面的面积.本讲稿第三十四页，共六十五页z截面静矩的计算方法截面静矩的计算方法截面静矩的计算方法截面静矩的计算方法A A为截面面积为截面面积为截面面积为截面面积为截面的形心坐标为截面的形心坐标为截面的形心坐标为截面的形心坐标A A1 12.2.2.2.工字形截面梁工字形截面梁工字形截面梁工字形截面梁（工（工（工（工-section beam)-section beam)假设求应力的点到中性轴的距离为假设求应力的点到中性轴的距离为假设求应力的点到中性轴的距离为假设求应力的点到中性轴的距离为y y.研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为
42、研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为Hoyxbzh本讲稿第三十五页，共六十五页d d 腹板的厚度腹板的厚度腹板的厚度腹板的厚度Ozydxy 距中性轴为距中性轴为距中性轴为距中性轴为y的横线以外部分的横截的横线以外部分的横截的横线以外部分的横截的横线以外部分的横截 面面积面面积面面积面面积A A对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩.minminozy maxmax maxmax（a a）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛）
43、腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；物线规律变化；物线规律变化；物线规律变化；（b b）最大切应力也在中性轴上）最大切应力也在中性轴上）最大切应力也在中性轴上）最大切应力也在中性轴上.这也是整这也是整这也是整这也是整个横截面上的最大切应力个横截面上的最大切应力个横截面上的最大切应力个横截面上的最大切应力.本讲稿第三十六页，共六十五页 minmin maxmax式中式中式中式中:中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴任一边的半个横截面面积对 中性轴的静矩中性轴的静矩中性轴的静矩中性轴的静矩.ydzO假设：假设：假设：假设：（a
44、a）沿宽度）沿宽度）沿宽度）沿宽度k k-kk上各点处的切应力上各点处的切应力上各点处的切应力上各点处的切应力 均汇交于均汇交于均汇交于均汇交于O O 点；点；点；点；（b b）各点处切应力沿）各点处切应力沿）各点处切应力沿）各点处切应力沿y y方向的分量沿方向的分量沿方向的分量沿方向的分量沿 宽度相等宽度相等宽度相等宽度相等.在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切.3.3.圆截面梁圆截面梁圆截面梁圆截面梁(Beam of circular cross section)(B
45、eam of circular cross section)Ozy maxmax本讲稿第三十七页，共六十五页最大切应力发生在中性轴上最大切应力发生在中性轴上最大切应力发生在中性轴上最大切应力发生在中性轴上ydzO式中式中式中式中为圆截面的面积为圆截面的面积为圆截面的面积为圆截面的面积.4.4.4.4.圆环形截面梁圆环形截面梁圆环形截面梁圆环形截面梁(Circular pipe beam)(Circular pipe beam)图示为一段薄壁环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为环壁厚度为环壁厚度为环壁厚度为 ，环的平均半径为，环的平均半径
46、为，环的平均半径为，环的平均半径为r r0 0，由于由于由于由于 r r0 0 故可假设故可假设故可假设故可假设（a a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；（b b）切应力的方向与圆周相切）切应力的方向与圆周相切）切应力的方向与圆周相切）切应力的方向与圆周相切.zyr0本讲稿第三十八页，共六十五页式中式中式中式中 A A=2=2 r r0 0 为环形截面的面积为环形截面的面积为环形截面的面积为环形截面的面积横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为横
47、截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为zyr0二、强度条件二、强度条件二、强度条件二、强度条件（Strength conditionStrength condition）三、需要校核切应力的几种特殊情况三、需要校核切应力的几种特殊情况（1 1 1 1）梁的跨度较短，）梁的跨度较短，）梁的跨度较短，）梁的跨度较短，MM 较小，而较小，而较小，而较小，而F FS S较大时较大时较大时较大时,要校核切应力；要校核切应力；要校核切应力；要校核切应力；（2 2 2 2）铆接或焊接的组合截面）铆接或焊接的组合截面）铆接或焊接的组合截面）铆接或焊接的组合截面,其腹板的
48、厚度与高度比小于型钢其腹板的厚度与高度比小于型钢其腹板的厚度与高度比小于型钢其腹板的厚度与高度比小于型钢 的相应比值时，要校核切应力；的相应比值时，要校核切应力；的相应比值时，要校核切应力；的相应比值时，要校核切应力；（3 3 3 3）各向异性材料各向异性材料各向异性材料各向异性材料(如木材如木材如木材如木材)的抗剪能力较差，的抗剪能力较差，的抗剪能力较差，的抗剪能力较差，要校核切应力要校核切应力要校核切应力要校核切应力.maxmax本讲稿第三十九页，共六十五页解：画内力图求危面内力例：矩形(bh=120180mm2)截面木梁如图，=7MPa，=0.9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比
49、,并校核梁的强度。Fs+xq=3.6kN/mABL=3mxM+本讲稿第四十页，共六十五页求最大应力并校核强度应力之比本讲稿第四十一页，共六十五页例：例：T形梁尺寸及所受荷载如图所示形梁尺寸及所受荷载如图所示,已知已知 c=100MPa，t=50MPa，=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求：求：1)C左侧截面左侧截面E点的正应力、切应力；点的正应力、切应力；2)校核梁的正应力、校核梁的正应力、切应力强度条件。切应力强度条件。CAB40401010yc本讲稿第四十二页，共六十五页CAB40401010yc1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_
50、2）作梁的）作梁的Fs和和M图图1）求支座反力：）求支座反力：本讲稿第四十三页，共六十五页该梁满足强度要求该梁满足强度要求本讲稿第四十四页，共六十五页该梁满足强度要求该梁满足强度要求本讲稿第四十五页，共六十五页例：例：悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m1m。胶合面。胶合面的许可切应力为的许可切应力为 胶胶=0.34MPa=0.34MPa，木材的，木材的 =10MPa=10MPa，=1MPa=1MPa，求许可载荷。，求许可载荷。本讲稿第四十六页，共六十五页1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图2.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可