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1、材料力学弯曲应力材料力学弯曲应力第1页，此课件共59页哦回回 顾顾FsM上一章任务：合力横截面上整体情况s st t本章任务：分力横截面上每一点情况第2页，此课件共59页哦n横力弯曲横力弯曲横截面上横截面上既存在弯矩，又存在横既存在弯矩，又存在横向剪力的梁的弯曲向剪力的梁的弯曲,称为称为横力弯曲横力弯曲n纯弯曲纯弯曲横截面上仅横截面上仅存在弯矩的梁的弯曲存在弯矩的梁的弯曲FFABCD剪力图剪力图弯矩图弯矩图n图示简直梁中图示简直梁中BC 段为纯弯曲段为纯弯曲AB，CD段为横力弯曲段为横力弯曲横力弯曲纯弯曲几个基本概念第3页，此课件共59页哦内力的起因内力的起因n弯矩弯矩横截面上正应力的合力偶，
2、此时，横截面上正应力的合力偶，此时，正应力称为正应力称为弯曲正应力弯曲正应力n剪力剪力横截面上切应力的合力，此时，切横截面上切应力的合力，此时，切应力称为应力称为弯曲切应力弯曲切应力梁弯曲的应力特征梁弯曲的应力特征n纯弯曲纯弯曲横截面上仅存在横截面上仅存在正应力正应力n横力弯曲横力弯曲横截面上不仅有横截面上不仅有正应力正应力，而且，而且还存在还存在切应力切应力几个基本概念s st t第4页，此课件共59页哦横截面上的正应力研究梁横截面上应力的分布，必须研究梁横截面上应力的分布，必须从从几何（变形）、物理（本构）和静力几何（变形）、物理（本构）和静力学（平衡）学（平衡）三方面进行综合分析三方面进
3、行综合分析下面依次分析梁纯弯曲时，这三个下面依次分析梁纯弯曲时，这三个方面的特征方面的特征第5页，此课件共59页哦变形几何关系第6页，此课件共59页哦横截面上的正应力 纯弯曲试验及变形观察纯弯曲试验及变形观察(表表)纵向线纵向线aa，oo，bb变为弧线变为弧线aa，oo，bb aa aa，oo=oo，bbbb 横向线横向线mm,nn 仍然为直线，并仍然为直线，并且垂直于且垂直于aa，oo，bb 矩形截面上部变宽，下部变窄矩形截面上部变宽，下部变窄变形几何关系第7页，此课件共59页哦横截面上的正应力n变形假设变形假设(里里)1、弯曲变形的、弯曲变形的平面假设平面假设 变形后，横截面仍保持变形后，
4、横截面仍保持为平面，并且仍与弯曲为平面，并且仍与弯曲后的后的纵向线纵向线正交，各截正交，各截面间作相对转动。面间作相对转动。第8页，此课件共59页哦2、弯曲变形的、弯曲变形的单向受力假定单向受力假定 所有与轴线平行的纵向纤所有与轴线平行的纵向纤维处于轴向拉伸或轴向压维处于轴向拉伸或轴向压缩，纤维之间不受力缩，纤维之间不受力横截面上的正应力梁中纵向纤维长度不变梁中纵向纤维长度不变的过渡层称为的过渡层称为中性层中性层。中性层和横截面的交线中性层和横截面的交线称为称为中性轴中性轴第9页，此课件共59页哦1、几何方面、几何方面 取长度为取长度为dx的一段微梁，变形的一段微梁，变形后的形状如图。记长度不
5、变轴线后的形状如图。记长度不变轴线oo(中性层）的曲率半径为中性层）的曲率半径为r r，两两横截面的夹角为横截面的夹角为dq q，则变形后，距则变形后，距oo为为y处纤维的长度为处纤维的长度为 注意到注意到oo=dx=r r dq q，于是，距于是，距oo为为y处的纤维的线应变为处的纤维的线应变为dx横截面上的正应力第10页，此课件共59页哦即即纵纵向向纤纤维维的的线线应应变变与与它它到到中中性性层层的的距距离离成成正正比比第11页，此课件共59页哦2、物理关系 由于纵向纤维由于纵向纤维仅受拉伸或压缩，仅受拉伸或压缩，于是在正应力不超于是在正应力不超过过比例极限比例极限时，根时，根据胡克定理，
6、有据胡克定理，有即对给定的横截面，其上即对给定的横截面，其上任一点的正应力与该点到任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比中性轴的距离成正比横截面上的正应力第12页，此课件共59页哦3、静力学关系 目前未解决问题目前未解决问题:z轴轴-中性轴中性轴where?r=?r=?与弯矩有何关系？与弯矩有何关系？横截面上的正应力代入得到第13页，此课件共59页哦梁横截面上的正应力分布公式梁横截面上的正应力分布公式r r的确定的确定第14页，此课件共59页哦n静矩：静矩：yzAyzdA形心公式形心公式坐标原点过形心坐标原点过形心C附录：截面图形的几何性质附录：截面图形的几何性质第15页，此课件共59页哦附
7、录：截面图形的几何性质附录：截面图形的几何性质yzAyzdAn惯性积惯性积若图形有对称轴，则坐标轴含对称轴时若图形有对称轴，则坐标轴含对称轴时第16页，此课件共59页哦横截面关于横截面关于z轴的静矩为零，轴的静矩为零，即即z 轴为截面的形心轴轴为截面的形心轴横截面关于横截面关于y、z 轴的惯性轴的惯性积为零。积为零。y、z 轴为主轴轴为主轴中性轴中性轴z的确定的确定y，z形心主轴形心主轴中性轴通过横截面形心，并垂直于纵向对称轴y第17页，此课件共59页哦 横截面上正应力是线性分布横截面上正应力是线性分布 正比于正比于MMz ，反比于反比于 I Iz 中性层两侧一拉一压存在中性层两侧一拉一压存在
8、说明：说明：适用于任意截面（推导中没有用矩形性质）适用于任意截面（推导中没有用矩形性质）成立条件成立条件(a)y，z轴须为形心主轴轴须为形心主轴 (b)比例极限内比例极限内 ssssp横截面上的正应力第18页，此课件共59页哦最大正应力发生在离中最大正应力发生在离中性轴最远的点上，即性轴最远的点上，即令令 抗弯截面系数，则则抗弯截面系数综合反映了横截抗弯截面系数综合反映了横截面形状和尺寸对弯曲正应力的面形状和尺寸对弯曲正应力的影响影响。横截面上的正应力第19页，此课件共59页哦n惯性矩惯性矩yzAyzdA附录：截面图形的几何性质附录：截面图形的几何性质第20页，此课件共59页哦n常见横截面的惯
9、性矩常见横截面的惯性矩和抗弯截面系数和抗弯截面系数zyhbCzydCzyDCd第21页，此课件共59页哦已知：矩形截面已知：矩形截面b h求：求：Iy，IzC Cyzb bh hz zd dz zd dA Ay yd dy yd dA A解：取平行于解：取平行于x轴和轴和y轴的微元面积轴的微元面积第22页，此课件共59页哦z zy yO Od dA Ay yz zr rA 惯性矩、极惯性矩惯性矩、极惯性矩惯性矩、极惯性矩惯性矩、极惯性矩第23页，此课件共59页哦图形对图形对图形对图形对 y y 轴的轴的轴的轴的惯性半径惯性半径惯性半径惯性半径图形对图形对图形对图形对 z z 轴的轴的轴的轴的惯
10、性半径惯性半径惯性半径惯性半径z zy yO Od dA Ay yz z 惯性矩、惯性半径惯性矩、惯性半径惯性矩、惯性半径惯性矩、惯性半径 第24页，此课件共59页哦已知已知：圆截面直径圆截面直径d求求：Iy，Iz，IPd dr rd dr rd dA AC Cyz解解：取圆环微元面积取圆环微元面积第25页，此课件共59页哦(1)选参考坐标系选参考坐标系oyz,确定形心确定形心zyoy轴肯定是形心主轴轴肯定是形心主轴y是对称轴是对称轴Sz=SASAiyi ,Sy=S SAi zi(yi,zi)每个图形形心在参考坐标系下每个图形形心在参考坐标系下oyz坐标坐标从而确定形心坐标为从而确定形心坐标为
11、yc=Sz/A,zc=Sy/A=0组合图形的静矩组合图形的静矩ozc=yc组合图形的惯性矩组合图形的惯性矩第26页，此课件共59页哦(2)组合图形的惯性矩组合图形的惯性矩z1yoozcIyc=S SIyci=Iy组合图形的惯性矩组合图形的惯性矩Izc=?平行轴公式平行轴公式Izc=S(S(Izci+di2Ai)yzAyzdA惯性矩平行轴定理惯性矩平行轴定理:y0z0y0z0ab第27页，此课件共59页哦横截面上的正应力n横力弯曲横力弯曲 尽管公式尽管公式 s s=Mzy/Iz 是在是在纯弯曲纯弯曲条件下条件下建立的。但建立的。但弹性理论弹性理论和和实验实验表明：表明：对于具有对于具有对称截面对
12、称截面的一般的一般细长梁细长梁（梁的跨（梁的跨度度l与高度与高度h之比之比l/h 5），），剪力剪力对正应力的对正应力的分布规律影响很小，上述计算正应力的公分布规律影响很小，上述计算正应力的公式仍然可用，并且具有足够的精度式仍然可用，并且具有足够的精度第28页，此课件共59页哦 对于一般的弯曲梁，其弯矩是截面对于一般的弯曲梁，其弯矩是截面位置的函数。因此计算位置的函数。因此计算等截面直梁等截面直梁的最的最大正应力的公式为大正应力的公式为即即横截面上的横截面上的最大正应力最大正应力发生在全梁最大弯矩发生在全梁最大弯矩Mmax所在横截面的所在横截面的最外边缘各点最外边缘各点处处正应力强度条件第29
13、页，此课件共59页哦n对于变截面直梁，最大正应力不一定发生在对于变截面直梁，最大正应力不一定发生在弯矩为最大的截面上，必须综合考虑弯矩为最大的截面上，必须综合考虑 M 和和 Wmax 这两个因素，以确定全梁上的最大正应这两个因素，以确定全梁上的最大正应力，既确定一般应力表达式的最大值力，既确定一般应力表达式的最大值正应力强度条件第30页，此课件共59页哦n对于塑性材料，由于其抗拉和抗压许用对于塑性材料，由于其抗拉和抗压许用应力相同，梁的弯曲正应力强度条件为应力相同，梁的弯曲正应力强度条件为n s smax s s n对于脆性材料，由于其抗拉和抗压许用应力对于脆性材料，由于其抗拉和抗压许用应力不
14、相同，梁的弯曲正应力强度条件为不相同，梁的弯曲正应力强度条件为n s+max s+n s-max s-正应力强度条件第31页，此课件共59页哦已知已知 d1=100mm，d2=120mm，P=30 kN，l1=600mm，l2=800mm，s s=100 Mpa。解解 支座反力：支座反力：FAy=FDy=P/2 =15 kNBPd2Ed1l1l2l1ACDFAyFDy例例 对图示的阶梯形变截面圆直梁校核强度对图示的阶梯形变截面圆直梁校核强度EXAMPLE-1第32页，此课件共59页哦画出弯矩图：画出弯矩图：关于荷关于荷载载P对称，且为折线。对称，且为折线。AB(CD)段上的最大段上的最大弯矩弯
15、矩MB=MC=9 kNm，位于截面位于截面B和和C。BC段上的最大弯矩段上的最大弯矩Mmax=ME=15 kNm，位位于截面于截面E1599ABCDEPEABCDEXAMPLE-1第33页，此课件共59页哦校核强度：校核强度：截面截面E：WzE=d23/32=1.696 105mm3故故 s smaxE=Mmax/WzE=88.4 MPa截面截面B(C):WzB=d13/32=9.81 104mm3故故 s smaxB=MB/WzB=91.7 MPa。可见，最危险点在可见，最危险点在B(C)截面的上下边缘，且截面的上下边缘，且 s smax=s smaxB=91.7 MPa s s 因此，该轴
16、是因此，该轴是安全安全的。的。PEABCD第34页，此课件共59页哦 例 题 例例 6-1 已知：已知：梁用梁用18 工字钢工字钢制成制成,Me=20 kNm,E=200 GPa。计算：计算：最大弯曲正应力最大弯曲正应力s smax,梁轴曲率半径梁轴曲率半径 r r解：解：1.工字钢工字钢一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材（GB 706-88）18 工字钢：工字钢：第35页，此课件共59页哦Me=20 kNm，E=200 GPa，求，求 s smax 与与 r r2.应力计算应力计算3.变形计算变形计算第36页，此课件共59页哦 例 题 例例 6-
17、2 已知：已知：F=15kN,l=400mm,b=120mm,d d=20mm计算：计算：截面截面 B-B 的最大拉应力的最大拉应力s st,max与压应力与压应力s sc,max解：解：1.弯矩计算弯矩计算第37页，此课件共59页哦2.惯性矩计算惯性矩计算3.最大弯曲正应力最大弯曲正应力第38页，此课件共59页哦例例 3 已知已知：钢钢带厚带厚d d=2mm,宽宽b=6mm,D=1400mm,E=200GPa。计算计算：带内的带内的 s smax 与与 M解解：1.问题分析问题分析 应力变形关系：应力变形关系：内力变形关系：内力变形关系：已知钢带变形，求钢已知钢带变形，求钢带应力与内力带应力
18、与内力第39页，此课件共59页哦带厚带厚 d d=2 mm,宽宽 b=6mm,D=1400mm,E=200GPa，求，求 s smax 与与 M2.应力计算应力计算3.弯矩计算弯矩计算第40页，此课件共59页哦若带厚若带厚 d d=10 mm,4.讨论讨论第41页，此课件共59页哦例例 图示外伸梁由铸铁作成，横截面为图示外伸梁由铸铁作成，横截面为T字形字形已知已知 q=10 kN/m，P=20 kN，s st=40 Mpa，s sc=160 Mpa，校核该梁的强度。校核该梁的强度。EXAMPLE-2PACBD2m3mq1myzCzC2002003030第42页，此课件共59页哦解解 支座反力支
19、座反力:FBy=30 kNFDy=10 kN EXAMPLE-2FByFDyPACBD2m3mq1m弯矩图：弯矩图：10 kNm20 kNm第43页，此课件共59页哦EXAMPLE-2yzCzC2002003030求 Izc首先求形心C的位置形心主惯性矩为：第44页，此课件共59页哦EXAMPLE-2校核强度：校核强度：FByFDyPACBD2m3mq1m 10 kNm20 kNmB截面：上边缘为拉应力下边缘为压应力第45页，此课件共59页哦EXAMPLE-2校核强度：校核强度：FByFDyPACBD2m3mq1m 10 kNm20 kNmC截面：上边缘为压应力下边缘为拉应力所以仅对C截面拉应
20、力校核。梁满足强度要求。第46页，此课件共59页哦例例 图示槽形截面铸铁梁。图示槽形截面铸铁梁。已知已知 b=2 m，Iz=5493104 mm4，许用拉应力许用拉应力 s st=30 MPa，s sc=90 MPa，确定此梁的许可荷载确定此梁的许可荷载。PACBDbbbq=P/byzO86134120401802020EXAMPLE-3第47页，此课件共59页哦解解:支座反力支座反力FAy=P/4,FBy=7P/4MB=-Pb/2弯矩图：弯矩图：弯矩图弯矩图 MC=Pb/4FAyFAyPACBDbbbq=P/bEXAMPLE-3第48页，此课件共59页哦 分析可知，不管是对截面分析可知，不管
21、是对截面C C还是截面还是截面B B，该该梁的强度均由最大拉应力控制梁的强度均由最大拉应力控制最大正、负弯矩分别在最大正、负弯矩分别在C、B截面处，其值分别为截面处，其值分别为 MC=Pb/4，MB=Pb/2弯矩图弯矩图 MC=Pb/4ACBDyzO86134120401802020由横截面尺寸可见，中由横截面尺寸可见，中性轴到上、下边缘的距性轴到上、下边缘的距离分别为离分别为y2=86mm，y1=134mm 第49页，此课件共59页哦因此，只须计算因此，只须计算C、B截面上的最大拉应力截面上的最大拉应力。得得弯矩图弯矩图 MC=Pb/4ACBDyzO86134120401802020EXAM
22、PLE-3由由C截面上的最大拉应力截面上的最大拉应力第50页，此课件共59页哦由由B截面上的最大拉应力截面上的最大拉应力得得得得从而，许用荷载为从而，许用荷载为从而，许用荷载为从而，许用荷载为弯矩图弯矩图 MC=Pb/4ACBDyzO86134120401802020EXAMPLE-3第51页，此课件共59页哦F=80kNACB1m1m22060y1y2yzo220d例例 跨长跨长l=2m的铸铁梁受力如图所示。已知的铸铁梁受力如图所示。已知材料的拉、压许用应力分别为材料的拉、压许用应力分别为 s st=30MPa，s sc=90MPa。根据截面最为合理的要求，确定根据截面最为合理的要求，确定T
23、字形截面梁的横截面尺寸字形截面梁的横截面尺寸d d，并校核梁的强度。并校核梁的强度。EXAMPLE-4第52页，此课件共59页哦解：截面最为合理，解：截面最为合理，应使应使梁同一危险截面上的最大拉梁同一危险截面上的最大拉应力与最大压应力之比应力与最大压应力之比s stmax/s scmax与相应的许用应力之比与相应的许用应力之比 s st/s sc相等，相等，同时达到破坏同时达到破坏。即。即从而从而由于由于所以所以从而确定中性轴的位置。EXAMPLE-4第53页，此课件共59页哦中性轴的位置与截面的几何尺寸有关，根据形心的中性轴的位置与截面的几何尺寸有关，根据形心的性质，有性质，有由此求得由此
24、求得EXAMPLE-422060y1y2yzo220d第54页，此课件共59页哦所以，截面对中性轴的惯性矩为所以，截面对中性轴的惯性矩为梁的最大弯矩为梁的最大弯矩为EXAMPLE-422060y1y2yzo220d第55页，此课件共59页哦于是，危险截面上的最大压应力为于是，危险截面上的最大压应力为此梁满足强度要求。此梁满足强度要求。亦可按最大拉应力校核此梁的强度亦可按最大拉应力校核此梁的强度亦可按最大拉应力校核此梁的强度亦可按最大拉应力校核此梁的强度EXAMPLE-4第56页，此课件共59页哦例例 6-5 铸铁梁铸铁梁，y1=45 mm，y2=95 mm，s st=35 MPa，s sc=140 MPa，Iz=8.8410-6 m4，校核梁的强校核梁的强度度解：解：MD最大正弯矩最大正弯矩MB最大负弯矩最大负弯矩危险截面危险截面截面截面 D,B第57页，此课件共59页哦危险点危险点a,b,c截面截面D截面截面B第58页，此课件共59页哦谢 谢！第59页，此课件共59页哦