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1、第二章第二章平面问题的平面问题的基本理论基本理论例如：深梁问题例如：深梁问题例如：深梁问题例如：深梁问题例例例例1 1（习题（习题（习题（习题2-32-3）试分析不受面力的空间体表面薄层中的应力状态。试分析不受面力的空间体表面薄层中的应力状态。试分析不受面力的空间体表面薄层中的应力状态。试分析不受面力的空间体表面薄层中的应力状态。选择坐标系如图。选择坐标系如图。因该表面无任何面力，因该表面无任何面力，fx、fy、fz=0,故表面上故表面上(z,zx,zy)=0在近表面很薄一层在近表面很薄一层(z,zx,zy)0接近平面应力问题接近平面应力问题。例例2（习题（习题2-4）按平面应变问题特征来分析
2、，按平面应变问题特征来分析，本题中本题中只有思考题思考题设有厚度很大设有厚度很大(即即 z向很长向很长)的基础梁放置在地基上的基础梁放置在地基上,如果如果想把它近似地简化为平面问题处理想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑问应如何考虑?思考题思考题思考题思考题 1.1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来检验方程的正确性）。检验方程的正确性）。检验方程的正确性）。检验方程的正确性）。2.2.将条件将条件将条件将条件 McMc=0,=0
3、,改为对某一角点的改为对某一角点的改为对某一角点的改为对某一角点的 MM=0=0，将得出什么结，将得出什么结，将得出什么结，将得出什么结果？果？果？果？3.3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结果？果？果？果？思考题思考题1.试证明微分体绕试证明微分体绕 z 轴的平均转动分量是轴的平均转动分量是2.当应变为常量时，当应变为常量时，x=a,y=b,xy=c，试求出对应的位移分量。试求出对应的位移分量。选择习题选择习题27、219。思考题思考
4、题1.试证：由主应力可以求出主应变，且两者方向一致。试证：由主应力可以求出主应变，且两者方向一致。2.试证：三个主应力均为压应力，有时可以产生拉裂现象。试证：三个主应力均为压应力，有时可以产生拉裂现象。试根据空间问题的物理方程进行解释。试根据空间问题的物理方程进行解释。3.试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题）试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题）比圆筒（平面应变问题）的变形大。比圆筒（平面应变问题）的变形大。试根据它们的物理方程来解释这种现象。试根据它们的物理方程来解释这种现象。例例1列出边界条件：列出边界条件：例例2列出边界条件：列出边界条件：思考题思考题1、若在斜边界面上，受有常量的
5、法向分布压力、若在斜边界面上，受有常量的法向分布压力q作用，试列出应力边界条件，作用，试列出应力边界条件，(图图(a)。2、证明在无面力作用的、证明在无面力作用的0A边上，边上，y不等于零（图不等于零（图(b)）。）。3、证明在凸角、证明在凸角A点附近，当无面力作用时，其应力为零（图点附近，当无面力作用时，其应力为零（图(c)）。）。4、试导出在无面力作用时，、试导出在无面力作用时，AB边界上的边界上的 x,y,xy 之间的关系。之间的关系。(图图(d)。5、试比较平面应力问题和平面应变问题的基本方程和边界条件的异同，并、试比较平面应力问题和平面应变问题的基本方程和边界条件的异同，并进一步说明
6、它们的解答的异同。进一步说明它们的解答的异同。选择习题选择习题213例例1试列出图中的边界条件。试列出图中的边界条件。解：解：(a)在主要边界在主要边界y=h/2应精确满足下列边界应精确满足下列边界条件：条件：在小边界在小边界x=l，当平衡微分方程和其它各，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，三个积分的边边界条件都已满足的条件下，三个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。界条件必然满足，可以不必校核。在小边界在小边界x=0应用圣维应用圣维南原理，列出三个积分的南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚近似边界条件，当板厚=1时，时，例例2试列出图中的边界条件。试列出图中的边界条件。
7、解：解：(a)在主要边界在主要边界x=0,b，应精确满足下列边界条，应精确满足下列边界条件：件：在小边界在小边界y=0应用圣维应用圣维南原理，列出三个积分的南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚近似边界条件，当板厚=1时，时，注意：注意：在列力矩的条件时两边均是在列力矩的条件时两边均是对原点对原点O的力矩的力矩来计算的。来计算的。对于对于y=h的小边界可以的小边界可以不必校核。不必校核。四、按位移求解（位移法）的优缺点：四、按位移求解（位移法）的优缺点：适用性广适用性广可适用于任何边界条件。可适用于任何边界条件。求函数式解答困难，但在近似解法求函数式解答困难，但在近似解法（变分法、差分法、
8、有限单元法）（变分法、差分法、有限单元法）中有着广泛的应用。中有着广泛的应用。例例1考虑两端固定的一维杆件。考虑两端固定的一维杆件。图图(a)，只受重力作用，只受重力作用，fx=0,fy=g。试用位移法求解。试用位移法求解。解：为了简化，设解：为了简化，设=0位移位移u=0,v=v(y)按位移求解，位移应满足式按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。代入式代入式(b),第一式自然满足，第一式自然满足，第二式成为第二式成为y=0,l，位移边界条件，位移边界条件(v)y=0=0B=0(v)y=l=0思考题思考题1、试用位移法求解图试用位移法求解图(b)的位移和的位移和应力。应力。2、试将弹
9、性力学中平面问题的位移、试将弹性力学中平面问题的位移法与结构力学的位移法相比，有那法与结构力学的位移法相比，有那些相同些相同和不同之处？和不同之处？选择习题选择习题210。图图(b)图图(a)例例2厚度厚度=1的悬臂梁，受一端的集中力的悬臂梁，受一端的集中力 F 的作用。已求得其位移的解答是的作用。已求得其位移的解答是试检查此组位移是否是图示问题的解答。试检查此组位移是否是图示问题的解答。解：此组位移解答若为图示问题的解答，则应满解：此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件足下列条件1、区域内用位移表示的平衡微分方程区域内用位移表示的平衡微分方程2、应力边界条件：在所有受面力的边界上满
10、、应力边界条件：在所有受面力的边界上满足。其中在小边界足。其中在小边界S上可以应用圣维南原理，用上可以应用圣维南原理，用三个积分的边界条件来代替。三个积分的边界条件来代替。3、位移边界条件：本题在、位移边界条件：本题在x=l 的小边界上，的小边界上，已考虑利用圣维南原理，使三个积分的应力边界已考虑利用圣维南原理，使三个积分的应力边界条件已经满足。条件已经满足。因此，只需校核下列三个刚体的约束条件：因此，只需校核下列三个刚体的约束条件：A点（x=l及y=0），读者可校核这组读者可校核这组位移是否满足上述条位移是否满足上述条件，如满足，则是该件，如满足，则是该问题之解。问题之解。例例1试考虑下列平
11、面问题的应变分量是否可能存在试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在解：应变分量存在的必要条件是满足形变解：应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件，即相容条件，即（a）相容；（）相容；（b）须满足）须满足B=0,2A=C；（；（c）不相容。除非）不相容。除非C=0。例例2在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在(相容性相容性)：解：弹性体中的应力，在单连体中必须满足相容方程。解：弹性体中的应力，在单连体中必须满足相容方程。（a）此组应力满足相容方程。）此组应力满足相容方程。（b）为了满足相容方程，其系数必须满足）为了满足
12、相容方程，其系数必须满足A+B=0思考题思考题1.试比较按位移求解的方法和按应力求解的方法，并与结构力学中的位移法和力法试比较按位移求解的方法和按应力求解的方法，并与结构力学中的位移法和力法作比较。作比较。2.若若 x=ay2,y=bx2,xy=(a+b)xy 是否可能成为弹性体中的形变？是否可能成为弹性体中的形变？3.若若fx=fy=0,x=ax2,y=bxy2,xy=0是否可能为弹是否可能为弹性体中的应力？性体中的应力？选择习题选择习题216、217。例例3图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，试用下列应力表达式求解其应力，解
13、：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足（1）平衡微分方程；（）平衡微分方程；（2）相容）相容方程方程将应力分量（将应力分量（a）代入平衡微分）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。方程和相容方程，两者都能满足。（3）应力边界条件（在）应力边界条件（在S=S上）。上）。在主要边界上，在主要边界上，例例3图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，试用下列应力表达式求解其应力，解：解：将将C1,C2代入代入(a),得到应力公式得到应力公式,例例3解解将式
14、（将式（b）表达式代入次要边界条件，）表达式代入次要边界条件，由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式（由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式（b）是图示问题之解。）是图示问题之解。例例4在材料力学中，当矩形截面梁（厚在材料力学中，当矩形截面梁（厚=1）受任意的横向荷载）受任意的横向荷载q(x)作用而弯曲时，作用而弯曲时，弯曲应力公式为弯曲应力公式为（a）试由平衡微分方程（不计体力）导出切）试由平衡微分方程（不计体力）导出切应力应力xy和挤压应力和挤压应力y的公式。的公式。（提示：注意关系式（提示：注意关系式积分后得出的任意函数，可由梁的上下积分后得出的任意函数，
15、可由梁的上下边界条件来确定。）边界条件来确定。）（b）当）当q为常数时，试检验应力分量是否满为常数时，试检验应力分量是否满足相容方程，试在足相容方程，试在x中加上一项对平衡中加上一项对平衡没有影响的函数没有影响的函数f(y)，再由相容方程确定，再由相容方程确定f(y),并校核梁的左右边界条件。并校核梁的左右边界条件。例例4解：本题引用材料力学的弯应力解：本题引用材料力学的弯应力x的解，的解，作为初步的应力的假设，再按应力法求解。作为初步的应力的假设，再按应力法求解。应力分量必须满足应力分量必须满足（1）平衡微分方程；）平衡微分方程；（2）相容方程；）相容方程；（3）应力边界条件（在）应力边界条
16、件（在S=S上）上）。（a）不计体力，将）不计体力，将代入平衡微分方程第代入平衡微分方程第一式，得一式，得两边对两边对 y 积分，得积分，得再由上下的边界条件再由上下的边界条件将将yx代入平衡微分方程的第二式代入平衡微分方程的第二式,第二章第二章习题提示与答案习题提示与答案21是是22是是23按习题按习题21分析。分析。24按习题按习题22分析。分析。25在在M=0的条件中，将出现二、三阶微量。当略去三阶微量后，得出的切应的条件中，将出现二、三阶微量。当略去三阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。力互等定理完全相同。26同上题。在平面问题中，考虑到二阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程同上题
17、。在平面问题中，考虑到二阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相都相同。其区别只是在三阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。同。其区别只是在三阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。27应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程连续性和小变形，物理方程连续性和小变形，物理方程理想弹性体。理想弹性体。28在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出三个积分的近似边界条件来代替。按照圣维南原理可列出三个积分的近似边界条件来代替。29在小边界在小边界
18、OA边上，对于图边上，对于图215（a）、（）、（b）问题的三个积分边界条件相同，）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。因此，这两个问题为静力等效。210参见本章小结。参见本章小结。211参见本章小结。参见本章小结。212参见本章小结。参见本章小结。213注意按应力求解时，在单连体中应力分量注意按应力求解时，在单连体中应力分量x，y，xy必须满足必须满足（1）平衡微分方程，）平衡微分方程，（2）相容方程，）相容方程，（3）应力边界条件（假设）应力边界条件（假设S=S)。所以（所以（a）和（）和（b）问题中的应力虽然满足了平衡微分方程和应力边界条）问题中的应力虽然满足了平衡微分方程和应力边界条件，但都不满足相容方程，因而不是该两个问题之解。件，但都不满足相容方程，因而不是该两个问题之解。214见教科书。见教科书。215见教科书。见教科书。216见教科书。见教科书。它们均满足平衡微分方程，相容方程及它们均满足平衡微分方程，相容方程及 x=0和和 y=h/2的应力边界条件，的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。因此，它们是该问题的正确解答。218见教科书。见教科书。219提示：求出任一点的位移分量提示：求出任一点的位移分量u和和v，及转动量，及转动量，再令，再令x=y=0,便可得便可得出。出。217取取