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1、第5讲中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 推广推广5 5 微分中值定理的应用与技巧微分中值定理的应用与技巧51 基本概念、内容、定理、公式基本概念、内容、定理、公式一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理满足:(1)在区间 a,b 上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使证证:故在 a,b 上取得最大值 M 和最小值 m.若
2、 M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 M m,则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设 则至少存在一点使注意注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,则由费马引理得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示证明提示:设证 F(x)在 a,b 上满足罗尔定理.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(1)在区间 a,b 上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路思路:利用逆向思维逆向思维找出
3、一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,且证证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 证毕三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理分析分析:及(1)在闭区间 a,b 上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证柯西 目录 上页 下页 返回 结束 证证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考思考:柯西定理的下述证法对吗?两个 不一定相同错错!机动 目录 上页 下页 返回 结束 上面两式相比即得结论.为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十
4、九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理几个中值定理的关系几个中值定理的关系为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能证明中值定理的方法证明中值定理的方法辅助函数法直观分析逆向分析例如,证明拉格朗日定理:要构造满足罗尔定理条件的辅助函数.方法方法1.直观分析由图可知,设辅助函数(C 为任意常数)为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能方法方法2
5、.逆向分析逆向分析要证即证原函数法辅助函数为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能同样同样,柯西中值定理要证柯西中值定理要证即证原函数法设为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能*中值定理的条件是充分的中值定理的条件是充分的,但非必要但非必要.可适当减弱.因此例如,设在内可导,且则至少存在一点使证证:设辅助函数显然在上连续,在内可导,由罗尔定理可知,存在一点使即为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学
6、图书室育人功能*中值定理的统一表达式中值定理的统一表达式设都在上连续,且在内可导,证明至少存在一点使证证:按三阶行列式展开法有为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能利用逆向思维设辅助函数显然 F(x)在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且因此,由罗尔定理知至少存在一点使即为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能说明说明设都在上连续,且在内可导,证明至少存在一点使若取即为罗尔定理;若取即为拉格朗日中值定理;若取即为柯西中值定理;(自己验证)为深入学习习近
7、平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能中值定理的主要应用与解题方法中值定理的主要应用与解题方法 中值定理原函数的性质导函数的性质 反映反映反映反映中值定理的主要应用中值定理的主要应用(1)利用中值定理求极限(2)研究函数或导数的性质(3)证明恒等式(4)判定方程根的存在性和唯一性(5)证明有关中值问题的结论(6)证明不等式为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能解题方法解题方法:从结论入手,利用逆向分析法,选择有关中值定理及适当设辅助函数.(1)证明含一个中值的等式含
8、一个中值的等式或证根的存在根的存在,常用罗尔定理,此时可用原函数法设辅助函数.(2)若结论中涉及到含一个中值一个中值的两个不同函数两个不同函数,可考虑用柯西中值定理.注：（注：（1 1）几个中值定理中最重要几个中值定理中最重要、最常用的是、最常用的是:罗尔中值定理。罗尔中值定理。（2 2）应用中值定理的关键为：应用中值定理的关键为：如何构造合适的辅助函数？（难点、如何构造合适的辅助函数？（难点、重点）重点）为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能(3)若结论中含两个两个或两个以上中值两个以上中值,必须多次使用中值定理.(4)
9、若已知条件或结论中含高阶导数含高阶导数,多考虑用泰勒公式泰勒公式,有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理.(5)若结论为恒等式,先证变式导数为 0,再利用特殊点定常数.(6)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能构造辅助函数的方法构造辅助函数的方法(1)不定积分求积分常数法不定积分求积分常数法.为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育
10、大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例1.证明方程有且仅有一个小于1 的正实根.证证:1)存在性.则在 0,1 连续,且由介值定理知存在使即方程有小于 1
11、的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.2.例题选讲例题选讲为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例2.求证存在使设 可导，且在连续，证证：因此至少存在显然在 上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得机动 目录 上页 下页 返回 结束 辅助函数辅助函数如何想出来的？如何想出来的？为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例3.设函数在内可导,且证明在证证:取点再取异于
12、的点对在以为端点的区间上用拉氏中值定理得(界于 与 之间)令则对任意即在内有界.内有界.为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例4.设函数在上连续,在但当时内可导,且求证对任意自然数 n,必有使分析分析:在结论中换 为得积分积分因所以证证:设辅助函数显然在上满足罗尔定理条件,因此必有使即 不定积分不定积分求积分常数法求积分常数法!为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例5.设函数在上二阶可导,且证明至少存在一点使分析分析:在结论中将换为得积分积分证
13、证:设辅助函数因在上满足罗尔定理条件,所以存在使因此在上满足罗尔定理条件,故必存在使即有 不定积分不定积分求积分常数法求积分常数法!为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例6.设在上连续,在证明存在内可导,且使证证:方法方法1.因为所证结论左边为设辅助函数由于上满足拉氏中值定理条件,且易推出所证结论成立.在为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能方法方法2.令因此可考虑设辅助函数由于在上满足罗尔定理条件,故存在使由此可推得故所证结论成立.常数变易法常数
14、变易法为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能*例例7.设在上连续,在证明存在内可导,且使证证:转化为证设辅助函数由于它在满足拉氏中值定理条件,即证因此存在使为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能再对转化为证在上用拉氏中值定理,则存在使因此为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能*例例8.设在上连续,在试证对任意给定的正数内可导,且存在证证:转化为证因即由连续函数定理可知,存在使使因此
15、为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能对分别在上用拉氏中值定理,得即为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例10.设至少存在一点使证证:结论可变形为设则在 0,1 上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点 ,使即证明机动 目录 上页 下页 返回 结束 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例11.试证至少存在一点使证证:法法1 用柯西中值定理.则 f(x),F(x
16、)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令因此 即分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例11.试证至少存在一点使法法2 令则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使因此存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例12.当 时,试证证证:设当 时,在上满足拉氏中值定理条件,因此有解出,则时为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大
17、会精神,充分发挥中小学图书室育人功能又因及在单调递增,于是 说明说明:中值定理只告诉位于区间内的中值存在,一般不能确定其值,此例也只给出一个最好的上下界.为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能构造的辅助函数方法举例构造的辅助函数方法举例.迫切问题：迫切问题：上面例子中构造的辅助函数如何想出来的？上面例子中构造的辅助函数如何想出来的？作业：将上面例子中所构造的辅助函数作业：将上面例子中所构造的辅助函数自己全部练习构造一遍！自己全部练习构造一遍！为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,
18、充分发挥中小学图书室育人功能思考与练习思考与练习1.填空题填空题1)函数在区间 1,2 上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间机动 目录 上页 下页 返回 结束 上.方程为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能2.设且在内可导,证明至少存在一点使提示提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设机动 目录 上页 下页 返回 结束 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束