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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流第16讲 反比例函数及其应用.精品文档.第16讲 反比例函数及其应用 一个人的贡献和他的自负严格地成反比，这似乎是品行上的一个公理。拉格朗日 知识方法扫描 如果两个变量y与z的关系可以表示成y=（k为常数，x0）的形式，那么称y是x的反比例函数 反比例函数y=的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线称为双曲线。 反比例函数有下列性质： 反比例函数y=的图象中两支曲线都与x轴、y轴不相交；并且当kO时，在第一、第三象限内，函数值随自变量取值的增大而减小；当k0时，在第二、第四象限内，函数值随自变量取值的增大而增大经典例题解析例1（2006年广东省初
2、中数学竞赛）如果函数的图象是双曲线，而且在第二、四象限，那么k等于（ ）(A) (B) 1 (C) (D) 1解由题意，得2k2+k-2 = -1，于是2k2+k-1=0， 因式分解得（k+1）(2k-1)=0, 所以或又双曲线的两支在第二、四象限内，k0，所以 ，选（B）.例2（2004年全国数学竞赛辽宁省预赛）如图，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P做x轴的垂线PQ交双曲线于点Q，连结OQ，当点P向右运动时，RtQOP的面积（ ）A逐渐增大 B逐渐减小 C保持不变 D无法确定解 设Q点坐标为（x,y），则由于Q点在双曲线上，可得xy=1.因此，即RtQOP的面积不随P的运动而改变。故选C
3、。例3(2000年黄石市初中数学应用能力测试试题)某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.550.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)元成反比例，又当x=0.65时，y=0.8。(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?收益=用电量(实际电价-成本价)解 (1) 设y=.当x=0.65时，y=0.8，k=0.2. y=.(2) 根据题意，得（1+）(x-0.3)=1(0.8-0.3) (1+2%).解得x1=0.5，x2=0.6.经检验均
4、是方程的解，但x的取值在0.550.75之间，只取x=0.6.例4如图所示, 己知反比例函数(k0)的图象经过点A(, m)过点A作ABx 轴于点B, 且AOB的面积为. (1)求k和m的值；(2)若一次函数y=ax1和图象经过点A,并且与x轴相交于点C,求AO：AC的值. 解 （1）k0, OB=|=, AB=m.SAOB=OBAB=m=,m=2. 点A的坐标为A（-，2）。把A（-，2）的坐标代入中，得，。令y=0，得=0，x=.点C的坐标为C（，0）。ABx轴于点B，ABC为直角三角形。在RtABC中，AC2=AB2+BC2=22+（2）2， AC=4 在RtABO中，由勾股定理，得AO
5、 =， AO：AC = 例5（2006年第18届希望杯数学邀请赛试题）某医药研究所开发一种新药成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时，治疗有效则服药一次治疗疾病有效的时间为( )(A) 16小时 (B) 小时 (C) 小时 (D) 17小时 解 函数y=kt经过(1，4)点，所以k=4，于是y=kt，即 y=4t又(1，4)点在反比例函数上，所以 m=4，于是即依题意可知，当每毫升血液中的含药量达到0. 25毫克时，治疗才有效由y=4t，得由此开始，到含药量少于0. 25毫克时，药
6、效停止，含药量不少于0.25毫克，即当时，得 t16所以服药一次治疗疾病有效的时间为（小时）。故选(C)例6某单位为响应政发出的全民健身的号召, 打算在长和宽分别为20米和11米和矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD, 该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁的费用为20元/平方米. 新建(含装修)墙壁的费用为80元/平方米, 设健身房的高为3米, 一面旧墙壁AB的长为x米, 修建健身房墙壁的总投入为y元. (1)求y与x的函数关系式；(2)为了合理利用大厅, 要求自变量x必须满足条件：8x12. 当投入的资金为4800元, 问利用旧墙壁的总长为多少米？解 （1）根据题意，AB=
7、x, ABBC=60, 所以，y=203(2)当y=4800时有4800=，整理得x2-16x+60=0, 解得x1=6, x2=10. 经检验，x1=6, x2=10。都是原方程的根。由8x12，只取x=10.故可以利用旧墙壁的总长度为10+米。例7如图，正方形OABC，ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上，点F在AB上，点B、E在函数y=(xO)的图象上，则点E的坐标是( )解 显然，B点的坐标为（1，1）， 设AD=DE=a,则E（1+a, a）， (1+a)a=1, a2+a+=, 即 (a+)2=, a+=,于是 a=，a+1=,点E的坐标是. 选A。例8(2007年全国初中数学竞赛试
8、题)如图, 点A，C都在函数的图象上，点B，D都在轴上，且使得OAB，BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 解 如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F设OEa，BFb， 则AE，CF，所以，点A，C的坐标为（，），（2b，），所以 解得因此，点D的坐标为（，0）同步训练一 选择题1如果两点，都在反比例函数的图象上，那么( )(A) (B) (C) (D) 2（2007年全国初中数学联赛浙江省预赛试题）函数的图像大致形状是图中的（ ）3如图是三个反比例函数 、在x轴上方的图象，那么k1,k2,k3的大小关系是( )(A) k1k2k3 (B) k2k3k1 (C) k3k2k1 (D
9、) k3k1k24函数y=kx+k与y= 在同一坐标系中的图象的大体位置是( )5（2007年四川省初中数学联赛初二初赛试题）函数y=2x与y的图象交于A，B两点（其中，A在第一象限），过A作AC垂直于x轴,垂足为C， 则ABC的面积等于（ ）（A） 6 （B） 9 （C） 12 （D）18 二 填空题6如果函数 是y关于x的反比例函数，那么m的值是 。7如图均是等腰直角三角形，点P、Q在函数的图象上，直角顶点A、B均在x轴上，则点B的坐标为 8（2007年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题） 若反比例函数y= 的图像与一次函数y=ax +b的图像交于点A(一2，m)、B(5，n)，则3a+b的
10、值等于 9在银行存款准备金不变的情况下, 银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系, 当存款准备金率为7.5%时, 某银行可贷款总量为400亿元, 如果存款准备金率上调到8%时, 该银行可贷款总量将减少 亿元。10（2004年全国初中竞赛湖北预赛试题）如果一次函数y=mx+n与反比例函数的图象相交于点，那么该直线与双曲线的另一个交点为 。三 解答题11如图，已知点(1,3)在函数的图象上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数又经过A,E两点，点E的横坐标为m.（1）求k值；（2）求点C的横坐标（用m表示）；（3）当ABD=45时，求m的值。12如图所示, 己知直线y1=x
11、m与x轴、y轴分 别交于点A、B, 与双曲线(xy2.13 为了预防“非典”，其学校对教室采用药熏消毒法进行消毒已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图所示）现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，y天于x的函数关系式为：_，自变量x的取值范围是： ；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为：_； (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于16毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，学生才能回到教室； (3)研究表明，当空气中每立
12、方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？14直线y=x+m 与双曲线y= 在第一象限相交点A，ABx轴，垂足为B，SAOB=3. 求m的值 ； 设直线y=x+m与x轴交于点C，求点C的坐标；求SABC.15“三等分角”是数学史上一个著名问题, 但仅用尺规不可能“三等分角”, 下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法(如图所示)：将给定的锐角AOB置于直角坐标系中, 边OB在x轴上、边OA与函数的图象交于点R, 分别过点P和R作x轴和y轴的平行线, 两直线相交于点M, 连结OM得到MOB, 则MOB=AOB, 要
13、明白帕普斯方法, 请研究以下问题；(1)设, 求直线OM对应的函数表达式(用含a, b的代数式表示. )(2)分别过点P和R作y轴和x轴的平行线, 两直线相交于点Q, 请说明Q点在直线OM上, 并据此证明MOB=AOB. (3)应用上述方法得到的结论, 你如何三等分一个钝角(用文字简要说明)同步训练题参考答案1. D2D 当x0时，y=-图像在第四象限；当x0,那么y=kx+k中，当k0时，直线上升且在y轴上的截距为正.所以选(D)；5D联立方程组 解得A(3,6), B(-3,-6), 故C(3,0)， 所以SABC=6（3-（-3）=186-27. 80因为点A(一2，m)、B(5，n)在
14、反比例函数的图像上，得，又因为点A(一2，m)、B(5，n)在正比例函数y=ax+b的图像上，得 得 ， 解得 b = -3a , 所以3a+b=0935010 是y=mx+n与的图象的交点， ,解得 则两个函数的表达式为再解方程组 得 即直线与双曲线的另一个交点是11 (1) 3; (2); (3)12. （1）点C（-1，2）在直线y=x+m上， 2=-1+m，m=3，则直线AB的解析式为y=x+3.又点C（-1，2）在双曲线 y2=上，k=-2.双曲线的解析式为y=.（2）由 解得 D点的坐标为（-2，1）。（3）根据图象可得：当-2xy2.13. (1) (2) 30；(3)此次消毒有
15、效，因把y=3分别代入求得x=4和16，而16-4=1210，即空气中的含药量不低于3毫克/m3的持续时间为12分钟，大于10分钟的有效消毒时间.14设A坐标为(x, x+m). SAOB=OBBA. 整理得 m=6 直线与x 轴交于点C.把y=0 代入y=x+6 得x=6, 点C的坐标是(6，0)直线y=x+m 与双曲线y= 在第一象限相交点A，解方程组，得 即点A的坐标是(3+，3+).BC=3+ SABC=(3+)(3+)=12+3.15（1）设直线OM的函数关系式为y=kx, Rk=。直线OM的函数关系式为y=(2)Q的坐标为满足y=Q是直线OM上。四边形PQRM是矩形，SP=SQ=SM=PR。SQR=PSO。PR=2OP，PS=OP= PR，POS=PSO。PSQ是SQR的外角，POS=2SQR。QROB，SOB=SQR，POS=2SOB。SOB=AOB。（3）方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可。方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形（或其他方法）将其三等分即可。