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1、瑕积分的收敛判别法第1页，本讲稿共33页一一、无界函数的广义积分无界函数的广义积分 定义定义4.14.1第2页，本讲稿共33页类似地，类似地，当上述右边的两个极限都存在时，称该瑕积分收敛；当上述右边的两个极限都存在时，称该瑕积分收敛；当上述右边的其中的一个极限不存在时，称该瑕积分发散当上述右边的其中的一个极限不存在时，称该瑕积分发散.第3页，本讲稿共33页例例1 1解解:第4页，本讲稿共33页解：解：例例2 2 计算广义积分计算广义积分第5页，本讲稿共33页例例3 3 计算广义积分计算广义积分解解故原广义积分发散故原广义积分发散.第6页，本讲稿共33页注意注意（1）瑕积分与定积分表达方式相同，
2、遇到有限区间瑕积分与定积分表达方式相同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。（2）瑕积分瑕积分N-L公式，换元积分公式、分部积分公式公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，代入上、下限时对应的是极限值。仍然成立，代入上、下限时对应的是极限值。第7页，本讲稿共33页问题：问题：第8页，本讲稿共33页二二.瑕积分的性质瑕积分的性质性质性质性质性质瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果 .第9页，本讲稿共33页三、瑕积分收敛的判别法三、瑕积分收敛的判别法.定理定理4.1(4.1(柯西准则柯西准则)2.2.定理定理4.24.2
3、第10页，本讲稿共33页常用的比较对象：常用的比较对象：3.3.定理定理4.34.3（比较判别法）（比较判别法）第11页，本讲稿共33页4.4.定理定理4.44.4（比较判别法极限形式）（比较判别法极限形式）第12页，本讲稿共33页5.5.定理定理4.5(Dirichlet4.5(Dirichlet判别法判别法)第13页，本讲稿共33页6.6.定理定理4.5(Abel4.5(Abel判别法判别法)第14页，本讲稿共33页例例4 4收敛收敛解解第15页，本讲稿共33页解解由洛必达法则知：由洛必达法则知：根据判别法极限形式根据判别法极限形式,所给广义积分发散所给广义积分发散.例例5 5第16页，本
4、讲稿共33页例例6 6解：解：第17页，本讲稿共33页Beta函数函数例例7 7解：解：第18页，本讲稿共33页第19页，本讲稿共33页 函数的几个重要性质：函数的几个重要性质：第20页，本讲稿共33页收敛收敛收敛收敛发散发散1m3,收敛收敛例例8 8解：解：第21页，本讲稿共33页例例9 9解：解：第22页，本讲稿共33页第23页，本讲稿共33页例例1010由于解：解：又因为所以，第24页，本讲稿共33页例例1111解：解：第25页，本讲稿共33页第26页，本讲稿共33页第27页，本讲稿共33页例例1212解：解：第28页，本讲稿共33页例例1313解：解：第29页，本讲稿共33页第30页，本讲稿共33页此内容选讲此内容选讲第31页，本讲稿共33页此内容选讲此内容选讲第32页，本讲稿共33页五、小结五、小结一一.瑕积分的性质瑕积分的性质二二.暇积分收敛的判别法暇积分收敛的判别法.柯西准则柯西准则.比较判别法比较判别法.柯西判别法柯西判别法.狄利克雷判别法狄利克雷判别法.阿贝尔判别法阿贝尔判别法第33页，本讲稿共33页