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1、二维随机变量及其联合分布 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望3.1 二维随机变量及其联合分布二维随机变量及其联合分布一、二维随机变量的概念一、二维随机变量的概念 在射击时，弹着点是目标上的一个位置，在射击时，弹着点是目标上的一个位置，它与横坐标和纵坐标有关，弹着点受两个它与横坐标和纵坐标有关，弹着点受两个变量的影响变量的影响.在工程结构设计中，出于可靠在工程结构设计中，出于可靠性的考虑，需要考察构件的抗拉力与荷载性的考虑，需要考察构件的抗拉力与荷载效应
2、，可靠性也受着两个变量的影响效应，可靠性也受着两个变量的影响 与一维随机变量类似，一般地我们可定与一维随机变量类似，一般地我们可定义二维随机变量如下：义二维随机变量如下：定义定义3.1 设是一个随机试验，设是一个随机试验，和和 是定义在其样本空间是定义在其样本空间 上的随机变量，上的随机变量，由它们构成的向量，由它们构成的向量 称为定义在样称为定义在样本空间本空间 上的上的二维随机变量二维随机变量或或二维随机向二维随机向量量，简记为，简记为 、依次称为二依次称为二维随机变量维随机变量 的第的第1个分量（或坐标）、个分量（或坐标）、第二个分量（或坐标）第二个分量（或坐标）一般地，设是一个随机试验
3、，一般地，设是一个随机试验，是定义在其样本空间是定义在其样本空间 上上 n n维随机变量维随机变量或或n n维随机向量维随机向量，简记为，简记为 ，称为第称为第 个分量（或坐标），个分量（或坐标），.二、二维随机变量的联合分布二、二维随机变量的联合分布 在研究随机向量的概率特征时，除每个在研究随机向量的概率特征时，除每个随机变量的概率特征外，还要研究它们的随机变量的概率特征外，还要研究它们的联合概率特征：后者可以完全决定前者，联合概率特征：后者可以完全决定前者，但是前者一般不能完全决定后者因此，但是前者一般不能完全决定后者因此，只研究单个随机变量的分布是不够的，还只研究单个随机变量的分布是不够
4、的，还必须研究随机向量作为一个整体的联合分必须研究随机向量作为一个整体的联合分布布 对于二维随机变量，对于二维随机变量，作为整体的作为整体的分布称为二维随机变量分布称为二维随机变量 的的联合分布联合分布（Joint Distribution）与一维情形类似，为）与一维情形类似，为了研究二维随机变量的联合分布，我们引了研究二维随机变量的联合分布，我们引入二维随机变量的分布函数的概念入二维随机变量的分布函数的概念定义定义3.2 设设 是定义在样本空间是定义在样本空间 上上的二维随机变量，对于任意的实数的二维随机变量，对于任意的实数 ，称函数称函数 （31）为二维随机变量为二维随机变量 的的联合分布
5、函数联合分布函数（Joint Distribution Function），简称），简称 的的分布函数分布函数以后以后,将（将（31）中的表达式简记为）中的表达式简记为 显然，分布函数显然，分布函数 在在平面上任意点平面上任意点 处的函数值就是随机处的函数值就是随机点点 落在点落在点 左下方的整个无穷区域内左下方的整个无穷区域内的概率，如图的概率，如图3.1所示所示o图3.1联合分布函数具有下列性质联合分布函数具有下列性质由定义由定义3.2和图和图3.2易知，易知，对任意的对任意的（），有），有1.（32）从而从而,0（33）（x2，y2）（x1，y2）（x2，y1）（x1，y1）图3.2o2
6、.是和的单调非降函数；（证略）是和的单调非降函数；（证略）3.对于平面上的任意点对于平面上的任意点 ，；且对任意固定的且对任意固定的 ，对任意固定的对任意固定的 ，,（34）这可借助于几何直观进行说明这可借助于几何直观进行说明 4.关于关于 和和 均右连续，即均右连续，即 ,三、三、二维离散型随机变量及其联合分布律二维离散型随机变量及其联合分布律 与一维随机变量的情形类似，我们这里与一维随机变量的情形类似，我们这里讨论的也是离散型和连续型这两种类型的讨论的也是离散型和连续型这两种类型的二维随机变量二维随机变量定义定义3.3 若二维随机变量若二维随机变量 的所有可能取的所有可能取值只有有限或可列
7、无限个，则称值只有有限或可列无限个，则称 为为二二维离散型随机变量维离散型随机变量 显然，若显然，若 是二维离散型随机变量，是二维离散型随机变量，则其分量则其分量 和和 都是一维离散型随机变量都是一维离散型随机变量.通常通常,我们用联合概率分布律（列）我们用联合概率分布律（列）定义定义3.4 设设 是二维离散型随机变量，它是二维离散型随机变量，它所有可能的取值为所有可能的取值为 ,，则称则称 （35）为为 的的联合分布律（列）联合分布律（列）或或联合概率分布联合概率分布(Joint Probability Distribution)，简称，简称分布分布律律分布律一般用表格形式表示分布律一般用表
8、格形式表示:（36）显然，二维离散型随机变量的分布列显然，二维离散型随机变量的分布列 满足：满足：1.（非负性）（非负性）2.（规范性）（规范性）（37）其其联合分布函数联合分布函数为为 （38）四、二维连续型随机变量及联合概率密四、二维连续型随机变量及联合概率密 度函数度函数与一维情形类似，我们有如下定义：与一维情形类似，我们有如下定义：1.定义定义3.5 设二维随机变量设二维随机变量 的分布函的分布函数数 为，若存在非负可积函数，为，若存在非负可积函数，使得对于任意实数使得对于任意实数 和和 ，有，有 （39）则称则称 为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量，称称为为 的的联合概率密度函
9、数联合概率密度函数（Joint Probability Density Function），），简称的简称的概率密度概率密度 类似地，的联合概率密度函数具有性质（证类似地，的联合概率密度函数具有性质（证略）：略）：（1）（非负性）（非负性）；（2）（规范性）（规范性）；（；（310）（3）对于平面上任意可积的区域对于平面上任意可积的区域 有有 ；（；（311）（4）若除可数点外若除可数点外 的二阶混合偏导的二阶混合偏导数处处连续数处处连续,则则 (3-12)是是 的一个联合概率密度函数的一个联合概率密度函数 由性质（由性质（3）知：在几何上）知：在几何上 ，表示空，表示空间的一个曲面，间的一个曲面，的值等于以的值等于以 为为底、以曲面底、以曲面 为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积 设设 是平面上的某个区域，其面积为是平面上的某个区域，其面积为 ，若，若(X,Y)的概率密度函数的概率密度函数 （313）则称则称 服从区域服从区域 上的上的均匀分布均匀分布，记为，记为若的概率密度函数为若的概率密度函数为其中其中 均为常数，均为常数，则称，则称 服从参数为（服从参数为（）的）的二二维正态分布维正态分布，记为，记为