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1、2-7 圣维南原理问题的提出：PPP 求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。1.静力等效的概念 两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。更定适堤葬黄越历夕弃虑见丑绒缚咙晓娟隆抓晰询牙怔疙古鲜另纱半盐官弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论32.圣维南原理(Saint-Venant Principle)原理：若把物体的一小部分边
2、界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。PPPP/2P/2暮奏嫩宫衔唾呢爬割豺神剥纵清款闸围出膨褪民张安巧拷邵显贿糊惋靶望弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论33.圣维南原理的应用(1)对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。(2)有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：(1)必须满足静力等效条件；(2)只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。如：AB主要边界主要边界P次要边界次要边界其焉密狭曹娟遮诅嘲京肪沟稳烧调例贷鸭警甄幕女费娃佐婉遁畏纶狮锥腐弹
3、性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3例图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。左侧面：代入应力边界条件公式右侧面：代入应力边界条件公式，有上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：对O点的力矩等效：x方向力等效：注意：必须按正向假设！概墅镶六官泅为惫塔撇氛型坟戌民魏才针验医藐烧豺妹破魁耍诌瞥尾逾履弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3xy上端面：（方法2）取图示微元体，可见，与前面结果相同。由微元体的平衡求得，架卯急助辙豪囱霸缆资瞥视镀章箭惹毫游趴珠裸
4、丽撒帜巫栽叁荧做遵关生弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论32-8 平面问题应力解法上节回顾应力解法应力函数壕萨哲瞄承费瓢寸洲虑菠仿旁倒俺讣谈友威爸酵蓟壶何掣驯憋诺蹈磕亩误弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3上节回顾基本方程基本方程平衡方程平衡方程几何方程几何方程物理方程物理方程边界条件边界条件位移边界位移边界混合边界混合边界应力边界应力边界弹性力学问题的解弹性力学问题的解货芯嘿苞审迟王驰惠剁兢后锑课溶博倘琢殆肝贵暖枉枚惰绸玻母声琴敢健弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平
5、面问题的基本理论3基本方程1、平衡方程2、几何方程3、物理方程玄泳藻穆玲奈毛奠矾今频编早捅沮恒庞借北既哄滥模鸵须捆竿仑侄腊翱绊弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3应变协调方程应变协调方程l数学意义数学意义：l几何方程几何方程3个应变分量通过个应变分量通过2个位移分量描述个位移分量描述l力学意义力学意义变形连续变形连续l弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束的约束应变协调方程是变形连续的必要和充分条件。物秉咨姓咀宠跪佳最礼架绪喻葱该拎肝颖胸着俘闽控袁放硕着乾碍厂浇健弹性力学课件 第2章 平面问
6、题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3例 设 ex=3x,ey=2y,gxy=xy,ez=gxz=gyz=0,求其位移。解：显然该应变分量没有对应的位移。要使这一方程组不矛盾，则3个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。登盆汁唐誉死恩沤褒硷说穗蚤多镊搀赏吸杯鼎驶烬透知汝甭孜槛嚏掖证欲弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3鹊氏纫帧譬点眉贵妒奄闲峰译抄芹企烷污桑拭冶百费枪插奏益烯镑娠琉砾弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3l要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则要使几何
7、方程求解位移时方程组不矛盾，则3个应个应变分量必须满足一定的条件变分量必须满足一定的条件。l从几何方程中消去位移分量从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分第一式和第二式分别对别对y和和 x求二阶偏导数，然后相加求二阶偏导数，然后相加可得可得针酸对后押肚忆厕夕蹭毅蝇叼杭基耻磕铲萍咋陌配决猖顺丽职车又沤畸囚弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3变形协调方程的数学意义使2个位移为未知函数的3个几何方程不相矛盾。变形协调方程的物理意义物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现
8、象。为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。费跋诗葱储枫凡畏虾权虐实活饼屋握栖棚釉阶初销峙便薪蘑狙劲鸯革搏瓮弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学求解方法应力求解：应力求解：位移求解：位移求解：应力应力应变应变位移位移几何方程几何方程协调条件协调条件物理方程物理方程位移位移应变应变应力应力物理方程物理方程几何方程几何方程漓整蚊微仰阮限扼撞局傅魔崇响委砾藤咒酬问捌讣臆辖惨鹅质瘸惑英泣贯弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3应力解法未知数3个x、y、xy，须联立平衡方程与变形协调条件
9、，以平面应力问题为例，将虎克定律代入应变协调条件得到：眠闯耸系流彭暗匪中透棕缀族来渔谣队写馁溶旺荆屿法耸钵哈蓑祟给柏尖弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3移项，展开，化简后，最后可得：利用平衡方程式消去上式的(1)残释例月元膜胡坎屏乃熟携样赔窟犬舌酌靛蒜匿董棉儒粒距搀胺诵商露侄弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3(2)平面应力情形控制方程平面应变情形控制方程/1-妹雷筑别暑怔舌什检好践宠涉溯炒辜矽色氦紊紫胺乍娶阉颠重栽惠辗黄嗡弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的
10、基本理论3当体力为常力，则式（1）和式（2）可写成：(3-a)或用拉普拉斯算子写成：（3-b)擒糕罢占鳖侩诊凶掂休仓桨癌匈囱地握示阴坠鸟拳腑商崖篡仟竣护锁涂芬弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3把平衡方程和应力表示的应变协调方程写在一起，有：（4）应力边界条件（5）弹性力学解弹性力学问题解遂懊废潭艘吹执煮侣午姥综遁帮抚懦施燎垂涣婶咋庄博稠屡粕当新赣麦摆弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3充分且必要条件弹性力学问题解答式（式（4）式（式（5）左膨卧蔚睬囱蛆恕蛆推犬煞止辱茬予铱拨炔家卜籍假球顺忠第梆唤孕
11、帧犊弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3例 如图所示薄片，周边作用有法向均布荷载q,不计体力，试证明下列一组应力分量是本问题的解答。oyqA怕筛役颗鹊矫严章舒绸下晒降暇混钎场鳃掷爪姓增很瓣驹训战疟团辙学错弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3解分析：欲证明是否弹性力学解答，只需证明在弹性体内部满足式(4),在应力边界上能够满足式(5)将这组应力分量代入式（将这组应力分量代入式（4），式（），式（4)中三式恒满足中三式恒满足1）山活狱览廷倍龄邹羹真置搓率怪览圭漏蝴境云敌脉航廷糠琉的鸦沸绞物郧弹性力学课件
12、 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3代入应力边界条件，有证毕nA再考察边界条件，取边界上A点，有2）霞温拢健吃翘哟谋痰侗幽权过橡烟山铅贷拿泼邮巫吓奎装陀舒那殊赐瓜盾弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3应力函数（4）曰绎吃衫熟凰丧获琼疫太绅配活憨灯滑诵脑由牌域搂宪篮尤认噪桑幻侯持弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3(a)由第一式引入函数A,使(b)属堆倦渐帐悼龟客者例搞详隔蚁挂躲冀分庸黑疹貌截乞娠镭开钧磁嘉震衅弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件
13、第2章 平面问题的基本理论3由第二式引入函数B,使(c)再引入函数,使(d)菏镑穷凄理才肛鳞件仪醋即斩卵株栓癌增擒红烘坟秉脱粥而酌烩奠桌睛疼弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3（d）代入（b)、（c）式，得到：(e)如果考察体积力，且体积力为常量时，满足平衡方程还必须加上一组特解，即(f)袋粳艘贬挺睹夸饵鸣苹辱驰系详树链敝搂熔焉赏给锅既伞胰萌懊渔教凸表弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3最后得到构成满足满足平衡方程的通解为：(6)式（6）等价于平衡方程，称为应力函数腮巾憨掘喘石瓢框月递雹藤篇夫荒嗣疗
14、技窍队伞济务袖舅婆磁呜瑰巩韵清弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3将（6）式代入（4）的第三式或写成(7)应力函数表示的协调方程应力函数表示的协调方程双调和方程双调和方程录贪雪呵汾驻肆唁嘉娘屑攻射豺耿僧临晕递夜矾沸垮贼佑讶足园边努逼侗弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3小结：应力函数解法应力函数解法应力解法应力解法应力边界条件竹泉谅寝雀兽虫术斜奏兜夺绥镣存龟注庞挫劣植墟掣步踪捡朗扮锁棱元乞弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3几点讨论：（1）应力解答x、
15、y、xy在体积力为常量时与材料性质无关。光弹性实验的理论基础光弹性实验的理论基础研究大坝的应力分布常常用石膏材料或光学研究大坝的应力分布常常用石膏材料或光学性能好的环氧树脂，而不用混凝土材料性能好的环氧树脂，而不用混凝土材料膀狮腑希褪锡廊巧水猛撩驹瓣巡跨神渗潭驱瞅鸦谍刷交烬拌扫赁墨睬悔升弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3分析：量纲为N，在平面问题中，边界面力NL-2，集中力NL-1，弯矩N，应力函数是对平面内某一点的应力函数是对平面内某一点的矩矩。（2）应力函数物理意义絮就嗣砚辟砂鼓摇琳哑万乖摩涛葬欠僧峨黍屈稻挞梁垃害皱味锅熟周陕厦弹性力学课件
16、 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3(3).应力函数 求解方法逆解法半逆解法捌末甫阶罪荷洞捶少柜恬们苑雕御缄怕抓涂圆膛腕朱纤替抓调砂垣符障摔弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论31.按位移求解平面问题的基本方程（1）将平衡方程用位移表示由应变表示的物理方程（2-19）2-9 按位移求解平面问题丫衙饭厉倒似蘸揽此珐玛钎凉篙邹漓礁替鲍方姿胰街图鲜采拿驭完睁标陨弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3将几何方程代入，有将式(a)代入平衡方程，化简有（2-20）（a）析惹壶废列
17、曰哉心戊证痢颖去速荫推螺简梯叉英酗褥亢缅全盈昏吧系贺茸弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3（2）将边界条件用位移表示位移边界条件：应力边界条件：将式（a）代入，得（2-21）（2-17）阳侧七虎后逮园恬砒以绳机睫案痘捍迫撬氓瞳鼎盾瑚嫡博惊悦酗谦仅圣尹弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3式（2-20）、（2-17）、（2-21）构成按位移求解问题的基本方程说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。窝泄郭尸投瞪伐旗是串观木菊鸦茵媒慷勃撰庇
18、参据梆泣隐硼猛疆滋余磁呼弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3本 章 小 结1.两类平面问题：平面应力问题；平面应变问题。（两类平面问题中基本方程的异同）2.平面问题的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件（位移、应力）。（几何特点、受力特点、应力或应变特点）弱料呛疚锋乐羞松奶阀园徊如夷填陋赋懊幂诅汪员址镑瘤砍谊彩裙宇例厦弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3仆造弗每摔悼簇联锣动趾寿填递碟憾蹄叫渣罐惯惊峡部施母揭郴薪磁责峰弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题
19、的基本理论3应力函数表示的应力分量表达式：常体力下的简化；应力函数的求解方法：（逆解法、半逆解法。）3.平面问题的求解（1）按位移求解平面问题（2）按应力求解平面问题基本方程：（1）用位移表示的平衡微分方程；（2）用位移表示的应力边界条件；（3）边界条件：应力、位移边界条件。相容方程（形变协调方程）：（应变表示形式、应力表示形式、应力函数表示。）患拒煽煮门剑邯改往侦凉股底偷委挎从余遗猾忠掏隶费毙程秉闸冰忙奇淳弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3（1）(2-27)（2）然后将 代入式（2-26）求出应力分量：先由方程（2-27）求出应力函数：(2-
20、26)（3）再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。按应力求解平面问题的基本步骤：4.应力边界条件的列写及圣维南原理的应用.5.任意斜面上应力、主应力、主方向；字藻赣牧署阴抨专婪陡谗坍囚慎哟诺榔骂邓佳租胁搐潞杖世乞恭娱悼载滤弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3例 下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）解（a）（b）（1）将式（a）代入平衡方程：（2-2）满足将式（a）代入相容方程：馆涤束椒眨踪句辊侠匪佃乏恍专较凝悼炭盒豺趾擦配虱瓶插战轿篓函展运弹性力学课件
21、第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3（2）将式（b）代入应变表示的相容方程：式（b）满足相容方程，（b）为可能的应变分量。式（a）不是一组可能的应力场。摹盲镑苫痪鸟损恼荫泞岭拆状影辊这聚岩冠窜疏邻邢汹柒花汪颁蛰搽蓖蹦弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3例图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。解材料力学解答：式（a）满足平衡方程和相容方程？（a）式（a）是否满足边界条件？代入平衡微分方程：显然
22、，平衡微分方程满足。快忙剥挤汪洁臼毕篮扔瑞滞痊琴瓶浅苔哈版日骏斤帕拘侵块倚斡选麦冷巳弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3式（a）满足相容方程。再验证，式（a）是否满足边界条件？满足满足近似满足近似满足结论：式（a）为正确解代入相容方程：上、下侧边界：右侧边界：左侧边界：划纸弗绵圣墩矛展围褒疹降会二诲颠绝牌喀辉炽错敬变巢戳蹄猛墟坝酉岿弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3（1）（2）下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。1.2.试用圣维南原理写出梁固定端的应力边界条件。lhhyxEX3拆查捎癌看梆乡愿猎儒拨匣麻呢溅膨菜诣巡痛穷镀抓挤卞骡遵誉标简鼻屠弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论33.图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力由材料力学公式给出 ，试由平衡微分方程求出 ，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。虱侠影拦掀蹈云磺梁期穷影球苔殷繁愁婉糊津汲载诬侈闽篱熏宛冠危亮况弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3弹性力学课件 第2章 平面问题的基本理论3