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1、第五章第五章 弯曲应力弯曲应力LaaFFF(+)(-)-FFa(+)M-图图纯弯曲纯弯曲梁弯曲变形时，梁弯曲变形时，横截面上只有弯矩而无剪横截面上只有弯矩而无剪力（力（）。）。横力弯曲横力弯曲梁弯曲变形梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又时，横截面上既有弯矩又有剪力（有剪力（）。）。纯弯曲纯弯曲横力横力弯曲弯曲横力横力弯曲弯曲弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时，横截面上有正纯弯曲时，横截面上有正应力而无剪应力应力而无剪应力一、纯弯曲一、纯弯曲等直梁纯弯曲梁正应力分析等直梁纯弯曲梁正应力分析前提前提:(a)(a)小变形小变形,在弹性变形范围内在弹性变形范围
2、内(b)(b)满足平面弯曲条件满足平面弯曲条件(c)(c)纯纯弯曲弯曲实验观察实验观察:2.凹边缩短，凸边伸长凹边缩短，凸边伸长(d)(d)纵向纤维间无挤压纵向纤维间无挤压弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力1.横向线保持为直线；纵横向线保持为直线；纵向线与横向线依然垂直。向线与横向线依然垂直。横向线保持为直线；纵向线与横向线依然垂直。横向线保持为直线；纵向线与横向线依然垂直。由现象由现象1梁在纯弯曲时的梁在纯弯曲时的平面假设平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋
3、转了一个角度。变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。由现象由现象2中中性性层层中性轴中性轴凹边缩短，凸边伸长凹边缩短，凸边伸长中性层中性层梁弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又梁弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不缩短的层面。不缩短的层面。中性轴中性轴中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。理论分析理论分析（1 1）变形几何关系）变形几何关系变形后变形后P曲率中心曲率中心y任意纵向纤维至任意纵向纤维至中性层的距离中性层的距离 中性层的曲率半径中性层的曲率半径弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力mmnndxabyabnmP纵向纤维纵向纤维bb:变形前变形
4、前 变形后变形后 所以纵向纤维所以纵向纤维bb的应变为的应变为:横截面上距中性轴横截面上距中性轴为为y y处的轴向变形处的轴向变形规律。规律。mmnndxabyabPnm（2 2）应力分布规律）应力分布规律在线弹性范围内，应用胡克定律在线弹性范围内，应用胡克定律对一定材料，对一定材料，E=C；对一定截面，对一定截面，横截面上某点处的应横截面上某点处的应力与此点距中性轴的力与此点距中性轴的距离距离y y成比例。成比例。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力M中性轴中性轴y（3 3）静力平衡关系）静力平衡关系z(中性轴中性轴)y(对称轴对称轴)xMM由由 得得=0将
5、将(*)(*)式代入，得式代入，得因此因此z z轴通过截面形心轴通过截面形心弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力dAdA截面对z轴的静矩考虑平衡条件考虑平衡条件弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力z(中性轴中性轴)y(对称轴对称轴)xMMdAdA截面对y、z轴的惯性积Y轴是截面的对称轴轴是截面的对称轴所以所以考虑平衡条件考虑平衡条件弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力z(中性轴中性轴)y(对称轴对称轴)xMMdAdA截面对截面对z轴轴(中性轴中性轴)的惯性矩的惯性矩可得可得挠曲线的曲率方程挠曲
6、线的曲率方程：抗弯刚度抗弯刚度。正应力的计算公式为正应力的计算公式为横截面上最大正应力为横截面上最大正应力为弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力抗弯截面模量抗弯截面模量截面的截面的抗弯截面模量，抗弯截面模量，反映了截面反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响。的几何形状、尺寸对强度的影响。矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：竖放：竖放：zbhzhb平放：平放：弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲纯弯曲推导得到的结果可推广到推导得到的结果可推广到横力弯曲横力弯曲的梁。的
7、梁。前提：前提：细长梁，即梁的跨高比细长梁，即梁的跨高比L/h5 5时，其误差时，其误差 不大；不大；弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力二、横力弯曲二、横力弯曲 注意注意：（1 1）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪个）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪个截面上的正应力，从而截面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截面确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩对中性轴的惯性矩；以及所求的是该截面上哪一点的；以及所求的是该截面上哪一点的正应力，以正应力，以确定该点到中性轴的距离确定该点到中性轴的距离。（2 2）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分
8、布）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布的规律，的规律，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力最大力最大。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力（4 4）必须熟记矩形截面对中性轴的惯性矩的计算式。）必须熟记矩形截面对中性轴的惯性矩的计算式。（3 3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来 确定确定。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力 注意注意
9、：弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件：可解决三方面问题：可解决三方面问题：（1 1）强度校核强度校核，即已知，即已知 检验梁是否安全；检验梁是否安全；（2 2）设计截面设计截面，即已知，即已知 可由可由 确定确定 截面的尺寸；截面的尺寸；（3 3）求许可载荷求许可载荷，即已知，即已知 可由可由 确定。确定。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力例例5-2：图示三种截面梁，材质、截面内：图示三种截面梁，材质、截面内max、max全相同，全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应
10、力纯弯曲时梁横截面上的正应力解：解：由题意可知由题意可知即即弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力例例5-3：简支梁：简支梁AB，在截面下边缘贴一应变片，测得其应变，在截面下边缘贴一应变片，测得其应变=610-4，材料的弹性模量，材料的弹性模量 E=200GPa，求载荷，求载荷P的大小。的大小。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力解：解：C C点的应力点的应力C C截面的弯矩截面的弯矩由由得得弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力根据材料特性进行强度校核根据材料特性进行强度校核塑性材料：塑性材料：
11、只要校核最大工作应力即可。只要校核最大工作应力即可。脆性材料：脆性材料：最大拉应力和最大压应力都要校核。最大拉应力和最大压应力都要校核。例如铸铁材料例如铸铁材料T T字形截面：字形截面：ycz拉边拉边压边压边即要保证最大拉、压应力均不超过许用应力值。即要保证最大拉、压应力均不超过许用应力值。弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施z例例5-4 铸铁梁的截面为铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力字形，受力如图。已知材料许用拉应力为为 ，许用压应力为，许用压应力为 。试校核梁的正应力强。试校核梁的正应力强度。若将梁的截面倒置，情况又如何？度。若将梁的截面倒置，情
12、况又如何？AB2m1m3mP=20KNCDq=10KN/m200mm30200mmycz弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力200mm30200mmycz解：解：（1 1）确定中性轴的位置）确定中性轴的位置弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力（2 2）绘剪力图、弯矩图）绘剪力图、弯矩图约束反力：约束反力：(+)(-)(-)20KN10KN10KN(+)(-)10KN.m20KN.m由由M图知：图知：弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力AB2m1m3mP=20KNCDq=10KN/m作内力图作内力图cz（3）正应力强度校核）正应力强度校核对于对于A A截面：截面：z
13、200mm30200mmycz弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力(+)(-)10KN.m20KN.m上边缘受拉上边缘受拉下边缘受压下边缘受压对于对于D D截面：截面：z200mm30200mmycz弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力(+)(-)10KN.m20KN.m下边缘受拉下边缘受拉上边缘受压上边缘受压正应力强度足够正应力强度足够。强度校核强度校核弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力200mm30200mmyczzzAD(+)(-)10KN.m20KN.m（4 4）若将梁的截面倒置，则）若将梁的截面倒置，则此时强度不足会导致破坏。此时强度不足会导致破坏。y
14、czz弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力(+)(-)10KN.m20KN.m（2 2）应力分布规律）应力分布规律在线弹性范围内，应用胡克定律在线弹性范围内，应用胡克定律对一定材料，对一定材料，E=C；对一定截面，对一定截面，横截面上某点处的应横截面上某点处的应力与此点距中性轴的力与此点距中性轴的距离距离y y成比例。成比例。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力M中性轴中性轴y根据材料特性进行强度校核根据材料特性进行强度校核塑性材料：塑性材料：只要校核最大工作应力即可。只要校核最大工作应力即可。脆性材料：脆性材料：最大拉应力和最大压应力都要校核。最大
15、拉应力和最大压应力都要校核。例如铸铁材料例如铸铁材料T T字形截面：字形截面：ycz拉边拉边压边压边即要保证最大拉、压应力均不超过许用应力值。即要保证最大拉、压应力均不超过许用应力值。弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施z弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件：可解决三方面问题：可解决三方面问题：（1 1）强度校核强度校核，即已知，即已知 检验梁是否安全；检验梁是否安全；（2 2）设计截面设计截面，即已知，即已知 可由可由 确定确定 截面的尺寸；截面的尺寸；（3 3）求许可载荷求许可载荷，即已知，即已知 可由可由 确定。确定。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应
16、力纯弯曲时梁横截面上的正应力三、提高弯曲强度的一些措施三、提高弯曲强度的一些措施弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件：在在 一定时，提高弯曲强度的主要途径：一定时，提高弯曲强度的主要途径：（一）、选择合理截面（一）、选择合理截面（1 1）矩形截面中性轴附近的材）矩形截面中性轴附近的材 料未充分利用，工字形截料未充分利用，工字形截 面更合理。面更合理。1、根据应力分布的规律选择：、根据应力分布的规律选择：z弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施问题：问题：1为什么开孔？为什么开孔？2 为什么加钢筋？为什么加钢筋？3 钢筋加那一侧？钢筋加那一侧？强度相同的情况下强度相同的
17、情况下2、根据材料特性选择：、根据材料特性选择：塑性材料：塑性材料：宜采用中性轴为对称轴的截面。宜采用中性轴为对称轴的截面。脆性材料：脆性材料：宜采用中性轴为非对称轴的截面，宜采用中性轴为非对称轴的截面，例如例如T T字形截面：字形截面：ycz拉边拉边压边压边即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施（二）、合理安排载荷和支承的位置，以降低（二）、合理安排载荷和支承的位置，以降低 值。值。1 1、载荷尽量靠近支座：、载荷尽量靠近支座：LABF0.5L(+)0.25FLLABF0.8L(+)0.16F
18、L弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施2 2、将集中力分解为分力或均布力。、将集中力分解为分力或均布力。LABF0.5L(+)0.25FL0.25LABF0.5L0.25L0.125FL(+)弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施3 3、合理安排支座位置及增加支座、合理安排支座位置及增加支座减小跨度，减小减小跨度，减小 。ABF0.6L0.2L0.2L0.025FL(+)0.02FL0.02FLABFL0.125FL(+)弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施ABF0.5L0.5L(+)(+)（三）、选用合理结构（三）、选用合理结构弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施1 1、增加支座、增加支座ABFL0.125FL(+)