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1、一、一、费马定理费马定理二、罗尔二、罗尔(Rolle)定理定理几何解释几何解释:注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,验证定理正确与否的命题，一定要验证两点：（1）定理的条件是否满足；（2）若条件满足，求出定理结论中的思考2.设且在内可导,证明至少存在一点使提示提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设现在我在我们把曲把曲线在平面内旋在平面内旋转一定角度一定角度注注拉格朗日拉格朗日 Lagrange(Lagrange(法法)1736-1813)1736-1813 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(
2、1)(2)使得使得二二、拉格朗日、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba;),(内可导内可导在开区间在开区间ba注注拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.微分中值定理微分中值定理（3）拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的）拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.平均值公式平均值公式不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；且且不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两
3、个都可说明问题.8）拉格朗日中值定理的条件缺一不可：）拉格朗日中值定理的条件缺一不可：AyxoBxxyoBA拉格朗日中值定理(1)在区间 a,b 上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路思路:利用逆向思逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数证明方法作作辅助函数助函数显然,在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,且证明明:问题转化为证由罗尔定理知至少存在即定理结论成立.132一点例例 1 证明若证明若f(x)在在a,b上可微，上可微，(a,b),使使证明证明:则至少存在一点则至少存在一点作辅助函数作辅助函数显显然然 f(x)在在 a,b上上满满足拉格朗日定理条件足拉格朗日定理条
4、件,有有 即即推论推论证:在I上任取两点由 的任意性知,在 I 上为常数.例2.证明等式明等式证:设由推论可知 (常数)令 x=0,得又故所证等式在定义域 上成立.自自证:经验:欲证时只需证在 I 上例3.证明不等式明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有柯西中值定理的柯西中值定理的 几何解释几何解释三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理例例8 8证证分析分析:结论可变形为结论可变形为故证例9.设至少存在一点使证:结论可变形为设则在 0,1 上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点 ,使即证明例11.试证至少存在一点至少存在一点使证:法法1 用柯西中值定理.则 f(
5、x),F(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令因此 即分析分析:例11.试证至少存在一点至少存在一点使法法2 令则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使因此存在例11.试证至少存在一点至少存在一点使法法3 令则 f(x)在在 1,e 连续四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.柯西(1789 1857)法国
6、数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书 7 本,思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可缺一不可.思考题解答思考题解答不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；且且不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.练练 习习 题题