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1、二维随机变量及其分布第一页，讲稿共六十一页哦例如例如 E E：抽样调查：抽样调查15-1815-18岁青少年的身高岁青少年的身高 X X与体重与体重 Y,Y,以研究当以研究当前该年龄段青少年的身体前该年龄段青少年的身体发育情况发育情况。前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。我们需要研究的不仅仅是我们需要研究的不仅仅是X X及及Y Y各自的性质，各自的性质，更需要了解这两个随更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，机变量的相互依赖和制约关系。因此，将二者作为一个整体来将二者作为一个整
2、体来进行研究，记为进行研究，记为(X,Y),称为称为二维二维随机变（向）量随机变（向）量。第二页，讲稿共六十一页哦设设X、Y 为定义在同一样本空间为定义在同一样本空间上的随机变量，则称向量上的随机变量，则称向量（X X，Y Y）为为上的一个上的一个二维随机变量二维随机变量。n定义定义二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点的取值可看作平面上的点（x，y）A第三页，讲稿共六十一页哦二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数若若（XX，Y Y）是是是是随机变量，随机变量，对于任意的实数对于任意的实数x,y.x,y.n n定义定义定义定义称为二维随机
3、变量的称为二维随机变量的联合分布函数联合分布函数n n性质性质性质性质(3)(x,y)第四页，讲稿共六十一页哦XY Yx1y1(x1,y1)x2y2(x2,y2)(x1,y2)(x2,y1)联合分布函联合分布函数表示矩形数表示矩形域概率域概率第五页，讲稿共六十一页哦二维离散型随机变量二维离散型随机变量 若二维若二维 随机变量随机变量 （X X X X，Y Y Y Y）的所有可能取值只有限对或可列对，则称的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X X X X，Y Y Y Y）为为二维离散型随机变量。二维离散型随机变量。如何反映（如何反映（X X，Y Y）的取值规律呢？）的取值规律呢？n n定义定义
4、定义定义n研究问题研究问题联想一维离散型随机变量的分布律。联想一维离散型随机变量的分布律。（X X X X，Y Y Y Y）的联合概率分布（分布律）的联合概率分布（分布律）的联合概率分布（分布律）的联合概率分布（分布律）n n表达式形式表达式形式表达式形式表达式形式第六页，讲稿共六十一页哦。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。n n表格形式（常见形式）表格形式（常见形式）表格形式（常见形式）表格形式（常见形式）性质性质 联合分布函数联合分布函数F(x,y)=PXx，Yy=第七页，讲稿共六十一页哦 一个口袋中有三个球，一个口袋中有三个球，依次依次标标有数字有数字1，2，2，从中任
5、从中任取一个，取一个，不放回袋中，不放回袋中，再任取一个，再任取一个，设设每次取球每次取球时时，各球被各球被取到的可能性相等取到的可能性相等.以、分以、分别记别记第一次和第二次取到的球第一次和第二次取到的球上上标标有的数字，有的数字，求求的的联联合分布列合分布列.的可能取的可能取值为值为(1，2)，(2，1)，(2，2).，(1/3)(2/2)(1/3)(2/2)1/31/3，(2/3)(1/2)(2/3)(1/2)1/31/3，=(2/3)(1/2)=(2/3)(1/2)1/31/3，1/31/31/3 例例1 1解解第八页，讲稿共六十一页哦例例2 将一枚均匀的硬币抛掷4次,X表示正面向上次
6、数,Y表示反面朝上次数,求(X,Y)的联合概率分布.解解 X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为:X Y0 41 3 2 2 3 14 0P(X=0,Y=4)=P(X=2,Y=2)=1/4=6/16 P(X=3,Y=1)=1/4 P(X=4,Y=0)=0.54=1/16联合概率分布表为联合概率分布表为:X01234Y 0 1 2 3 4 0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 01/16 0 0 0 0P(X=1,Y=3)=0.54=1/16第九页，讲稿
7、共六十一页哦例例3 设随机变量YN(0，1),令解解 (X1,X2)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),P(X1=0,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2)=P(|Y|2)=1-P(|Y|2)=2-2(2)=0.0455P(X1=0,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2)=P(1|Y|2)=P(-2Y-1)+P(1Y2)=2P(1Y2)=2(2)-(1)=0.2719P(X1=1,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2)=0P(X1=1,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2)=P(|Y|1)=2(1)-1=0.6826联合概率分布表为:X101X2 0 10.0455 0.271
8、9 0 0.6826求(X1,X2)的联合概率分布。第十页，讲稿共六十一页哦例例4 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:X-101Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 a 0.2 0.05求:(1)常数a的取值;(2)P(X0,Y1);(3)P(X1,Y1)解解 (1)由pij=1得:a=0.1(2)由P(X,Y)D D=得 P(X0,Y1)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6(3)P(X1,Y1)=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)+P
9、(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.75第十一页，讲稿共六十一页哦 若存在若存在非负函数非负函数 f f（x x，y y），使对任意实数，使对任意实数x x，y y，二元随机，二元随机变量变量(X,Y)(X,Y)的分布函数可表示成如下形式的分布函数可表示成如下形式则称则称(X,Y)(X,Y)是二元连续型随机变量。是二元连续型随机变量。f f（x x，y y）称为二元随）称为二元随机变量机变量(X,Y)(X,Y)的的联合联合概率密度函数概率密度函数.二维连续型随机变量的联合概率密度二维连续型随机变量的联合概率密度 n n定义定义定义定义 记为（X X，Y)Y)f(
10、x,y)f(x,y)第十二页，讲稿共六十一页哦联合概率密度函数的性质联合概率密度函数的性质n非负性非负性n几何解释几何解释几何解释几何解释n.n.随机事件的概率随机事件的概率=曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 第十三页，讲稿共六十一页哦设设二二维维随机随机变变量量的概率密度为的概率密度为(1)确定常数确定常数 k；(2)求求的分布函数；的分布函数；.(4)求求例例1解解 (1)所以所以 第十四页，讲稿共六十一页哦当当 时，时，当当 时，时，所以，所以，(3)或解或解 (2)求求的分布函数；的分布函数；第十五页，讲稿共六十一页哦4 1(4)求求第十六页，讲稿共六十一页哦例例2 已知二维随机变量（已知
11、二维随机变量（X，Y）的分布密度为）的分布密度为 求概率求概率 解解 2241x+y=3 第十七页，讲稿共六十一页哦例例3 设(X,Y)求(X,Y)的联合分布函数.11解解(1)x0,或y1时,F(x,y)=(5)x1,0y1时,F(x,y)=xyXY4xy综合即得:第十八页，讲稿共六十一页哦其中:D为可度量的平面区域,SD为区域D的面积.则称(X,Y)服从区域服从区域D上的均匀分布上的均匀分布.(1)均匀分布均匀分布 若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为对于D中任意可度量子区域G有其中:SG为区域G的面积.常见的二维连续型随机向量常见的二维连续型随机向量第十九页，讲稿共六十一页哦定义定义
12、 如果(X,Y)的联合密度函数为其中则称(X,Y)服从参数为 的二维正态分布,简记为(2)(2)二维正态分布二维正态分布第二十页，讲稿共六十一页哦边缘分布边缘分布 marginal distribution 二维随机变量二维随机变量 ,是两个随机变量视为一个整体，是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规律。律。问题问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？呢？如何确定呢？边缘分布问题边缘分布问题 第二十一页，讲稿共
13、六十一页哦边缘分布边缘分布 marginal distribution 设二维随机变量设二维随机变量 的分布函数为的分布函数为 ，依次称为二维随机变量依次称为二维随机变量关于关于和关于和关于的边缘分布函数的边缘分布函数联合分布函数与边缘分布函数的关系联合分布函数与边缘分布函数的关系第二十二页，讲稿共六十一页哦二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布如果二维离散型随机变量（如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为）的联合分布律为 YXy1y2y3Pi.x1p11p12p13P1.x2p21p22p23P2.x3p31p32p33P3.p.jp.1p.2p.3关于关于X的边缘分布的边
14、缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布第二十三页，讲稿共六十一页哦二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布关于关于X的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布第第j列之和列之和Xx1x2x3概率P1.P2.P3.第第i行之和行之和Yy1y2y3概率P.1P.2P.3第二十四页，讲稿共六十一页哦二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布例例1 设二维离散型随机变量（设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为）的联合分布律为 YX011/3-101/31/1201/60025/1200求关于求关于X、Y的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布Y011/3概率7/12
15、1/31/12解解 关于关于X的边缘分布为的边缘分布为 X-102概率5/121/65/12第二十五页，讲稿共六十一页哦例例2 设(X,Y)的联合概率分布为:X-101Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.05求:(1)X,Y的边缘分布;(2)X+Y的概率分布.解解 (1)由分析得:X -1 0 1P 0.25 0.4 0.35Y 0 1 2P 0.25 0.5 0.25(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2P(X+Y=1
16、)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=-1,Y=2)=0.4同理,P(X+Y=2)=0.3,X+Y -1 0 1 2 3 P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05P(X+Y=3)=0.05所以第二十六页，讲稿共六十一页哦二维连续型随机变量的边缘分布二维连续型随机变量的边缘分布 n关于关于X的边缘概率密度为的边缘概率密度为 n关于关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为 的边缘分布函数为的边缘分布函数为 关于关于 的边缘分布函数为的边缘分布函数为 关于关于 第二十七页，讲稿共六十一页哦例例1 1 设（设（X,Y）的联合密度为）的联合密度为求求k值和两个边缘分布密度函数值和两
17、个边缘分布密度函数解解由由 得得 当当 时时 关于关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 113当当 时时 第二十八页，讲稿共六十一页哦113所以，关于所以，关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 所以，关于所以，关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 当当 时时 当当 时时 关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 第二十九页，讲稿共六十一页哦例例2.2.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 求随机变量X的密度函数；求概率PX+Y1.解解 (1)x0时,fx(x)=0;x0时,fx(x)=所以,PX+Y1=y=xx+y=11/2第三十页，讲稿共六十一页哦边缘分布密度和概率的计算边缘分布密度
18、和概率的计算例例3设（设（X,Y)的联合分布密度为的联合分布密度为 （1）求）求k值值(2)求关于求关于X和和Y的边缘密度的边缘密度（3）求概率）求概率P(X+Y1/2)解解 (1)由由 得得 均匀分布均匀分布(2)当当 时时-11第三十一页，讲稿共六十一页哦当当 时时所以，关于所以，关于X的边缘分布密度函数为的边缘分布密度函数为 -11当当 时时所以，关于所以，关于Y的边缘的边缘分布密度函数为分布密度函数为 -11均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布当当 时时第三十二页，讲稿共六十一页哦解解（3）求概率）求概率P(X+Y1/2)第三十三页，讲稿共六十一页哦
19、如果二维随机变量（如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布）服从正态分布 则两个边缘分布分别服从正态分布则两个边缘分布分别服从正态分布 与相关系数与相关系数 无关无关 可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布分布即即 二维正态分布(X,Y)的边缘概率密度是一维正态分布.由此可知随机向量的联合概率密度完全决定了它的边缘概率密度,反之不一定成立.第三十四页，讲稿共六十一页哦例例4 设（设（X，Y）的联合分布密度函数为）的联合分布密度函数为 求关于求关于X，Y的边缘分布密度函数的边缘分布密度函数 解解 关于关于X的分布密度函数为的
20、分布密度函数为 所以，所以，同理可得同理可得 边缘概率密度为一维正态分布的二维随机向量不一边缘概率密度为一维正态分布的二维随机向量不一定是二维正态分布定是二维正态分布.不同的联合分布，可有相同的边缘不同的联合分布，可有相同的边缘分布。分布。可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布第三十五页，讲稿共六十一页哦随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性n 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于 n n定义定义定义定义 设（设（设（设（X X X X，Y Y Y
21、 Y）的联合分布函数为）的联合分布函数为）的联合分布函数为）的联合分布函数为F(x,y)F(x,y)F(x,y)F(x,y)，两个边缘分布函数分别为，两个边缘分布函数分别为，两个边缘分布函数分别为，两个边缘分布函数分别为F F F FX X X X(x),F(x),F(x),F(x),FY Y Y Y(y)(y)(y)(y)，如果对于，如果对于，如果对于，如果对于任意的任意的任意的任意的x,yx,yx,yx,y都有都有都有都有 F(x,y)=F F(x,y)=FX X(x)F(x)FY Y(y)(y)，则称随机变量则称随机变量则称随机变量则称随机变量X X，Y Y相互独立相互独立相互独立相互独
22、立。对任意对任意i,j 对任意对任意x,y 随机变量X,Y相互独立相互独立,若对任意ab,c10fy(y)=解解 (1)同理,所以,X,Y独立.(2)X,Y不独立.第四十五页，讲稿共六十一页哦例例7 设随机变量X和Y相互独立,试将下表补充完整.Xx1x2Y y1 y2 y31/81/81/611/241/41/121/21/33/43/81/4第四十六页，讲稿共六十一页哦P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)1.1.设随机变量X，Y是相互独立的，且X,Y等可能地取0，1为值，求随机变量Z=max(X,Y)的分布列。解解X 0 1P 1/2 1/2Y 0 1P 1/2
23、1/2(X,Y)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),Z=max(X,Y)的取值为:0,1P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)=1/4P(Z=1)=3/4所以,Z的分布列为Z 0 1P 1/4 3/4课堂练习课堂练习第四十七页，讲稿共六十一页哦2.2.已知随机向量(X,Y)的联合密度为(1)问X与Y是否独立？(2)求概率PXY.解解(1)(2)P(XY)=所以,X,Y独立.第四十八页，讲稿共六十一页哦二维随机变量的函数的分布二维随机变量的函数的分布设设 是二维随机变量是二维随机变量,其联合分布函数为其联合分布函数为 是随机变量是随机变量 的二元函数
24、的二元函数 n 的分布函数的分布函数问题：如何确定随机变量问题：如何确定随机变量Z的分布呢？的分布呢？二维离散型随机变量的函数的分布二维离散型随机变量的函数的分布二维离散型随机变量的函数的分布二维离散型随机变量的函数的分布设设 是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,其联合分布列为其联合分布列为 则则 是一维的离散型随机变量是一维的离散型随机变量 其分布列为其分布列为 第四十九页，讲稿共六十一页哦例例 设设 的联合分布列为的联合分布列为 X Y-2-10-11/121/123/122/121/12032/1202/12分别求出（分别求出（1）X+Y；（；（2）X-Y；（；（3）X2+Y-2的
25、分布列的分布列概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253-3-2-1-15/4-11/457解解 由（由（X X，Y Y）的联合分布列可得如下表格）的联合分布列可得如下表格 第五十页，讲稿共六十一页哦解解得所求的各分布列为得所求的各分布列为 X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率1/121/123/122/121/122/122/12X2+Y-2-3-2-1-15/4-11/457概率1/121/123/122/121/122/
26、122/12第五十一页，讲稿共六十一页哦二维连续型随机变量的函数的分布二维连续型随机变量的函数的分布设设 是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量,其联合分布密度为其联合分布密度为 则则 是一维的连续型随机变量是一维的连续型随机变量 其分布函数为其分布函数为 是二元连续函数，是二元连续函数，其分布密度函数为其分布密度函数为 对F(z)求导即得Z的概率密度函数f(z).随机变量函数的概率密度函数另一求法随机变量函数的概率密度函数另一求法-分布函数法分布函数法第五十二页，讲稿共六十一页哦例例 设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的概率密度为）的概率密度为求随机变量求随机变量 Z=X+2Y 的分
27、布密度函数的分布密度函数解解所求分布函数为所求分布函数为 分布密度函数为分布密度函数为 第五十三页，讲稿共六十一页哦两个随机变量的和的分布两个随机变量的和的分布 如果（如果（X，Y）的联合分布密度函数为）的联合分布密度函数为 f(x,y)，则，则Z=X+Y的分布密度函数为的分布密度函数为 或或 特别，当特别，当X，Y相互独立时，有相互独立时，有卷积公式卷积公式 或或 结论结论 两个独立的连续型随机变量的和仍为连续型随机变量.两个独立的正态分布的随机变量的和仍服从正态分布.第五十四页，讲稿共六十一页哦记记 住住 结结 论！论！两个两个独立独立随机变量的和的分布随机变量的和的分布n如果如果X X与
28、与Y Y相互独立相互独立二项分布的可加性二项分布的可加性Possion分布的可加性分布的可加性正态分布的可加性正态分布的可加性第五十五页，讲稿共六十一页哦例例 设随机变量X与Y独立，概率密度函数为解解 (X,Y)的联合密度函数为所以,第五十六页，讲稿共六十一页哦例例 设随机向量(X,Y)服从区域D=(x,y)|1x3,1y3上的均匀分布,求U=|X-Y|的概率密度函数.解解 (X,Y)的联合概率密度为1 331(1)u0时,F(u)=0y-x=uy-x=-uy-x=-2由分析可见,u=2是两种类型积分区域的划分点.(2)0u2时,G(3)u2时,F(u)=1f(u)=0f(u)=1-u/2f(u)=0所以第五十七页，讲稿共六十一页哦第五十八页，讲稿共六十一页哦第五十九页，讲稿共六十一页哦第六十页，讲稿共六十一页哦第六十一页，讲稿共六十一页哦