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1、第2章 平面问题的基本理论第1页，本讲稿共90页第第2 2章章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第2页，本讲稿共90页2.1 平面应力问题与平面应变问题 一、平面应力问题一、平面应力问题(plane stress)1几何形状特征几何形状特征 物体在一个坐标方向物体在一个坐标方向(例如例如z方向方向)上的几何尺寸远远小于其他两个坐上的几何尺寸远远小于其他两个坐标方向的几何尺寸，图示的薄板，板厚就远远小于板面标方向的几何尺寸，图示的薄板，板厚就远远小于板面x、y方向的尺寸。方向的尺寸。第3页，本讲稿共90页2承受荷裁特征 在薄板的两个侧表面上无表面荷载，作用于薄板边缘的表面力平行于板面，且沿厚
2、度方向不发生变化，或虽沿厚度方向变化但对称于乎板画的中间平面，即合力与中平面重合。同时，体力亦平行于板面，且沿厚度方向不变。3简化分析 根据问题的特征，经过分析判断可预先未知数中一部分为零或接近于零，或与其他分量虽相比，小到可以忽略不计的程度。平面应力问题第4页，本讲稿共90页由剪应力互等定理，得 故平面应力问题的非零应力分量为平面应力问题的应力分析平面应力问题的应力分析薄板，应力不沿厚度方向变化第5页，本讲稿共90页 在实际工程中，可以简化为平面应力问题的例子很多。例如，高层建筑中的剪力墙、深梁、平面吊钩，以及平面链环、被圆孔或圆槽削弱的薄板等等，都可简化为平面应力问题。工程中的平面应力问题
3、工程中的平面应力问题第6页，本讲稿共90页1几何形状特征 与平面应力问题相底物体沿一个处标轴(例如z轴)方向的尺寸远大于其他两个坐标轴(x轴和y轴)方向的尺寸，且所有垂直于z轴的横截面都相同，即为一等截面柱体。2承受荷载特征 柱体的体积力和侧表面所承受的表面力均垂直于z轴，且分布规律不随坐标z变化,柱体的位移约束条件和力的支承条件沿z方向也是相同的。二二 平面应变问题平面应变问题(plane strain)第7页，本讲稿共90页工程中的平面应变问题工程中的平面应变问题堤坝堤坝筒体筒体滚轴滚轴涵洞涵洞第8页，本讲稿共90页 3简化分析 等截面柱体，例如挡土墙、隧道、重力坝和圆管等，如果受到垂直于
4、z轴且不沿长度变化的荷载作用，就可以假定所有横截面都处于相同的情况。为简单起见，现在先假定两端截面被限制在两个固定的光滑刚性平面之间，因而z方向的位移被阻止了，则z方向没有变形。因此，满足平面应变问题的条件可描述为：因此，满足平面应变问题的条件可描述为：平面应变问题的简化分析平面应变问题的简化分析第9页，本讲稿共90页平面问题的应力、应变分量平面问题的应力、应变分量平面应力平面应力平面应变平面应变应变分量应变分量（据胡（据胡克定律）克定律）应力分量应力分量（据胡（据胡克定律）克定律）胡克定律胡克定律第10页，本讲稿共90页2.2 平衡微分方程Differential Equations of
5、Equilibrium基本思路 过弹体内任意一点P截取一微小的正平行六面体(单元体)，并把内应力连同体积力(外力)一起作用在该单元体上，考虑其平衡，列出其力的平衡条件，这样就可导出内应力分量与体积力分量之间的微分关系式平衡微分方程。第11页，本讲稿共90页平衡方程推导平衡方程推导在变形体内，应力为位置的函数，因此，若在变形体内，应力为位置的函数，因此，若PBPB面上的应力为面上的应力为 ，则在，则在ACAC面上的应力可利用泰勒级数展开为：面上的应力可利用泰勒级数展开为：略去高阶无穷小项，得略去高阶无穷小项，得其它如图所示，列平衡其它如图所示，列平衡方程，得：方程，得：第12页，本讲稿共90页2
6、.3 斜面上的应力 主应力 对平面应力或平面应变问题，可以证明：对平面应力或平面应变问题，可以证明：当知道了物体内当知道了物体内任一点的应力分量任一点的应力分量 x x、y y 和和 xyxy以后，作用于通过该点处与以后，作用于通过该点处与xyxy平面垂平面垂直并与直并与x x和和y y轴交成某一角度的任一平面上的应力，都可以求得。如图，轴交成某一角度的任一平面上的应力，都可以求得。如图，令斜面的法线方向余弦为：令斜面的法线方向余弦为：第13页，本讲稿共90页2.3 斜面上的应力 主应力一、深刻理解方向余弦一、深刻理解方向余弦二、静力分析二、静力分析二、应力分析二、应力分析注意：注意：切应切应
7、力正方向规定力正方向规定方法方法第14页，本讲稿共90页主应力及其方向主应力平面主应力平面主应力平面满足关系主应力平面满足关系可见：可见：思考：如何确定主应力的方向？思考：如何确定主应力的方向？第15页，本讲稿共90页补充：主应力、主方向的确定（张量记号）补充：主应力、主方向的确定（张量记号）应力张量也可以把它看成应力矩阵。而对于矩阵，按线性代数理论，它存在特征矩阵和特征方程，即第16页，本讲稿共90页结论：特征方程的特征根就是该点的主应力对于特征方程该方程的两个特征根为将每一个特征根i代入下述方程组这是一个关于l,m的齐次线性方程组，该方程的基础解系就是与主应力i对应的特征方向(li,mi)
8、T。补充：主应力、主方向的确定（张量记号）补充：主应力、主方向的确定（张量记号）第17页，本讲稿共90页试求纯剪切应力状态的主应力及主应力方向。显然例例 题题第18页，本讲稿共90页将1代入下列方程组其解为也就是说与1对应的方向为(1,1)，或者(-1,-1)。同样可得与2对应的方向为(-1,1)，或(1,-1)。(1,1)(1,-1)(-1,-1)(-1,1)例例 题题第19页，本讲稿共90页一、最大、最小主应力最大、最小正应力最大、最小正应力由于 ,所以上式可写为 的取值在0,1之间，取0得最小值，取1得最大值。第20页，本讲稿共90页最大、最小切应力最大、最小切应力二、最大、最小切应力由
9、于 ,所以上式可写为第21页，本讲稿共90页2-3 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移第22页，本讲稿共90页单单元体的形元体的形变变与位移与位移两种基本的几何形变两种基本的几何形变：一种是在：一种是在x x、y y方向上原来直线长度方向上原来直线长度PAPA、PBPB的的变化，另一种是所给变化，另一种是所给PAPA与与PBPB夹角夹角(直角直角)的变化。的变化。P(x，y)P(x+u，y+v)A(x+x，y)A(x+x+u+u，y+v+v1)第23页，本讲稿共90页点A的位移与点P的位移不相等，其水平投影的长度增加了(u+u)-u=u，从而其水平投影的增加率为 u x，这就是六面体在x方向的
10、平均线应变。同理，六面体在y方向的平均线应变为 v y，当该有限小六面体棱边的长度x、y无限趋于零时，这两个平均线应变的极限便分别成为P(x，y)点处的线形变分量x和y线应变线应变第24页，本讲稿共90页同样可很线段PA、PB的转角分别为于是可得PA与PB之间的直角的改变(以减小时为正)，也就是剪应变xy为综合得Cauchy方程角应变与柯西方程角应变与柯西方程第25页，本讲稿共90页刚体位移刚体位移由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，应变分量则亦完全确定；反之，由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，应变分量则亦完全确定；反之，当应变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。当应变分
11、量完全确定时，位移分量却不能完全确定。为了说明后一点，试令应变分量等于零，即为了说明后一点，试令应变分量等于零，即这一方程的左边是y的函数而右边是x的函数。因此，只能是两边都等于同一常数，于是得：第26页，本讲稿共90页 当三个常数中只有u0不为零时，物体中任意一点的位移分量是u=u0，v=0。这就是说物体的所有各点只沿x方向移动同样的距离u0。同样可见，v0代表物体沿y方向刚体平移。当只不为零时，物体中任意一点的位移分量是 当物体发生一定的形变时，由于约束条件的不同，它可能具有不同的刚体位移。刚体位移的说明第27页，本讲稿共90页2-5 斜方向的应变及位移第28页，本讲稿共90页斜方向的应变
12、PN变形为P1N1后，其在坐标轴上的投影为：PN的长度为dr，线应变为 ，则PN变形后的长度：例题：教材P20：第29页，本讲稿共90页2-6 物理方程第30页，本讲稿共90页广义胡克定律一维情况下的虎克定律=E。推广到三维应力状态，得到空间问题的物理方程其中E是弹性量，G是剪切弹性模量，为Poisson系数第31页，本讲稿共90页1.在平面应力问题中，z=0，yz=zx=0，由第三式知道平面应力问题第32页，本讲稿共90页 2.在平面应变问题中，w=0，所以z方向的线段都没有伸缩，即 z=0。代入其它式子，注意到yz=zx=0，则有平面应变问题的(Lam形式)Hooke定律。平面应变问题第3
13、3页，本讲稿共90页注意：也可以将Hooke定律写成用应变表达的形式(Young-Poisson形式)另外，对于平面应变的情形，只要将平面应力时的物理方程中的弹性常数作如下变化，则可得到平面应变时的物理方程：应变表示的胡克定律第34页，本讲稿共90页平面问题的基本方程或平衡方程几何方程胡克定律第35页，本讲稿共90页2-7 边界条件Boundary condition 当物体在外力作用下处于平衡状态时，其内部各点的应力分量应当满足平衡微分方程，如果所考察的是位于物体表面上的点(即边界点)，显然这些点的应力分量(代表物体内部作用于这些边界点上的力)应当与作用在该点处的外力(表面力)相平衡，这种边
14、界点的平衡条件，称为边界条件(也称为静力边界条件或应力边界条件)。第36页，本讲稿共90页应力边界条件则：则：边界条件：边界条件：第37页，本讲稿共90页例1 试写出图示平面问题的应力边界条件。解：在y=0的边界上，有亦y=x tan边界面上，表面力为零，外法线n的方向余弦为所以：例题1第38页，本讲稿共90页例2 设有距形截面的竖柱，密度为，应力分量为试分别利用图a和b确定常数Cl及C2.(a)例题2第39页，本讲稿共90页解：方法一 由图知，用静力边界条件确定常数，必须先求出支承反力。对于图a，求得支承反力为 ，如图所示。其边界条件为将式(a)代入上式，得请使用该方法求解图请使用该方法求解
15、图b例题2（解法一）第40页，本讲稿共90页方法二 如果同时应用平衡微分方程和应力边界条件，就不必求出支承反力而能直接定出常数。例如，由平衡微分方程(2-1)的第二式例题2（解法二）请使用该方法求解图请使用该方法求解图b第41页，本讲稿共90页图示薄板条有一齿形ABC，板条在y方向受均匀拉力的作用。试证明在齿的尖端A处无应力存在。证明 因图示受力板条可视为平面应力问题，且齿面AB与AC均为自由边界，无面力作用。设A点的外法线方向余弦为(l,m)所以A点应满足边界条件ABCn由于(l,m)是任意的，该方程组成立的条件是系数矩阵为零，即A处无应力存在。例题3第42页，本讲稿共90页练习题练习2.一
16、水坝刚性固结在基础上，坝高为h,坝基宽b。如图，设水的密度为试写出该水坝的应力边界条件。练习1.试写出下列问题的应力边界条件。第43页，本讲稿共90页在物体的达界上全部给定位移，用Su表示，如图示，这时，位移边界条件为，式中u、v是位移的边界值，是待求的，而在边界上是坐标x，y 的函数，是已知的。位移边界条件第44页，本讲稿共90页混合边界条件图示弹性体，部分位移被限制，故为位移边界条件Su而另一部分边界则是外力已知，故为应力边界条件S两者结合起来，即为混合边界条件。第45页，本讲稿共90页2.8 圣维南原理圣维南原理 Saint-Venants Principle)1.从数学上难以完全满足边
17、界条件。2.某些工程问题难以知道某些边界的确切分布。如果改变物体的某一局部(小部分)边界面上作用的表面力的分布方式，但保持静力上的等效(即主向量相同，对于同一点的主矩也相同)，则近处的应力分布将有显著的改变，而远处的应力改变甚小，可以忽略不计。这一叙述称为圣维南原理。第46页，本讲稿共90页静力等效原理静力等效原理 可严格满足边界条件位移边界条件不能严格满足如何写它们的边界条件？第47页，本讲稿共90页思考下列边界条件思考下列边界条件 第48页，本讲稿共90页对于局部域受一平衡力系作用时，圣维南原理还可另述如下：如果物体一小部分边界表面承受的表面力是一平衡力系，即主矢量和主矩都为零，这个平衡表
18、面力所产生的影响只限在局部，即只在受力附近产生显著的应力，而在远离受力位置，应力就迅速衰减甚至消失。最显著的例证，就是用钳子夹钢丝或铁丝，在加力点(钳口)附近发生很大的应力乃至剪断，但是，只要离钳口不甚远，应力就已很小甚至没有，那里的全属不保有任何受力的痕迹。圣维南原理的第二表述圣维南原理的第二表述 第49页，本讲稿共90页2-7 按位移求解平面问题 按位移求解，就是以位移分量为基本来知函数，求解平面问题的基本微分方程。一旦求得了位移分量，即可通过几何方程(2-11)求得应变分量，通过物理方程(2-13)求得应力分量。为此，首先要导出按位移求解平面问题时所需用的基本方程(微分方程)和边界条件。
19、这需将用应力分量表示的平衡微分方程(2-1)变换为用位移分量表示的平衔微分方程，同时，应力边界条件也将作相应的变换。第50页，本讲稿共90页2-9 按位移求解平面问题第51页，本讲稿共90页平面问题的基本方程或平衡方程几何方程胡克定律第52页，本讲稿共90页位移为基本变量的平衡方程位移为基本变量的平衡方程几何方程几何方程胡胡克克定定理理代入代入平衡方程平衡方程第53页，本讲稿共90页位移为基本变量的边界条件位移为基本变量的边界条件应力边界条件应力边界条件位移边界条位移边界条件仍然表示件仍然表示为：为：思考：用位移思考：用位移表示的平面应表示的平面应力问题有几个力问题有几个基本方程？如基本方程？
20、如何转换为平面何转换为平面应变问题？应变问题？第54页，本讲稿共90页2-10 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程第55页，本讲稿共90页平面问题的基本方程或平衡方程几何方程胡克定律第56页，本讲稿共90页相容方程相容方程 上式称为弹性体变形相容方程上式称为弹性体变形相容方程(Compatibility Equations)，它是保，它是保证弹性体变形连续的条件。证弹性体变形连续的条件。第57页，本讲稿共90页相容方程的应力表示相容方程的应力表示代入代入第58页，本讲稿共90页简化简化试写出平面应变问题的变试写出平面应变问题的变形协调方程。形协调方程。第59页，本讲稿共90
21、页平面问题的应力法基本方程简化平衡方程变形协调方程位移法求解的基本方程第60页，本讲稿共90页 2.11 常体力情况下的简化常体力情况下的简化第61页，本讲稿共90页 2.11 常体力情况下的简化常体力情况下的简化简化基本方程变为：边界条件为：在常体力情况下，弹性力学基本方程中不含有材料在常体力情况下，弹性力学基本方程中不含有材料常数，因此，平面应力问题和平面应变问题都可以常数，因此，平面应力问题和平面应变问题都可以用这一组方程描述。这样导致了个便利：用这一组方程描述。这样导致了个便利：1)求出的应力分量既满足平面应力问题也满足平面求出的应力分量既满足平面应力问题也满足平面应变问题。应变问题。
22、2)实验上可用平面应力模拟平面应变。实验上可用平面应力模拟平面应变。此外，对于单连体的应力边界，还可以把体力的作此外，对于单连体的应力边界，还可以把体力的作用换为面力的作用。用换为面力的作用。第62页，本讲稿共90页 2.12 应力函数应力函数 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法第63页，本讲稿共90页常体力平面常体力平面问题问题的基本方程求解的基本方程求解非齐次微分方程非齐次微分方程齐次微分方程通解特解齐次微分方程通解特解选择特解选择特解特解一：特解一：特解二：特解二：特解三：特解三：第64页，本讲稿共90页齐次方程的通解齐次方程的通解由第由第1式得式得根据高等数学的全微分理论知，存在函数根据
23、高等数学的全微分理论知，存在函数A(x,y)，使得，使得则必存在函数则必存在函数B(x,y)，使得，使得由第由第2式得式得即：即：则必存在函数则必存在函数(x,y)，使得，使得第65页，本讲稿共90页齐次方程的通解齐次方程的通解 函数称为平面问题的应力函数(Stress function)，是Airy首先引用的。有时也称为Airy 应力函数。这样常体力弹性力学平面问题通解就是通解特解,例如：第66页，本讲稿共90页考考虑边虑边界条件界条件其中，其中，对应于齐次方程的通解，应满足：对应于齐次方程的通解，应满足：应力函数：应力函数：边界条件成为：边界条件成为：对于常体力情况的一种等效：若将体力视为
24、对于常体力情况的一种等效：若将体力视为0，则面力分量分别增加，则面力分量分别增加 和和 。第67页，本讲稿共90页例题例题试分析图示深梁在重力作用下的应力试分析图示深梁在重力作用下的应力分析。分析。解：将体力等效为面力如下图。解：将体力等效为面力如下图。选择特解：选择特解：若在下图情况下测量、分析得到其应力若在下图情况下测量、分析得到其应力分量为分量为 ，则，则为原问题的解为原问题的解第68页，本讲稿共90页思思 考考 若所处理的问题不考虑体力，则只需要写出齐次方程的通若所处理的问题不考虑体力，则只需要写出齐次方程的通解即可，也就是说它的解就是：解即可，也就是说它的解就是：若所处理的问题不考虑
25、体力，其求解的方程有哪些？若所处理的问题不考虑体力，其求解的方程有哪些？平衡方程平衡方程协调方程协调方程边界条件边界条件协调方程能不能用协调方程能不能用应力函数表示应力函数表示第69页，本讲稿共90页也写成：也写成：应力函数表示的协调方程应力函数表示的协调方程协调方程协调方程应力函数应力函数第70页，本讲稿共90页应力函数求解弹性力学问题应力函数求解弹性力学问题协调方程协调方程应力函数应力函数不计体力可写为：不计体力可写为：边界条件边界条件第71页，本讲稿共90页本章的知识要点本章的知识要点平面问题平面问题主应力求解及方向判定主应力求解及方向判定边界条件（圣维南原理）边界条件（圣维南原理）按位
26、移求解按位移求解按应力求解（应力函数）按应力求解（应力函数）第72页，本讲稿共90页作业：作业：P34P34第73页，本讲稿共90页图示悬臂梁，ox轴平分梁高h，试根据材料力学中 x的表达式，用平衡微分方程导出xy和y的表达式。解：过P点横截面上的弯矩为则：由平衡微分方程例题例题1第74页，本讲稿共90页得由梁的边界条件则再由平衡微分方程，得最后得得根据边界条件例题例题1（续）（续）第75页，本讲稿共90页附录 全微分方程如果方程的左边恰是某一函数(x，y)的全微分，即(a)则方程(a)称为全微分方程(或叫恰当微分方程)，这时方程(a)可写成(b)(c)因而，它的通解为式中C是任意常数。(d)
27、第76页，本讲稿共90页 一般地说方程(a)是否为全微分方程并不是一眼就能看出的，而是要通过某一条件来判别的。这里，我们假定函数A(x,y)和B(x,y)在某区域内连续且具有连续的偏导数。如果介程(a)是全微分方程，即有函数(x,y)使得则(e)将式(e)中第一式两边对x求偏导，第二式两边对y求偏导数，得第77页，本讲稿共90页由得式(f)就是使方程(a)成为全微分方程的必要条件。(f)事实上，式(f)也是充要条件，其充分性证明从略。第78页，本讲稿共90页例1 图示为被两个固定的光滑刚性平面所挟持的弹性薄板，板厚为t，坐标面xoy与平分板厚的中面重合。在薄板周边作用有沿板厚均匀分布的，自相平
28、衡的压力q，试证明该问题也属于平面应变问题。证明 由图知，两个刚性平面与弹性薄板为光滑接触，所以在薄板板面上有(a)第79页，本讲稿共90页(b)由于板很薄，周边压力又不沿厚度方向变化，也就是说板不会产生弯曲，可以认为在整个弹性薄板的所有各点除有与板面相同的应力分量外，还有x，y和xy它们仅是x、y的函数，与z无关。注意剪应力的互等性，所以xz=0，yz=0。又因为两个固定的刚性平而只阻止周边受压弹性薄板的膨胀，即只阻止板内点在z方向的的移动所以位移分量w=0，因而应变分量z=0。再由各向同性体的广义虎克定律得第80页，本讲稿共90页(c)由式(c)可归纳为两点：v仅是x和y的函数；v 第81
29、页，本讲稿共90页可见符合平面应变问题的两个判别条件，所以问题得证。同时，由式(c)还得到平面应变问题的物理方程第82页，本讲稿共90页 例 试证明，当下图中单元体的各面上所受的应力分量不是均匀分布时，平衡微分方程仍为(2-1)。第83页，本讲稿共90页 证，所谓单元体各面上应力分量不是均匀分布，即应力分量是随x、y逐点变化的，P、A、B、D点处的应力是不同的，应力是一个函数f(x，y)。设此函数在点x=xP、y=yP处的值为f(xP，yP)或fp，则把f(xP+dx，yP+dy)展开为泰勒(Taylor)级数时，就求得邻近点x=xP+dx，y=y+dy处的函数值为：(a)第84页，本讲稿共9
30、0页式中，、等表示在点xP、yP处的一阶偏导数若设f(x+dx，y)=y(x,y)并令dy=0，得(b)可见PA微分面上的应力分量y是按非线性规律变化的。同样，如设f(x，y)=x。并令dx=0，又得可见PB微分面上的应力分量x是按非线性规律变化的。(c)第85页，本讲稿共90页依此类推，从而得出微分体六个面上的应力分量，不仅分布不均匀，而且，一般来说是按非线性规律变化的，这样，推导平衡微分方程(2-1)式就变得很复杂。由于在六面体PABD中，dx和dy都是微量，所以它们自身平方或相互的乘积比起其自身的大小来说，是高一阶的微量，因此，在式(b)和式(c)中忽略二阶以上的高阶微量后，应力分量在各面上的分布就是线性的了，如图所示。第86页，本讲稿共90页因此，各点的应力值分别为第87页，本讲稿共90页由六面体的平衡条件X=0，得式中t为六面体厚度。(d)第88页，本讲稿共90页将式(d)展开约简以后，两边除以tdxdy，得同样由Y=0，得证毕。第89页，本讲稿共90页结束结束第90页，本讲稿共90页