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,8.4 瑕积分的收敛与计算,一、无界函数的广义积分,定义4.1,类似地，,当上述右边的两个极限都存在时，称该瑕积分收敛；,当上述右边的其中的一个极限不存在时，称该瑕积分发散.,例1,解:,解：,例2,计算广义积分,例3 计算广义积分,解,故原广义积分发散.,注意,（1） 瑕积分与定积分表达方式相同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。,（2） 瑕积分N-L公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，代入上、下限时对应的是极限值。,问题：,二. 瑕积分的性质,性质,性质,瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果 .,三、瑕积分收敛的判别法,.定理4.1(柯西准则),2. 定理4.2,常用的比较对象：,3. 定理4.3（比较判别法）,4. 定理4.4（比较判别法极限形式）,5. 定理4.5(Dirichlet判别法),6. 定理4.5(Abel判别法),例4,收敛,解,解,由洛必达法则知：,根据判别法极限形式,所给广义积分发散.,例5,例6,解：,Beta函数,例7,解：,函数的几个重要性质：,收敛,收敛,发散,1m3,收敛,例8,解：,例9,解：,例10,由于,解：,又因为,所以，,例11,解：,例12,解：,例13,解：,此内容选讲,此内容选讲,五、小结,一. 瑕积分的性质,二. 暇积分收敛的判别法,.柯西准则,.比较判别法,.柯西判别法,.狄利克雷判别法,.阿贝尔判别法,