《微分中值定理》PPT课件.ppt

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1、中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题利用导数解决实际问题罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒公式泰勒公式推广推广微分中值定理微分中值定理 与导数的应用与导数的应用 一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 微分中值定理微分中值定理ab1 2 xyo)(xfy C一、函数的极值一、函数的极值定义定义:,),()(内有定义在设函数baxf, ),(0bax ，的一个邻域若存在0 x在其中当在其中当0

2、 xx 时时, )()(0 xfxf(1) 则称则称 为为 的的极大点极大点 ,0 x)(xf称称 为函数的为函数的极大值极大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 则称则称 为为 的的极小点极小点 ,0 x)(xf称称 为函数的为函数的极小值极小值 .)(0 xf极大点与极小点统称为极大点与极小点统称为极值点极值点 .注意注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点为极大点52,xx为极小点为极小点3x不是极值点不是极值点2) 对常见函数对常见函数, 极值可能出现在极值可能出现在导数为导数为 0 或或 不存在的点不存在的点.1) 函数的极值是函数的函数的极值是函数的局部性

3、质局部性质.31292)(23xxxxf例如例如1x为极大点为极大点 , 2) 1 (f是极大值是极大值 1)2(f是极小值是极小值 2x为极小点为极小点 , 12xoy122.6 微分中值定理微分中值定理 ),(0 xN二、定理二、定理1(费马定理费马定理）设函数）设函数f(x)在在x0可导，可导，若若x0是是f(x)的一个极值点，则的一个极值点，则f (x0)=0.证：证：不妨设不妨设x0为为f(x)的极大值点，则的极大值点，则使对使对),(00 xNxx有有. 0)()(00 xfxxf, 0 x若若; 0)()(00 xxfxxf则有, 0 x若若; 0)()(00 xxfxxf则有;

4、 0)()(lim)(0000 xxfxxfxfx; 0)()(lim)(0000 xxfxxfxfx,)(0存在xf ).()(00 xfxf. 0)(0 xf只有2.6 微分中值定理微分中值定理 三、三、罗尔罗尔(Rolle)定理定理 满足以下条件：满足以下条件：若函数若函数定理定理xf ；baCxf,1 ；baDxf,2 ；bfaf 3 0, fba，使得，使得则则注意：与零点定理的区别与联系.ab1 2 xyo)(xfy C几何解释几何解释: :.,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABab1 2 xyo)(xfy C 10f 例如例

5、如: :32)(2 xxxf).1)(3( xx,3, 1上连续上连续在在 ,)3, 1(上上可可导导在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1(, 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf证证.)1(mM 若若,)(连连续续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 则则. 0)( xf由由此此得得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内内至至少少存存在在一一点点则则在在由费马定理，必有. 0)(f如果如果 f (x)在在a,b

6、上满足罗尔定理的条件，上满足罗尔定理的条件，因此因此, , 也称罗尔定理为也称罗尔定理为导函数方程根的存在定理导函数方程根的存在定理. . ,0,a bf 则必存在使得则必存在使得也就是导函数方也就是导函数方程程 (x)=0 0,xfx 即即 ,.a b 有根有根小结小结1：举例举例1 1;2, 2, xxy,)0(2, 2一切条件一切条件满足罗尔定理的满足罗尔定理的不存在外不存在外上除上除在在f . 0)( xf但找不到一点能使但找不到一点能使注意注意: :若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, ,其结论可能不成立其结论可能不成立. .,0,1.yx x举例2

7、举例2 0,10.f 则不存在,使则不存在,使 10ff 例例1 1.10155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx证证, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连续连续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1 1的正实根的正实根. .,),1 , 0(011xxx 设另有设另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满足罗尔定理的条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf

8、但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾, ,.1的的正正实实根根方方程程有有且且仅仅有有一一个个小小于于分析： (1)根的存在性 ：介值定理等； (2)唯一性：反证法注意：罗尔定理在这里用于反证法推出矛盾 221,1,2F xxfxfx例设其中在例设其中在 20.1,2f 上二阶可导,又知试证在内存在上二阶可导,又知试证在内存在 1,21,2F xF x证在上连续,在内可导,证在上连续,在内可导, 120.FFF x所以满足罗尔定理的条件.所以满足罗尔定理的条件. 111,2 ,0.F 使使 2211,Fxxfxxfx又又 . 0 F，使得，使得点点 110.FF ，且，且11, 1, 1 D

9、CxF Fx 所以满足罗尔定理的条件.所以满足罗尔定理的条件. . 0,2 , 1, 11 F使得使得分析： 通过结论猜测可能用到2次罗尔定理.类型题:8题 12coscos3cos 210naxaxanx方程方程证证作辅助函数作辅助函数为满足为满足，设设例例naaa213 xnnaxaxaxfn12sin123sin3sin21 13coscos3cos 21.nfxaxaxanx 则则 的实数，证明：的实数，证明：01213121 naaann.2, 0内至少有一个根内至少有一个根在在 考虑介值定理/罗尔定理分析： 13110.2321nnaafan 0,0,2f 由罗尔定理使即方程由罗尔

10、定理使即方程 13coscos3cos 210naxaxanx0,.2 在开区间内至少有一个根在开区间内至少有一个根 0,0,0022fxCDf 显然，且，显然，且， sincos0.ff 使得使得 ，求证：，求证：设设例例 , 0, 0, 04 DCxf 0,0,F xC显然,且显然,且 sin .F xfxx 证证辅助函数辅助函数作作 00,0,FF 罗尔罗尔,故,故定理定理满足满足 0,F 使得使得 sincos ,Fxfxxfxx因因 sincos0.ff 故故证先证存在性.作辅助函数证先证存在性.作辅助函数 000,1110.FfFf由闭区间上连续函数的由闭区间上连续函数的零点存在定

11、理零点存在定理知,知, ,xxfxF , 1 , 0CxF ，使，使01 , 0 F . f即即 5,0,10,101,fxCDfx 例设函数且例设函数且 0,11.xfx 有有 0,1 ,.f:存使得:存使得证明证明在唯一在唯一.反证法证唯一性反证法证唯一性用用 12120,1,若有两点使若有两点使上满足罗尔定理的条件,于是上满足罗尔定理的条件,于是 12,0,1 ,0,1,Ff 使得即使得即 0,10,1 ,.f故在内存在惟一的使故在内存在惟一的使 ,2211 ff 21, 在在xF .1矛盾矛盾这与条件这与条件 xf小结：注意罗尔定理在证明根“唯一性”问题中的应用 5,0,10,101,

12、fxCDfx 例设函数且例设函数且 0,11.xfx 有有 0,1 ,.f:存使得:存使得证明证明在唯一在唯一四、四、拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式 满满足足以以下下条条件件函函数数拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理：若若xf 上连续；上连续；在闭区间在闭区间ba,1 内可导；内可导；在开区间在开区间ba,2 abafbffba 使得使得则则, abfafbf 或或注意：注意：结合平均变化率与瞬时变化率的实际例子来理解。结合平均变化率与瞬时变化率的实际例子来理解。分析：分析：归结为导函数根的存在性问题；考虑罗尔定理。归结为导函数根的存在性问题

13、；考虑罗尔定理。几何解释几何解释: :.,ABCAB线线平平行行于于弦弦在在该该点点处处的的切切一一点点上上至至少少有有在在曲曲线线弧弧证证 作辅助函数作辅助函数xabafbfxfxF )()()()( ，baDbaCxF, 0)()()( abafbff 即即 bFabbafabfaF 且且 满满足足以以下下条条件件函函数数拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理：若若xf 上连续；上连续；在闭区间在闭区间ba,1 内可导；内可导；在开区间在开区间ba,2 abafbffba 使得使得则则, abfafbf 或或( , ),( )0.a bF 由罗尔定理，则使得由罗尔定理，则使得,),()(内可导内

14、可导在在设设baxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也可写成也可写成推论推论1.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxfy 增量的精确表达式增量的精确表达式有限增量公式：有限增量公式：由拉格朗日中值定理得到由拉格朗日中值定理得到证证 作辅助函数作辅助函数F(x) = f (x) - g(x), 由题设由题设 , 0 xgxfxF根据推论根据推论1知知 F(x)=C (C为一常数为一常数),即即 f (x) - g(x)=C, 故故 f (

15、x) = g(x)+C. ,2.fxg xD a bxa bfxgxa bfxg xCC 如果、且恒有如果、且恒有则在内其中则在内其中推推为一常数为一常数论论 003 limlim,xxxxfxfx 存在 或则存在 或则 00limxxfxfx 3fx论论若若推推满足：满足： 001,;fxxx 上上连续连续在在 002,;fxxx 在内可导在内可导用此结论求用此结论求分段函数分段函数在分界点的导数简便些在分界点的导数简便些.关键要满足：函数在分界点关键要满足：函数在分界点左左(右右)连续连续函数在分函数在分界点界点连续连续 .fxxxfxf 00因此因此 0000limxxxfxfxfxx

16、证证 00,xxx xxfxx 0,lim0 .lim0 xfxx ，显然显然xxDxxCxf,00 0,xx 则则使得使得 0limxf同理：同理： 003 limlim,xxxxfxfx 存在 或则存在 或则 00limxxfxfx fx若满足：若满足： 001,;fxxx 上上连续连续在在 002,;fxxx 在内可导在内可导问题关键要满足：函数在分界点问题关键要满足：函数在分界点连续连续 23,1,1,1,1.,1xxfxxxxx 例7 讨论在点处的可导性例7 讨论在点处的可导性解解 显然，显然，f(x)在在R 连续连续(请同学们自己证明）请同学们自己证明）. , 1,3, 1,22x

17、xxxxf由推论有由推论有: ,limlim22111 xxffxx ,limlim331211 xxffxx .1,11点处不可导点处不可导在在所以所以因为因为 xxfff例例9 9.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设, 0)(上满足拉氏定理的条件上满足拉氏定理的条件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即注意：注意：拉格朗日定理在拉格朗日定理在证明不等式证明不等式中的应用。中的应用。 ,

18、f bf aa bfbaab 拉格朗日中值定理.则使得拉格朗日中值定理.则使得 10,fxC a ba bfx 例设函数在内例设函数在内 ,a f ab f b存在,联接与直线与曲线存在,联接与直线与曲线 ,.：yfxc f cacb相交于其中证明相交于其中证明 ,0.a bf 在内至少存在点使在内至少存在点使 ,a b证明将分成两个区间证明将分成两个区间 ,.a cc b与与 ,fxa cc b在与上分别在与上分别满足拉格朗日中值定理的条满足拉格朗日中值定理的条件.件.即习题8 ,;f cf aa cfca 1111使使 2,.f bf cc bfbc 2 2使使 ,ABf cf af bf

19、 cKcabc又因为又因为 12,.ff 所以所以罗尔定理罗尔定理的条件.的条件. fx 又在区间又在区间 12, a b 上满足上满足 12,0.a bf 使使五、五、柯西柯西( (Cauchy) )中值定理中值定理 满足条件满足条件、柯西中值定理：若函数柯西中值定理：若函数xgxf上上式式可可改改写写为为分分析析： 0 fagbggafbf即即要要证证导导函函数数方方程程 0 xfagbgxgafbf .,内有根内有根在在ba 上连续；上连续；在闭区间在闭区间ba,1 ；，均有，均有内可导，且内可导，且在开区间在开区间0,2 xgbaxba ., gfagbgafbfba，使得，使得则则证

20、证 xfagbgxgafbfxF 作辅助函数作辅助函数 bFafbgagbfaFbaDbaCxF ，且，且显然显然, 0, fagbggafbfFba，使得，使得由罗尔定理知，由罗尔定理知， fagbggafbf即即 0, xgbax，有，有又又 agbgg 且且，0 gfagbgafbf例例1111证证,)(2xxg 设设,1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内内至至少少存存在在一一点点在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0() 1 (2)(fff 即即( )0,1,(0,1),:f x设函数在上连续 在内可导 证明设函数

21、在上连续 在内可导 证明(0,1),( )2 (1)(0).fff 至少存在一点使至少存在一点使小结：小结：用用倒推法倒推法寻找思路。寻找思路。 . 0,. 9fbabaxf，使恒为常数，证明：不上满足罗尔定理条件且在若函数 不恒为常数不恒为常数上满足洛尔定理条件且上满足洛尔定理条件且在在证：证：baxf, ，、最小值、最小值上必有最大值上必有最大值在在mMbaxf, bfafmM、中至少有一个不等于中至少有一个不等于和和且且 MfbaafM11,，使，则若 11,aDaCxf aafffa11111,使，由拉格朗日定理：0 (习题) mfbaafm，使，则若, bDbCxf,22 bbfff

22、b22222,使，由拉格朗日定理：0 , f bf aa bfbaab 拉格朗日中值定理.则使得拉格朗日中值定理.则使得费马费马(1601 1665)法国数学家, 他是一位律师, 数学只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博览群书并善于思考, 在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的费马大定理:,2无整数解方程时当nnnzyxn至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的.拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)法国数学家.他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献, 近百余年来, 数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.柯西柯西(1789 1857)法国数学家, 他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积分在几何上的应用 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 .对数学的影他是经典分析的奠基人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,