二维随机变量及联合分布.pptx

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1、二维随机变量及联合分布设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S=e，设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机向量，或二维随机变量。SeX(e)Y(e)1 二 维 随 机 变 量定义定义返回主目录注注 意意 事事 项项维随机向量；二维随机变量也称为二我们应把二维随机变量 SeeYeXYX，系的；之间是有联与看作一个整体，因为YX作平面上的随机点可看，量在几何上，二维随机变YX1 二 维 随 机 变 量返回主目录二维随机变量的例子二维随机变量的例子身体状况，令考察某地区成年男子的高；：该地区成年男子的身X就是一个二维随机变

2、量，则YX：对一目标进行射击，令重：该地区成年男子的体Y距离；：弹着点与目标的水平X距离；：弹着点与目标的垂直Y就是一个二维随机变量，则YX1 二 维 随 机 变 量返回主目录. .二维随机变量的例子二维随机变量的例子，令：考察某地区的气候状况：该地区的温度；X就是一个二维随机变量，则YX，令：考察某钢厂钢材的质量：该地区的湿度Y：钢材的含碳量；X：钢材的含硫量；Y就是一个二维随机变量，则YX1 二 维 随 机 变 量返回主目录，实数则对于任意一对是一个二维随机变量，设yxYX.的分布函数，变量为二维随机的函数我们称此函数，是YXyxyYxXPyxF，1 二 维 随 机 变 量定定 义义返回主

3、目录. .二元分布函数的几何意义二元分布函数的几何意义概率点的无穷矩形中的为右上顶，落在以，点表示平面上的随机，意义是：二元分布函数的几何yxYXyxFyo(x, y)(X, Y )1 二 维 随 机 变 量返回主目录一个重要的公式一个重要的公式，设：2121yyxx则2121yXyxXxP，1222yxFyxF，1121yxFyxF，yxox1x2y1y2(X, Y )(x2 , y2)(x2 , y1)(x1 , y2)(x1 , y1)1 二 维 随 机 变 量. .分布函数具有以下的基本性质： F (x , y )是变量 x , y 的不减函数，即对于任意固定的 y , 当 x1 x2

4、时，对于任意固定的 x , 当 y10, 则称, 2 , 1,|ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布律。第三章 随机变量及其分布3条件分布条件分布律具有分布律的以下特性： 10 P X= xi |Y= yj 0；1110. 11|2ijjiiijjjijjippppppyYxXP返回主目录来自.中国最大的资料库下载同样对于固定的 i, 若PX= xi0, 则称, 2 , 1,|jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij为在 X= xi 条件下随机变量Y 的条件分布律。第三章 随机变量及其分布3条件分布一射手进行射击，击中目标的概率

5、为 p，射击到击中目标两次为止。设以 X 表示首次击 中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次数，试求 X 和 Y 的联合分布律以及条件分布律。 例例 1并且，的取值是；，的取值是YXXY21432解解：返回主目录来自.中国最大的资料库下载, 2 , 1,1,1121221221mpqqqpqpqpnYmXPmXPmmmnnmnnmn第三章 随机变量及其分布3条件分布nYmXP，次，并且共射击次射击时首次击中目标第nmP标次射击时第二次命中目，且第次射击时首次击中目标第nmP由独立性，可得pq1其中1213, 2nmn，；，pqpqnYmXPmnm11，22pqn的边缘分布律为X

6、的联合分布律为YX,来自.中国最大的资料库下载, 3 , 2,) 1(,22112211nqpnqpnYmXPnYPnnmnnm在Y=n 条件下随机变量 X 的条件分布律为; 1, 2 , 1,11) 1(|2222nmnqpnqpnYmXPnn当 n=2,3, 时，第三章 随机变量及其分布3条件分布的边缘分布律为Y1213, 2nmn，；，pqpqnYmXPmnm11，22pqn返回主目录来自.中国最大的资料库下载, 2, 1,|1122mmnpqpqqpmXPnYmXPmXnYPmnmn在 X= m 条件下随机变量Y 的条件分布律为当m=1,2,3, 时，第三章 随机变量及其分布3条件分布

7、1213, 2nmn，；，pqpqnYmXPmnm11，22pqn返回主目录来自.中国最大的资料库下载二、条件分布函数设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量，由于 PX= xi=0, PY= yj =0, 不能直接代入条件概率公式，我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概念。定义：定义：给定 y，设对于任意固定的正数 ， Py-0, 若对于任意实数 x，极限,lim|lim00yYyPyYyxXPyYyxXP存在，则称为在条件Y= y下X的条件分布函数，写成 P X x |Y= y ，或记为 FX|Y(x|y).第三章 随机变量及其分布3条件分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载第三章

8、随机变量及其分布3条件分布)(),()(),(2/)()(lim2/),(),(lim)()(),(),(lim,lim)|(0000|yfdudvvufyyFdydyyxFyFyFyxFyxFyFyFyxFyxFyYyPyYyxXPyxFYyxYYYYYYX ,)(),(yfduyufYx返回主目录来自.中国最大的资料库下载,)(),()|(|yfduyufyxFYxYX,)(),()|(|xYYXduyfyufyxF.)(),()|(|yfyxfyxfYYX第三章 随机变量及其分布3条件分布称为在条件Y= y下X的条件分布函数，数。的条件下的条件密度函在称为随机变量yYX来自.中国最大的资

9、料库下载三、连续型随机变量的条件密度函数，其联合密度函数为是二维连续型随机变量，设YX的边缘密度函数为：又随机变量 Xyxf， dyyxfxfX，的边缘密度函数为：随机变量Y dxyxfyfY，第三章 随机变量及其分布3条件分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载 为条件下的条件密度函数的在时，可得随机变量当xXYxfX 0 为条件下的条件密度函数的在时，可得随机变量则当yYXyfY 0 yfyxfyxfYYX， xfyxfxyfXXY，第三章 随机变量及其分布3条件分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载条件密度函数的性质也有类似的性质对于条件密度函数xyfXY0yxfYX，有对任意的性质x

10、1dxyxfYX性质是密度函数简言之，yxfYX第三章 随机变量及其分布3条件分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 2解：服从圆域：，设二维随机变量YX122 yx件密度函数上的均匀分布，试求条yxfYX的联合密度函数为，二维随机变量YX其它，01122yxyxf第三章 随机变量及其分布3条件分布xy122 yx返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 2（续）的密度函数为所以，随机变量Y时，由此得，当11y dxyxfyfY，22111yydx212y 其它011122yyyfY 0yfY第三章 随机变量及其分布3条件分布xy122 yx时，由此得，当11y返回主目录来自.中国最大的资料

11、库下载例 2（续）时，因此当11y yfyxfyxfYYX，2121y2121y所以，其它011121222yxyyyxfYX上的均匀分布下的条件分布是区间在时，即当221111yyyYXy第三章 随机变量及其分布3条件分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 3服从二元正态分布：，设二维随机变量YX的联合密度函数为，则YXrNYX，22212122222121212122212121exp121yyxrxrryxf，第三章 随机变量及其分布3条件分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 3（续）的边缘密度函数为又随机变量Y yeyfyY22222221 ，因此，对任意的0yfyY，有所以

12、，对任意的 y第三章 随机变量及其分布3条件分布xyrxr22211221121exp yfyxfyxfYYX，221121r返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 3（续）分布：的条件分布是一元正态这表明，二元正态分布22122111ryrN，第三章 随机变量及其分布3条件分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 4解：函数的密度机变量上的均匀分布试求随，间的条件下服从区在时，随机变量上的均匀分布，当，服从区间设随机变量YxxXYxX11010的密度函数为随机变量 X 其它0101xxfX第三章 随机变量及其分布3条件分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 4（续）其它0111yxxx

13、yfXY下的条件密度函数为在条件时，随机变量又由题设，知当xXYx10所以，由公式 xfyxfxyfXXY，第三章 随机变量及其分布3条件分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载时，所以，当10 y其它01011yxx xyfxfyxfXYX， dxyxfyfY，ydxx011y1ln的密度函数为所以，随机变量Y 其它0101lnyyyfY第三章 随机变量及其分布3条件分布例 4（续）xy011返回主目录来自.中国最大的资料库下载第三章 随机变量及其分布3条件分布例 5的概率密度为设随机变量),(YX., 0, 10,| , 1),(其它xxyyxf;)|(),|()2(;)(),(1|xyf

14、yxfyfxfXYYXYX）（试求：.0|21) 3(YXP解：. , 0, 10,2),()() 1 (其它xxXxxdydyyxfxfxy01xy xy返回主目录来自.中国最大的资料库下载第三章 随机变量及其分布3条件分布. , 0, 01,1, 10,1),()(11其它yyYyydxyydxdxyxfyf. , 01|,|1其它yy其它。当, 01|,|11)(),()|(, 1|)2(|xyyyfyxfyxfyYYX例 5（续）xy01xy xy返回主目录来自.中国最大的资料库下载第三章 随机变量及其分布3条件分布其它。当, 0|,21)(),()|(, 10|xyxxfyxfyxf

15、xXXY431121221)211 (00,210|21).3(YPYXPYXP例 5（续）21xxy01xy xy返回主目录来自.中国最大的资料库下载随机变量的独立性 是相互独立的随机变量，则称，有，的如果对于任意的分布函数为随机变量，的分布函数为，又随机变量，合分布函数为是二维随机变量，其联，设YXyFxFyxFyxyFYxFXyxFYXYXYX第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载说 明yYxXPyxF，由于 yYPyFxXPxFYX，以及：相互独立，实际上是指与可知，随机变量YX相互独立与，随机事件，对于任意的yYxXyx第三章 随机变量及其分布

16、4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载说 明相互独立，则由与如果随机变量YX yFxFyxFYX，可知， 唯一确定与可由其边缘分布函数，函数的联合分布，二维随机变量yFxFyxFYXYX第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 1解：的联合分布函数为，设二维随机变量YX10arctan25arctan212yxyxF，yx，是否相互独立？与试判断YX的边缘分布函数为X第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 1（续）10arctan25arctan21lim2yxy5arctan21x，x yxFx

17、FyX， lim的边缘分布函数为Y yxFyFxY， lim10arctan25arctan21lim2yxx第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 1（续），y10arctan21y，有，所以，对于任意的实数yx10arctan25arctan212yxyxF， 10arctan215arctan21yx yFxFYX是相互独立的随机变量与所以YX第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载离散型随机变量的独立性，其联合分布律为是二维离散型随机变量，设YXjiijyYxXPp，的分布律为又随机变量 X，21jiiix

18、XPp， 21i的分布律为随机变量YjjyYPp， 21jji，如果对于任意的jiijppp是相互独立的随机变量，则称YX第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 2的联合分布律为，设二维离散型随机变量YX Y X12316191181231相互独立与使得随机变量，试确定常数YX解：的边缘分布律为与由表，可得随机变量YX第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 2（续） Y X123 ip161911813123131jp2191181相互独立，则有与如果随机变量YXjiijppp32121，；，ji由此得第三章

19、随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 2（续）2191YXP，；由此得92又由31181YXP，由此得919131 21YPXP18131 31YPXP分布律为时，联合分布律及边缘，而当9192第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 2（续） Y X123 ip1619118131231929132jp213161可以验证，此时有jiijppp32121，；，ji相互独立与时，因此当YX9192第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 3的三个盒子中，编号为将两个球等可能地放入

20、321是否相互独立？与试判断随机变量YX；，的可能取值为210X解：号盒中的球数；：放入令：1X号盒中的球数：放入2Y，的可能取值为210Y布律为的联合分布律及边缘分与知由YX3.1第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 3（续） Y X012 ip091929194192920942910091jp949491021YXP， 919421YPXP不独立与随机变量YX第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载连续型随机变量的独立性，数为，其联合密度函是二维连续型随机变量，设yxfYX是相互独立的随机变量，则称YX须成

21、立必，的所有连续点，特别地，上式对yxyxf第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性 ，的边缘密度函数为又随机变量xfXX有，如果对于几乎所有的yx yfxfyxfYX， ，缘密度函数为yfY的边随机变量Y返回主目录来自.中国最大的资料库下载说 明”是指：，有的这里所谓的“对几乎所yx那些使得等式 yfxfyxfYX，所成集合的“面积”为，不成立的全体点0yx第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 4的密度函数为，设二维随机变量YX其它，02010312yxxyxyxf是否相互独立？与试判断随机变量YX解：时，当10 x dyyxfxfX，20231

22、dyxyxxx3222第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 4（续）的密度函数为所以，随机变量 X 其它0103222xxxxfX时，当20 y dxyxfyfY，10231dxxyxy6131的密度函数为所以，随机变量Y第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 4（续） 其它0206131yyyfY yfxfyxfYX，不独立与所以，随机变量YX时，由于当2010yx第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性其它，02010312yxxyxyxf 其它0103222xxxxfX返回主目录来自.中国最大的资料库

23、下载例 5分钟以内的概率待分布试求先到者需等时的均匀时到下午从中午是相互独立的，且均服时间相会，假定每人的到达甲、乙两人约定在某地10112解：分到达，时设甲于X12上的均匀分布，间相互独立，且都服从区与则随机变量600YX分到达时设乙于Y12的联合密度函数为，所以，YX第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 5（续）其它，060060036001yxyxf分钟先到者等待时间不超过设：10A则有，10YXA中直线满足上述条件的点为图10 yx与直线10 yx之间的部分第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性Ox10601060y10 yx10 yx返

24、回主目录来自.中国最大的资料库下载例 5（续）所以，所求概率为 10YXPAP10yxdxdyyxf，3600505036003611第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性Ox10601060y10 yx10 yx返回主目录来自.中国最大的资料库下载例6（Buffon投针问题）a行直线相交的概率平的针，试求该针与任一一根长度为线，向此平面上任意投的一些平行平面上画有等距离为aLLaXL解：平行线的距离；：针的中心到最近一条设：X所在投影线的夹角：针与 X第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 6（续）的联合密度函数为，所以二维随机变量X其它，020

25、204yaxayxf上的均匀分布；，服从区间则随机变量20aX相互独立与并且随机变量X上的均匀分布；，服从区间随机变量20第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 6（续）针与任一直线相交设：A所以，2sinLXA则 sin2LXPAPyLxdxdyyxfsin2，yLdxadysin2004220sin24dyyLaaL2sin2LX第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载说 明由本题的答案 aLAP2的近似计算公式：我们有圆周率的近似值代入上式，得作为次与平行线相交，则以次，其中有若我们投针)(APNnnN AP

26、aL12nNaL2第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载说 明）：折算为（其中把一些有关资料过此项实验，下表就是历史上，确有些学者做1a实实验验者者年年 份份针针 长长投投掷掷次次数数相相交交次次数数的的近近似似值值Wolf18500.8500025323.1596Smith18550.632041218.53.1554De Morgan18601.0600382.53.137Fox18840.7510304893.1595Lazzerini19010.83340818083.1415929Reina19250.541925208593.1759第三章

27、随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载说 明来就是：种概率方法，它概括起上述的计算方法就是一）有关（如上面的常数些量，它与我们感兴趣的某首先建立一个概率模型来确定这些量结果验，并通过这个试验的然后设计适当的随机试方法类新的计算方法起一展，已按上述思路建立现在，随着计算机的发CarloMonte 第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 7（正态随机变量的独立性）rNYX，设二维随机变量22212122222121212122212121exp121yyxrxrryxf，的联合密度函数为，则YX的边缘密度函数为又随机变量 X

28、 xexfxX21212121第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 7（续）222221212121exp21yxyxf，的联合密度函数为，时，所以，当YXr0 yeyfyY22222221的边缘密度函数为随机变量Y yfxfYX相互独立；与这表明，随机变量YX第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 7（续）特别地，我们有，有，实数相互独立，则对任意的与反之，如果随机变量yxYX yfxfyxfYX，即，2121YXfff，212212121121r第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中

29、国最大的资料库下载例 7（续）由此得，0r重要结论：综上所述，我们有以下：件为相互独立的充分必要条，二元正态随机变量rN2221210r第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性返回主目录来自.中国最大的资料库下载n维随机变量的独立性 是相互独立的随机变量，则称，有，维实数组对于任意的如果，的分布函数为，又随机变量，分布函数为维随机变量，其联合是，设nnXXXnniXinnXXXxFxFxFxxxFxxxnnixFXxxxFnXXXni2121212121212121第三章 随机变量及其分布4随机变量的独立性注意注意 ： 若 X,Y 独立，f(x),g(y) 是连续函数，则 f(X),g(Y)

30、 也独立。返回主目录来自.中国最大的资料库下载一和的分布第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布例 1 YX12341410002818100312112112104161161161161的联合分布律为，设二维离散型随机变量YX的分布律，试求随机变量令：ZYXZ返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 1（续）解：，的取值为可知随机变量8765432YXZ，的取值都是与由于4321YX2ZP11YXP，；413ZP1221YXPYXP，；818104ZP132231YXPYXPYXP，；245121810第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料

31、库下载例 1（续）7ZP3443YXPYXP，；16116106ZP243342YXPYXPYXP，；48716112105ZP14233241YXPYXPYXPYXP，；48716112100第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 1（续）的分布律为由此得YXZ8ZP44YXP，161Z2345678P4181245487487161161第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 2的分布律机变量，试求随分布，令的与参数为相互独立，且分别服从与设随机变量ZYXZYXPoisson21解：，的取值

32、都是与由随机变量210YX，的取值也是可知随机变量210YXZ而且，nZPnYXP第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录nkknYkXP0，来自.中国最大的资料库下载例 2（续）nkknYkXP0，的独立性与随机变量YXnkknkeknek02121! nkknYPkXP0nkknkknke021!121nkknkknknne021!21第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 2（续）nkknkknCne021!21nne21!21即，21!21ennZPn，210n分布的服从参数为分布的定义，知由PoissonPoiss

33、on21YXZ第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载连续型随机变量和的分布，数为，其联合密度函是二维连续型随机变量，设yxfYX，令：YXZ 的密度函数下面计算随机变量zfYXZZ 的分布函数首先计算随机变量zFYXZZ zZPzFZzYXPzyxdxdyyxf，第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载连续型随机变量和的分布xzdyyxfdx，xyOx + y = zxuy作变换：则有 zZduxuxfdxzF，dxxuxfduz，第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国

34、最大的资料库下载连续型随机变量和的分布的函数：注意里层的积分是u zZduugzF即有 dxxuxfug，的密度函数为导，可得求之间的关系，上式对由分布函数与密度函数YXZz zFzfZZ zduugdzd zg第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载连续型随机变量和的分布 dxxzxfzfZ，即注意到在前面的积分中 zyxZdxdyyxfzF，有积分，通过类似的计算后对，对积分的，若将其改成先，后对我们是先对yxxy第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布xzdyyxfdx，返回主目录来自.中国最大的资料库下载连续型随机变量和的分布 d

35、yyyzfzfZ，相互独立，则有与特别地，如果随机变量YX yfxfyxfYX，此时，我们有 dxxzfxfzfYXZ或者 dyyfyzfzfYXZ第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载连续型随机变量和的分布 的卷积，记作与我们称上式为函数yfxfYX yfxfYX*：因此，我们有以下结论卷积：密度函数的与的密度函数等于相互独立，则它们的和与如果随机变量YXYXZYX yfxfzfYXZ*第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布 dxxzfxfzfYXZ dyyfyzfzfYXZ来自.中国最大的资料库下载例 3解：的密度函数，试求随机变

36、量均匀分布，令上的，相互独立，都服从区间与设随机变量ZYXZYX10由题意，可知 其它0101xxfX 其它0101yyfY ，则有的密度函数为设随机变量zfYXZZ dxxzfxfzfYXZ第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录 dxxzfxfzfYXZ来自.中国最大的资料库下载例 3（续）, 20zz，或若 0zfZ，若10 z zZdxzf01z第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布 dxxzfxfzfYXZ10, 10 xzxxz0 xz1 xz0112 111zZdxzfz 2，若21 z的密度函数为综上所述，我们可得YXZ 其它021210zzzz

37、zfZ返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 4解：的密度函数量，试求随机变的指数分布，令服从分布，上的均匀，服从区间相互独立，与设随机变量ZYXZYXYX110由题意，可知 其它0101xxfX 000yyeyfyY ，则有的密度函数为设随机变量zfYXZZ dxxzfxfzfYXZ第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 4（续），若0z 0zfZ，若10 z第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布 ,dxxzfxfzfYXZ0, 10 xzxxz0 xz011 zxzZdxezf0)(1ze1zxzdxee0，若1z 10)(dx

38、ezfxzZzzee110dxeexz返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 4（续）的密度函数为综上所述，我们可得YXZ 1101001zeezezzfzzzZ第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 5解：的密度函数，试求随机变量令，相互独立，与设随机变量ZYXZNYNXYX1010由题意，可知 ，则有的密度函数为设随机变量zfYXZZ dxxzfxfzfYXZ ,2122xexfxfxYXdxeexzx222221第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 5（续），代入上式，有则有，作积分变换

39、dxduzxu222作配方法，得的指数上对在上式中xe dxeezfzxzZ22242121 dueezfuzZ222222212212222221ze，这表明，20 NZ第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载结 论211，NX论：一般地，我们有如下结相互独立，且与如果随机变量YX，YXZ222，NY222121，则NZ第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载结 论2iiiNX，结论：更一般地，我们有如下相互独立，如果随机变量nXXX21，令：niiiXaZ1ni，21niiiniiiaaNZ1221

40、，则个实常数，为，又naaan21第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 6解： 的密度函数，试求随机变量令，相互独立，与设随机变量ZYXZnYmXYX22由题意，可知 0002212122xxexmxfxmmX 0002212122yyeynyfynnY第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 6（续） ，则有的密度函数为设随机变量zfYXZZzxznnxmmdxexznexm021222122)(221221第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布xz0 xz0 dxxzfxfzfY

41、XZ0, 0 xzx. 0)(0) 1 (zfzz，当)(, 0)2(zfzz当返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 6（续）znmnmnzdxzxxnmze0121221221222第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布znmnmzdxxzxnme0121222222 zfZzdxdtzxt，作积分变换；时，当00tx时，当1tzx返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 6（续） 10121221221222zdtttznmzezfnmnmnzZ10121221221222dtttnmzenmnmnmz第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布函数的定义：由数学中函数之

42、间的关系：函数与以及0011011tsdxxxtsts， tststs ，返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 6（续）2222222122nmnmnmzenmnmz222122nmzenmnmz综上所述，我们有第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布 222222122nmnmzezfnmnmzZ，可知，返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 6（续）由此，我们得 0002211222zzzenmzfnmznmZ相互独立，且与如果随机变量YX ，nYmX22，YXZnmZ2则第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载连续型随机变量商的分

43、布，数为，其联合密度函是二维连续型随机变量，设yxfYX，令：YXZ 的密度函数下面计算随机变量zfYXZZ 的分布函数首先计算随机变量zFYXZZ zZPzFZzYXP第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布二商的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载连续型随机变量商的分布zyxdxdyyxf，00yzyxyzyxdxdyyxfdxdyyxf，00yzyxyzyxdxdyyxfdxdyyxf，zyzydxyxfdydxyxfdy，00第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布xyyzx yzx 返回主目录来自.中国最大的资料库下载连续型随机变量商的分布；时，当则zuzyx

44、ydudx，中，作变换，在第一个积分uyxdxyxfdyzy0；，因而有时，注意到当uyx0yduyuyfdydxyxfdyzzy，00dyyuyyfduz0，dyyuyfyduz0，第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载连续型随机变量商的分布；时，当则zuzyxydudx，中，作变换，同理，在第二个积分uyxdxyxfdyzy0；，因而有时，注意到当uyx0yduyuyfdydxyxfdyzzy，00 dyyuyfyduz0，dyyuyfyduz0，第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载连续型随机

45、变量商的分布义有所以，由密度函数的定 dyyuyfydudyyuyfyduzFzzZ00，dudyyuyfyz ，第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布故 zfZdyyzyfy，返回主目录来自.中国最大的资料库下载连续型随机变量商的分布相互独立，则有与特别地，如果随机变量YX yfxfyxfYX，此时，我们有 dyyfyzfyzfYXZ第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布补充结论：则令：,YXZ dyyyzfzfZ，数为，其联合密度函是二维连续型随机变量，设yxfYX（1）则令：,X

46、YZ （2），数为，其联合密度函是二维连续型随机变量，设yxfYX dyyyyzfdxxxzxfzfZ1,1,返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 7解：的密度函数量，试求随机变的指数分布，令与数为相互独立，分别服从参与设随机变量ZYXZYX21由题意，可知 00011xxexfxX 00022yyeyfyY第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载例7（续）YXZ 设：相互独立性，我们有与由随机变量YX dyyfyzfyzfYXZ第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布，若0z 0zfZ0, 0yyzyz0, 0yz，若0z zfZ02

47、121dyeeyyyz返回主目录来自.中国最大的资料库下载例7（续）02112dyeyyz第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布21221z的密度函数为所以，YXZ 00021221zzzzfZ返回主目录来自.中国最大的资料库下载本节的解题步骤 ，分布函数的，先求随机变量函数zFYXgZZ ，密度函数的，再求随机变量函数zFzfYXgZZZ第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布三其它的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 8解：的密度函数，试求随机变量令，相互独立，与设随机变量ZYXZNYNXYX221010由题意，可知数为的联合密度函，是相互独立的，所以，与由于

48、YXYX ,2122xexfxfxYX第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 8（续）yxeyxfyx，22221的分布函数为所以，22YXZ zZPzFZzYXP22，则若0Z 0zFZ第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布，则若0Z zYXPzFZ22zyxdxdyyxf22，zyxyxdxdye2222221返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 8（续）则有，作极坐标变换sincosryrx zrZrdredzF0220221zrrdre022第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布 000022zzrdrezFz

49、rZ的密度函数为所以，22YXZ 00022zzzezfzZ返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 9解：是否相互独立？与并判断各自的边缘分布律，与的联合分布律及与机变量，试求随，令，相互独立，与设随机变量YXYXppBYpBXYXmaxmin1011，知与的取值都为与由随机变量10YXYXYX，maxmin与的取值也为10第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 9（续）00，P00YXP， 00YPXP21p10，P0110YXPYXP， 0110YPXPYPXPpp1201，P P011，P11YXP， 11YPXP2p第三章 随机变量及其

50、分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 9（续）各自的边缘分布律为，与的联合分布律及与随机变量 01 ip021ppp1221p102p2pjp21p211p，由于10 p所以，001，P 22101ppPP第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布不独立与这表明，随机变量返回主目录来自.中国最大的资料库下载例 10解： 令：，密度函数为的分布函数为随机变量，是独立同分布的连续型，设xfxFXXXXn121 ，nnnXXXXXXXX21211maxmin 的密度函数与试求随机变量nXX1 为，密度函数的分布函数为设随机变量xfxFX111第三章 随机变量及