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1、高等数学高等数学第四章总结第四章总结洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性,极值与最值极值与最值,凹凸性凹凸性,拐点拐点,函数函数图形的描绘图形的描绘导数的应用导数的应用一、主要内容一、主要内容1 1、罗尔中值定理、罗尔中值定理2 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理有限增量公式有限增量公式.3 3、柯西中值定理、柯西中值定理推论推论4 4、洛必达法则、洛必达法则定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下
2、通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.5 5、泰勒中值定理、泰勒中值定理 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式6 6、导数的应用、导数的应用定理定理(1)函数单调性的判定法函数单调性的判定法定义定义(2)函数的极值及其求法函数的极值及其求法定理定理(必要条件必要条件)定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为
3、极值的点称为极值点极值点.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.定理定理(第一充分条件第一充分条件)定理定理(第二充分条件第二充分条件)求极值的步骤求极值的步骤:步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,大的那个就是最大值大的那个就是最大值,小的那个就是小的那个就是最小值最小值;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极
4、值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)(3)最大值、最小值问题最大值、最小值问题实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最值;(4)曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义定理定理1 1方法方法1:1:方法方法2:2:利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步(5)函数图形的描绘函数图形的描绘第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势他变化趋势;第五步第五步例例1 1解解二、典型例题这就验证了命题的正确性这就验证了命题的正确性.例例2 2解解例例3 3证证由介值定理由介值定理,注意到注意到由由,有有+,得得例例4 4证证例例5 5证证 ,则有则有例例6 6解解奇函数奇函数列表如下列表如下:极大值极大值拐点拐点极小值极小值作图作图测测 验验 题题测验题答案测验题答案七、七、例例6 6解解若两曲线满足题设条件若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数数和二阶导数,于是有于是有解此方程组得解此方程组得故所求作抛物线的方程为故所求作抛物线的方程为曲率圆的方程为曲率圆的方程为两曲线在点处的曲率圆的圆心为两曲线在点处的曲率圆的圆心为