第18讲反比例函数.doc

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1、第18讲 反比例函数 本讲重点：反比例函数的概念、图象及其性质.【考点链接】1反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y （k为常数，k0）的形式，那么称y是x的反比例函数2. 反比例函数的图象和性质k的符号k0k0图像的大致位置oyxyxo经过象限第 象限第 象限性质在每一象限内y随x的增大而 在每一象限内y随x的增大而 3的几何含义：反比例函数y (k0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y (k0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为 . 【典例探究】考点1 反比例函数图像及性质例1 （1）（2012常德）对于函数，下列说法错误的

2、是 （ ） A. 它的图像分布在一、三象限 B. 它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 当x0时，y的值随x的增大而增大 D. 当x0的大小顺序. 这类问题也可根据反比例函数的性质求解.考点2 确定反比例函数解析式例2(1) （2012娄底）已知反比例函数的图象经过点（1，2），则它的解析式是（）Ay= B y=C y=D y= (2) （2012益阳）反比例函数的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是（1，k），则反比例函数的解析式是 （3）（2012兰州）近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为()A

3、y ByCyDy解析 （1）设反比例函数图象设解析式为y，将点（1，2）代入y得，k=12=2，则函数解析式为y=故选B（2）将（1，k）代入一次函数y=2x+1得，k=2+1=3；则反比例函数解析式为y=故答案为（3）设y，400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，k0.25400100，y故选C备考兵法确定反比例函数解析式的关键是利用待定系数法求出k的值.反比例函数中的常数k= xy，即k的值等于一对变量x，y的值的积，利用它求反比例函数中的比例系数k，快捷又方便. 考点3 综合应用例3(2012云南)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，1）、B（1，

4、2）两点，与x轴交于点C（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；（2）连接OA，求AOC的面积解析（1）设一次函数解析式为y1=kx+b（k0）；反比例函数解析式为y2=（a0），将A（2，1）、B（1，2）代入y1得到方程组，求出即可；将A（2，1）代入y2得出关于a的方程，求出即可；（2）求出C的坐标，根据三角形的面积公式求出即可解：（1）设一次函数解析式为y1=kx+b（k0）；反比例函数解析式为y2=（a0），将A（2，1）、B（1，2）代入y1得：，y1=x1；将A（2，1）代入y2得：a=2，；答：反比例函数的解析式是y2=，一次函数的解析式是y1=x1（2）y1=x1

5、，当y1=0时，x=1，C（1，0），OC=1，SAOC=11=答：AOC的面积为备考兵法本题考查了对一次函数与反比例函数的交点，三角形的面积，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式的应用，求两个函数图象的交点坐标，只要解由这两个函数解析式组成的方程组，方程组的一对解就是它们的交点坐标【当堂过关】1. （ 2012南充）矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系用图像表示大致为（ ）解析y=（x0），（y是x的反比例函数.答案C2. （2012无锡）若双曲线y=与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为1，则k的值为（）A1B1 C2 D 2解析将x=1代入直线y=2x+1得，y=

6、2+1=1，则交点坐标为（1，1），将（1，1）代入y=得，k=1（1）=1答案B3. （2012梅州）在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线的交点的个数为（）A0个B1个C2个D不能确定解析y=x+1的图象过一、二、三象限；函数的中，k0时，过一、三象限故有两个交点答案C4. (2012扬州)如图，双曲线y经过RtOMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA2AN，OAB的面积为5，则k的值是 解析过A点作ACx轴于点C，则ACNM，OACONM，OC：OMAC：NMOA：ON，而OA2AN，即OA：ON2：3，设A点坐标为(a，b)，则OCa，ACb，OMa，NMb，N点坐标为

7、(a，b)，点B的横坐标为a，设B点的纵坐标为y，点A与点B都在y图象上，kabay，yb，即B点坐标为(a，b)，OA2AN，OAB的面积为5，NAB的面积为，ONB的面积5，NBOM，即(bb)a，ab12，k12答案125. （2012衢州）如图，已知函数y=2x和函数的图象交于A、B两点，过点A作AEx轴于点E，若AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是 解析AOE的面积为4，函数的图象过一、三象限，k=8，函数y=2x和函数的图象交于A、B两点，A、B两点的坐标是：（2，4）（2，4），以点B、O、E、P为顶点的平行

8、四边形共有3个，满足条件的P点有3个，分别为P1（0，4），P2（4，4），P3（4，4）答案P1（0，4），P2（4，4），P3（4，4）6. （2012嘉兴）如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A（2，3）和点B，与x轴相交于点C（8，0）（1）求这两个函数的解析式；（2）当x取何值时，y1y2解：（1）把 A（2，3）代入y2=，得m=6把 A（2，3）、C（8，0）代入y1=kx+b，得，这两个函数的解析式为y1=x+4，y2=；（2）由题意得，解得，当x0 或 2x6 时，y1y27. （2012南昌）如图，等腰梯形ABCD放置在平面坐标系中，已知A（2

9、，0）、B（6，0）、D（0，3），反比例函数的图象经过点C（1）求点C的坐标和反比例函数的解析式；（2）将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后，问点B是否落在双曲线上？解：（1）过点C作CEAB于点E，四边形ABCD是等腰梯形，AD=BC，DO=CE，AODBEC，AO=BE=2，BO=6，DC=OE=4，C（4，3）；设反比例函数的解析式y=（k0），根据题意得：3=，解得k=12；反比例函数的解析式y=；（2）将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后得到梯形ABCD得点B（6，2），故当x=6时，y=2，即点B恰好落在双曲线上8. (2012兰州)如图，定义：若双曲线y (k0)与它的其中一条

10、对称轴yx相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y (k0)的对径 (1)求双曲线y的对径 (2)若双曲线y (k0)的对径是10，求k的值 (3)仿照上述定义，定义双曲线y (k0)的对径解：过A点作ACx轴于C. (1)解方程组，得，A点坐标为(1，1)，B点坐标为(1，1)，OCAC1，OAOC，AB2OA2，双曲线y的对径是2；(2)双曲线的对径为10，即AB10，OA5，OAOCAC，OCAC5，点A坐标为(5，5)，把A(5，5)代入双曲线y (k0)得k5525，即k的值为25；(3)若双曲线y (k0)与它的其中一条对称轴yx相交于A、B两点，则线段AB的长称为双曲线y (

11、k0)的对径【浙江两年中考】1. （2012台州）点（1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( ) Ay3y2y1 By2y3y1 Cy1y2y3 Dy1y3y2解析由点（1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数的图象上，得y1=6，y2=3，y3=2.根据有理数的大小关系，623，从而y1y3y2.答案D2. （2012衢州）试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式 解析位于二、四象限的反比例函数比例系数k0，据此写出一个函数解析式即可，如（答案不唯一）.答案（答案不唯一）3. （2012温州）如图，已知动点A在函数(x0)的图

12、象上，ABx轴于点B，ACy轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于 _.解析过点D作DGx轴于点G，过点E作EFy轴于点F.A在函数(xo)的图象上，设A（t，），则AD=AB=DG= ，AE=AC=EF=t.在RtADE中，由勾股定理，得.EFQDAE，QE：DE=EF：AD.QE=.ADEGPD，DE：PD=AE：DG.DP=.又QE：DP=4：9， .解得.图中阴影部分的面积=.答案4. （2012绍兴）如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右

13、平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n次（n1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 （用含n的代数式表示）解析与BC，AB平移后的对应边相交时，反比例函数解析式为,第n次（n1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为.与OC，AB平移后的对应边相交时，反比例函数解析式为.第n次（n1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：.综上所述，第n次（n1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为或.答

14、案或5. （2012台州）如图，正比例函数y=kx（x0）与反比例函数的图象交于点A（2，3）.（1）求k，m的值；（2）写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围解：（1）把（2，3）代入y=kx得：3=2k， k=.把（2，3）代入得：m=6.（2）x2.6.（2012义乌）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tanBOA=（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的解析式和n的值；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕

15、分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长解：（1）点E（4，n）在边AB上，OA=4，在RtAOB中，tanBOA=，AB=OAtanBOA=4=2.（2）由（1），可得点B的坐标为（4，2），点D为OB的中点，点D（2，1）.点D在反比例函数（k0）的图象上，解得k=2.反比例函数解析式为.又点E（4，n）在反比例函数图象上，.（3）设点F（a，2），反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，解得a=1.CF=1.连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2t，在RtCGF中，GF2=CF2+CG2，即t2=（2t）2+12，解得t=，OG=t=.【命题趋势提醒】反比例函数是数学中

16、重要内容之一，是中考的必考知识点，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的应用题.【迎考精炼】一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）1. （2012扬州）某反比例函数的图象经过点（-1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（ ） A. （-3,2） B. （3,2） C.（2，3） D.（6,1）解析此函数的比例系数是（1）6=6，四个选择的横纵坐标的积是6的就是符合题意的选项答案A2. （2012淮安模拟）如图，反比例函数的图象经过点A

17、(-1,-2).则当x1时，函数值y的取值范围是（ ）A.y1 B.0y1 C. y2 D.0 y2 解析由函数图象可知，x1时，2y0，当x1时，0y2答案D3. （2012南通）已知点A(1，y1)、B(2，y2)都在双曲线y上，且y1y2，则m的取值范围是（ ）Am0 Bm0 Cm Dm解析将A（1，y1），B（2，y2）两点分别代入双曲线y=3+2m x 得y1=2m3，y2=，y1y2，2m3 ，解得m.答案D4. （2012海南模拟）已知点A（2，3）在反比例函数y的图象上，则k的值是（）A7B7C5D5解析点A（2，3）在反比例函数y的图象上，k16解得k5答案D5. （2012

18、恩施州）已知直线y=kx（k0）与双曲线y=交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为（）A6B9C0D9解析点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线y=上的点,x1y1=x2y2=3，直线y=kx（k0）与双曲线y=交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，x1=x2，y1=y2，原式=x1y1x2y2=33=6答案A6.（2012本溪）反比例函数 的图象如图所示，若点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是这个函数图象上的三点，且x1x20x3，则y1、y2、y3的大小关系（ ）Ay3y1y2 By2y1y3 Cy3y2y1 Dy1y2y

19、3解析由反比例函数的增减性可知，当x0时，y随x的增大而增大，当x1x20时，则0y1y2，又C（x3，y3）在第二象限，y30，y2y1y3.答案B7. （2012福州）如图，过点C(1，2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线yx6于A、B两点，若反比例函数y(x0)的图像与ABC有公共点，则k的取值范围是（ ） A2k9 B2k8 C2k5 D5k8解析 点C(1，2)，BCy轴，ACx轴， 当x1时，y165， 当y2时，x62，解得x4， 点A、B的坐标分别为A(4，2)，B(1，5)，根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k122最小，设与线段AB相交于点(x，x6)

20、时k值最大，则kx(x6)x26x(x3)29， 1x4， 当x3时，k值最大，此时交点坐标为(3，3)，因此，k的取值范围是2k9答案A8. （2012德州）如图，两个反比例函数和的图象分别是l1和l2设点P在l1上，PCx轴，垂足为C，交l2于点A，PDy轴，垂足为D，交l2于点B，则PAB的面积为（）A3B4CD5解析点P在y=上，设P的坐标是（a，），PAx轴，A的横坐标是a，A在y=上，A的坐标是（a，），PBy轴，B的纵坐标是，B在y=上，代入得：，解得：x=2a，B的坐标是（2a，），PA=（）=，PB=a（2a）=3a，PAx轴，PBy轴，x轴y轴，PAPB，PAB的面积是：P

21、APB=3a=答案C9. （2012荆门）如图，点A是反比例函数y=（x0）的图象上任意一点，ABx轴交反比例函数y=的图象于点B，以AB为边作ABCD，其中C、D在x轴上，则SABCD为（）A 2 B 3 C 4 D 5解析设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b把y=b代入y=得，b=，则x=，即A的横坐标是，同理可得：B的横坐标是则AB=（）=则SABCD=b=5答案D10. （2012六盘水）如图为反比例函数在第一象限的图象，点A为此图象上的一动点，过点A分别作ABx轴和ACy轴，垂足分别为B，C则四边形OBAC周长的最小值为（）A4B3C2D1解析反比例函数在第一象限的图象，点A为此图象

22、上的一动点，过点A分别作ABx轴和ACy轴，垂足分别为B，C四边形OBAC为矩形，设宽BO=x，则AB=，则s=x+2=2，当且仅当x=，即x=1时，取等号故函数s=x+（x0）的最小值为2故2（x+）=22=4，则四边形OBAC周长的最小值为4答案A二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在横线上）11. （2012湘潭）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例（即），已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5m，则y与x之间的函数关系式是 解析k=0.5200=100，y=故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为y=答案y=12. （2012哈尔滨模拟）在反比例函

23、数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围 解析1m0，解得m1答案m113. （2012济宁）如图，是反比例函数y=的图象的一个分支，对于给出的下列说法：常数k的取值范围是k2；另一个分支在第三象限；在函数图象上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1a2时，则b1b2；在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1a2时，则b1b2；其中正确的是 （在横线上填出正确的序号）解析根据函数图象在第一象限可得k20，故k2，故正确；根据反比例函数的性质可得，另一个分支在第三象限，故正确；根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支

24、上y随x的增大而减小，A、B不一定在图象的同一支上，故错误；根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y随x的增大而减小，故在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1a2时，则b1b2正确.答案14. （2012兰州）如图，点A在双曲线y上，点B在双曲线y上，且ABx轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 .解析过A点作AEy轴，垂足为E，点A在双曲线y上，四边形AEOD的面积为1，点B在双曲线y上，且ABx轴，四边形BEOC的面积为3，四边形ABCD为矩形，则它的面积为312答案215. （2012深圳）如图，双曲线与O在第一

25、象限内交于P、Q 两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 解析O在第一象限关于y=x对称，也关于y=x对称，P点坐标是（1，3），Q点的坐标是（3，1），S阴影=13+13211=4.答案416. (2012兰州)如图，M为双曲线y上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线yxm于点D、C两点，若直线yxm与y轴交于点A，与x轴相交于点B，则ADBC的值为 解析作CEx轴于E，DFy轴于F，对于yxm，令x0，则ym；令y0，xm0，解得xm，A(0，m)，B(m，0)，OAB等腰直角三角形，ADF和CEB都是等腰直角三角形，设M的坐标为

26、(a，b)，则ab，CEb，DFa，ADDFa，BCCEb，ADBCab2ab2答案2三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17.（6分）（2012成都）如图，一次函数(为常数)的图象与反比例函数(为常数，且0)的图象交于A，B两点，且点A的坐标为(，4) （1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式； （2）求点B的坐标解：（1）两函数图象相交于点A（1，4），2（1）+b=4，=4， 解得b=2，k=4，反比例函数的表达式为y=，一次函数的表达式为y=2x+2；（2）联立，解得（舍去），所以，点B的坐标为（2，2）18.（8分）（2012烟台）如图，在

27、平面直角坐标系中，A，B两点的纵坐标分别为7和1，直线AB与y轴所夹锐角为60（1）求线段AB的长；（2）求经过A，B两点的反比例函数的解析式解：（1）分别过点A，B作ACx轴，BDAC，垂足分别为点C，D，由题意，知BAC=60，AD=71=6，AB=12；（2）设过A，B两点的反比例函数解析式为y=，A点坐标为（m，7），BD=ADtan60=6，B点坐标为（m+6，1），解得k=7，所求反比例函数的解析式为y=19.（8分）（2012泰安）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限的交点为C，CDx轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，AOB的面积为1（1

28、）求一次函数与反比例的解析式； （2）直接写出当时，的解集解：（1）OB=2，AOB的面积为1，B（2，0），OA=1，A（0，1）. ，.又OD=4，ODx轴，C（4，y），将代入得y=1，C（4，1），（2）当时，的解集是20.（8分）（2012资阳）已知：一次函数y=3x2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1（1）求该反比例函数的解析式；（2）将一次函数y=3x2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；（3）请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：函数的图象能由一次函数y=3x2的图象绕点（0，2）旋转一定角度得到；函数的图象与反比例函数的图象

29、没有公共点解：（1）把x=1代入y=3x2，得y=1，设反比例函数的解析式为，把x=1，y=1代入得，k=1，该反比例函数的解析式为；（2）平移后的图象对应的解析式为y=3x+2，解方程组，得 或平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为（，3）和（1，1）；（3）y=2x2（结论开放，常数项为2，一次项系数小于1的一次函数均可）21.（8分）（2012德阳）已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数的图象交于A、B两点已知当x1时，y1y2；当0x1时，y1y2（1）求一次函数的解析式；（2）已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求ABC的面积解：（1）当x1时，y1y2；当0x1时

30、，y1y2，点A的横坐标为1，代入反比例函数解析式，=y，解得y=6，点A的坐标为（1，6），又点A在一次函数图象上，1+m=6，解得m=5，一次函数的解析式为y1=x+5；（2）第一象限内点C到y轴的距离为3，点C的横坐标为3，y=2，点C的坐标为（3，2），过点C作CDx轴交直线AB于D，则点D的纵坐标为2，x+5=2，解得x=3，点D的坐标为（3，2），CD=3（3）=3+3=6，点A到CD的距离为62=4，联立，解得（舍去），点B的坐标为（6，1），点B到CD的距离为2（1）=2+1=3，SABC=SACD+SBCD=64+63=12+9=2122.（8分）（2012乐山）如图，直线y

31、=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数（x0）的图象交于点M，过M作MHx轴于点H，且tanAHO=2 （1）求k的值；（2）点N（a，1）是反比例函数（x0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2tanAHO=2，OH=1MHx轴，点M的横坐标为1点M在直线y=2x+2上，点M的纵坐标为4即M（1，4）点M在y=上，k=14=4 （2）存在点N（a，1）在反比例函数（x0）上，a=4即点N的坐标为（4，1）过点N作N关于x轴的对称点N1，连接MN1，交x轴于P此时PM+PN最小.N与N1关于x轴的对称，N点坐标为（4，1），N1的坐标为（4，1）设直线MN1的解析式为y=kx+b由解得k=，b=直线MN1的解析式为令y=0，得x=P点坐标为（，0）