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1、3.13.1二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布一一.二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数二二.二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布三三.二维连续型随机变量及其分布二维连续型随机变量及其分布图示图示一、一、二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布1.二维随机变量的定义二维随机变量的定义实例实例1 炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置 (X,Y)就是一个二就是一个二维随机变量维随机变量.二维随机变量二维随机变量 (X,Y )的性质不仅与的性质不仅与 X、Y 有关有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.实例实例2 考查某一地区
2、学前儿童的发育情况考查某一地区学前儿童的发育情况,则儿童则儿童的身高的身高 H 和体重和体重 W 就构成二维随机变量就构成二维随机变量 (H,W).说明说明 2.2.分布函数的定义分布函数的定义 3.分布分布函数函数的性质的性质且有且有证明证明二维离散型随机变量及其分布：分布律、分布函数二维离散型随机变量及其分布：分布律、分布函数4.4.二维随机变量的分类二维随机变量的分类二维连续型随机变量及其分布：分布密度、分布函数二维连续型随机变量及其分布：分布密度、分布函数 若二维随机变量若二维随机变量 (X,Y)所取的可能值所取的可能值是有限对或无限可列多对是有限对或无限可列多对,则称则称 (X,Y)
3、为二维离为二维离散型随机变量散型随机变量.1.1.定义定义 2.2.二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律 二、二维离散型随机变量及其分布二、二维离散型随机变量及其分布二维随机变量二维随机变量 (X,Y)的分布律也可表示的分布律也可表示为为解解且由且由乘法公式得乘法公式得例例1 (X,Y )所取的可能值是所取的可能值是解解抽取两支都是绿笔抽取两支都是绿笔抽取一支绿笔抽取一支绿笔,一一支红笔支红笔例例2 从一个装有从一个装有3支蓝色、支蓝色、2支红色、支红色、3支绿色圆珠支绿色圆珠笔的盒子里笔的盒子里,随机抽取两支随机抽取两支,若若 X、Y 分别表示分别表示抽出的蓝笔数和红笔数抽出
4、的蓝笔数和红笔数,求求 (X,Y)的分布律的分布律.故所求分布律为故所求分布律为例例3 一个袋中有三个球一个袋中有三个球,依次标有数字依次标有数字 1,2,2,从从中任取一个中任取一个,不放回袋中不放回袋中,再任取一个再任取一个,设每次取球设每次取球时时,各球被取到的可能性相等各球被取到的可能性相等,以以 X,Y 分别记第一分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字次和第二次取到的球上标有的数字,求求 (X,Y)的的分布律与分布函数分布律与分布函数.(X,Y )的可能取为的可能取为解解故故 (X,Y )的分布为的分布为下面求分布函数下面求分布函数.所以所以(X,Y)的分布为的分布为说明说明离散型
5、随机变量离散型随机变量 (X,Y)的分布函数归纳为的分布函数归纳为1.1.定义定义 三、二维连续型随机变量及其分布三、二维连续型随机变量及其分布2.性质性质表示介于表示介于 f(x,y)和和 xOy 平面之间的空间区域的全平面之间的空间区域的全部体积等于部体积等于1.1.3.说明说明例例1解解(2)(2)将将 (X,Y)看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标,即有即有二维均匀分布和二维正态分布1.二维均匀分布二维均匀分布定义定义 设设 D 是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其面积为其面积为 S,若二若二维随机变量维随机变量 (X,Y)具有概率密度具有概率密度则称则称 (X,Y)在在 D 上服从上服从均匀分布均匀分布.例例1 1 已知随机变量已知随机变量 (X,Y)在在 D上服从均匀分布上服从均匀分布,试求试求(X,Y)的概率密度及分布函数的概率密度及分布函数,其中其中D 为为 x 轴轴,y 轴及直线轴及直线 y=x+1 所围成的三角形区域所围成的三角形区域 .解解注：先对u积分，再对v积分更容易。所以所以 (X,Y)的分布函数为的分布函数为2.二维正态分布二维正态分布若二维随机变量若二维随机变量 (X,Y)具有概率密度具有概率密度二维正态分布的图形二维正态分布的图形