《线性系统的状态空间分析精品文稿.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性系统的状态空间分析精品文稿.ppt（55页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、线性系统的状态空间分析第1页，本讲稿共55页 状态空间描述不仅适合于线性系统，也适应于时变系统、状态空间描述不仅适合于线性系统，也适应于时变系统、非线性系统和随机控制系统。从这个意义上来讲，状态空间描非线性系统和随机控制系统。从这个意义上来讲，状态空间描述是对系统的一种述是对系统的一种完全描述完全描述。8.1.1 基本概念1.分析图8-1，能够描述小车行走状态的的变量有；、，以及a(t)和t，其中t是隐变量，a(t)与F(t)、v(t)线性相关。如果已知外力如果已知外力F(t)、x(t)和和v(t)，则可以计算出任意则可以计算出任意tt0时刻系统时刻系统未来的状态未来的状态x(t)和和v(t)
2、。单输入单输出模型，一次只能看单输入单输出模型，一次只能看到一个两维平面的变化，不能同到一个两维平面的变化，不能同时观察到所有平面内的变化。时观察到所有平面内的变化。第2页，本讲稿共55页u状态：状态：时域内运动信息的集合，包括过去的（是现在的时域内运动信息的集合，包括过去的（是现在的“因因”）、现在的（是过去的）、现在的（是过去的“果果”；将来的；将来的“因因”）和将来）和将来的（的（“果果”）。）。u状态变量：状态变量：独立、完全确定系统状态的一组数目最小的变量独立、完全确定系统状态的一组数目最小的变量称为状态变量。称为状态变量。v独立独立线性无关；线性无关；v完全确定完全确定给定给定t时
3、刻的变量组和系统在时刻的变量组和系统在tt0时间内的输入函数，时间内的输入函数，则系统在则系统在tt0的任意时刻的状态就可完全确定。的任意时刻的状态就可完全确定。v数目最小数目最小 如果状态变量数目大于该值，则必有不独立的如果状态变量数目大于该值，则必有不独立的变量；小于该值，又不足以描述系统的状态。变量；小于该值，又不足以描述系统的状态。u状态向量：状态向量：由状态变量组成的矢量。由状态变量组成的矢量。小车系统中，状态向量为小车系统中，状态向量为 状态或连续或离散，但因果关系是能量传递链，可显可隐却不会间断“离散”。2.基本术语解释第3页，本讲稿共55页u状态空间：状态空间：由由n个状态变量
4、个状态变量xi(t),(i=1,2,n)为坐标轴所张成的为坐标轴所张成的n维空间。维空间。状态向量状态向量 X(ti)为为某一时刻状态空间中的一个点，某一时刻状态空间中的一个点，X(t)随时间推移在状随时间推移在状态空间中的运动轨迹，称为状态轨迹。态空间中的运动轨迹，称为状态轨迹。状态空间状态空间可以是可以是希尔伯特空间希尔伯特空间的子空间或特例。的子空间或特例。u状态方程：状态方程：描述系统状态向量与输入向量之间关系的一阶微分方程或差描述系统状态向量与输入向量之间关系的一阶微分方程或差分方程。分方程。u输出方程：输出方程：u动态方程：动态方程：u线性时变系统动态方程的一般形式线性时变系统动态
5、方程的一般形式希尔伯特空间希尔伯特空间是有限维是有限维欧几里得空间欧几里得空间向无穷维的推广（向无穷维的推广（H），也），也是是巴拿赫空间巴拿赫空间(Banach space)的特例。的特例。欧几里得空间、序列空间、欧几里得空间、序列空间、勒贝斯格空间、勒贝斯格空间、Sobolev空间空间都是希尔伯特空间的特例。都是希尔伯特空间的特例。都在时域都在时域下张成，未能突破时间。下张成，未能突破时间。第4页，本讲稿共55页对于线性定常系统对于线性定常系统A、B、G、H、C、D为常系数矩阵，为常系数矩阵，G、H形式同形式同A、B。第5页，本讲稿共55页 图图中，中，I为为（nn）单位矩阵，）单位矩阵，
6、s是拉普拉斯算子，是拉普拉斯算子，z为单为单位延时算子。位延时算子。例8-1 试确定图8-4(a)，(b)所示电路的独立状态变量。图中 分别是输入电压和输入电流，为输出电压，为电容器电压或电感器电流。(a)(b)v 图图8-4(a)只有一个变量是独立的，状态变量只能任选其中只有一个变量是独立的，状态变量只能任选其中一个。实际上，三个串并联的电容可以等效为一个电容。一个。实际上，三个串并联的电容可以等效为一个电容。v 图8-4(b)，因此两者相关，电路只有两个变量是独立的，即 和 或 和 ，可以任用其中一组作为状态变量。反映内部能量变化第6页，本讲稿共55页8.1.2 动态方程与传递函数的关系动
7、态方程与传递函数的关系 设初始条件为零，对线性定常系统的动态方程进行拉氏变换系系统统的的传递传递函数函数矩矩阵阵（简简称称传递传递矩矩阵阵）定）定义为义为线性定常系统：第7页，本讲稿共55页例8-2 已知系统动态方程为试求系统的传递函数矩阵。解：解：已知已知 故故 第8页，本讲稿共55页8.1.3 线性定常系统动态方程的建立线性定常系统动态方程的建立8.1.3.1 根据系统物理模型建立动态方程根据系统物理模型建立动态方程例例8-3 试列写图示试列写图示RLC电路方程，选择几组状态变量建立相电路方程，选择几组状态变量建立相应的动态方程，并就所选状态变量间的关系进行讨论。应的动态方程，并就所选状态
8、变量间的关系进行讨论。第9页，本讲稿共55页解：有明确物理意义的常用变量主要有：电流、电阻器电压、电容器的电压与电荷、电感器的电压与磁通。根据回路电压定律（1）设 ，则状态方程为 Abc真正的内部变量是i第10页，本讲稿共55页（3）设 ，其中 无明确的物理意义，但也可以推出一组动态方程。u 结论：结论：对同一系统，状态变量的选择不具有唯一性，动态方对同一系统，状态变量的选择不具有唯一性，动态方程也不是惟一的。一般选择储能器件上的量做为状态变量。程也不是惟一的。一般选择储能器件上的量做为状态变量。例例8-4 试列写图示系统的动态方程。试列写图示系统的动态方程。（2）设 初速度0第11页，本讲稿
9、共55页例8-5 试列写电枢控制直流电动机的状态空间表达式。电枢回路微分方程 机械旋转部分的微分方程 电磁感应公式+单输入单输出变为单输入三输出，即增加了对速度和加速度的测量点。第12页，本讲稿共55页设 则若 则 ,且 二阶二阶 三阶三阶u 结论：结论：同一系统同一系统动态方程动态方程的维数、的维数、变量、系变量、系数矩阵都数矩阵都不唯一。不唯一。返第13页，本讲稿共55页 8.1.3.3 由系统传递函数建立动态方程由系统传递函数建立动态方程 (P.304)从从SISOS推出的结论适合推出的结论适合MIMOS1.实现问题实现问题提出：提出：v 传递函数传递函数动态方程不唯一。动态方程不唯一。
10、v 凡能复现同一传递函数的动态方程称为可实现模型，其物理实现也凡能复现同一传递函数的动态方程称为可实现模型，其物理实现也是系统的真实构造。是系统的真实构造。结论：结论：v 可以证明系统可实现的条件是：传递函数必须是真的或者严格真可以证明系统可实现的条件是：传递函数必须是真的或者严格真的，即系统分母阶数不小于分子阶数的，即系统分母阶数不小于分子阶数(nm)。v 否则，自动态方程返还的传递函数可能不再是原有的结构，否则，自动态方程返还的传递函数可能不再是原有的结构，因为原系统存在能量自激。因为原系统存在能量自激。第14页，本讲稿共55页-1零初值最小实现：最小实现：2.能控标准型能控标准型设设则则
11、若n=m，则 为非最小实现。第15页，本讲稿共55页设设x及各阶导数均为储能元件输出，则令及各阶导数均为储能元件输出，则令第16页，本讲稿共55页3.能观标准型能观标准型一般地则则 首一对偶系统第17页，本讲稿共55页前例的能观标准型为v 若系统若系统(AC，BC，CC)与与(AO，BO，CO)存在如下关系，存在如下关系，则称它们为对偶系统。则称它们为对偶系统。第18页，本讲稿共55页4.对角线型同前例Abc推广至一推广至一般形式般形式求求-1第19页，本讲稿共55页为不相重极点 处的留数 第20页，本讲稿共55页若G(s)含有重实极点其结构图和其结构图和动态方程为动态方程为则系数矩阵如下则系
12、数矩阵如下约当型约当型Y(s)=U(s)第21页，本讲稿共55页A1例8-8自习。8.1.3.2 由高阶微分方由高阶微分方程建立动态方程程建立动态方程例例8-6已知系统的微分已知系统的微分方程为方程为，求系统动态方程的能控、观标准型。，求系统动态方程的能控、观标准型。设初始条件为零，则能控标准型能控标准型001y=1.5 1 0.5避开繁避开繁琐推导琐推导第22页，本讲稿共55页能观标准型加例：已知系统微分方程为，求系统能控标准型动态方程。首一解：解：则则001y=1.5 1 0.5+2u首一且最小实现首一且最小实现说明：说明：说明：说明：三种标准三种标准三种标准三种标准型状态变量的物型状态变
13、量的物型状态变量的物型状态变量的物理意义不太明确，理意义不太明确，理意义不太明确，理意义不太明确，可从结构图或信可从结构图或信可从结构图或信可从结构图或信号流图中看到微号流图中看到微号流图中看到微号流图中看到微积分关系。积分关系。积分关系。积分关系。第23页，本讲稿共55页8.1.3.4 由差分方程和脉冲传递函数建立动态方程两端取Z变换，并整理得脉冲传递函数为Z-1Z-1首一最首一最小实现小实现第24页，本讲稿共55页简记8.1.4 动态方程的非唯一性动态方程的非唯一性 对同一系统，由于状态变量选取不唯一，便有不同形式对同一系统，由于状态变量选取不唯一，便有不同形式的动态方程。这些动态方程之间
14、可以进行非奇异线性变换。的动态方程。这些动态方程之间可以进行非奇异线性变换。设系统的状态方程为设系统的状态方程为令 则d1=d1.动态方程的非唯一性动态方程的非唯一性+d1u+du；2.传递函数的不变性设同一系统设同一系统（nm）的两个动态方程分别为的两个动态方程分别为 总可以找到非总可以找到非奇异的奇异的P PG G、HH、C C、D D标标标标准型同连续系统准型同连续系统准型同连续系统准型同连续系统回 放投影关系投影关系第25页，本讲稿共55页其传递函数分别为思路：思路：直接求解状态方程直接求解状态方程 几乎不可能，几乎不可能，我们将从我们将从 解的形式寻找类推规律。解的形式寻找类推规律。
15、和且则8.2 动态方程的响应动态方程的响应8.2.1 线性定常系统齐次状态方程的解线性定常系统齐次状态方程的解零输入解零输入解u(t)=0+Bu结论：结论：不同的动态方程不同的动态方程唯一的传递唯一的传递函数；但传递函数函数；但传递函数动态方程不唯一。动态方程不唯一。第26页，本讲稿共55页根据一元一阶微分方程的解类推出记 状态转移矩阵状态转移矩阵 1.幂级数法2.拉氏变换法拉氏变换法L：-1-1怎样确定？零输入解第27页，本讲稿共55页8.2.3 线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统非齐次状态方程的解u(t)0，x(0)0：-1：-1-1零输入解零状态解-1=-1可以证明(P.316)
16、:第28页，本讲稿共55页例8-11 设系统状态方程为试求在作用下状态方程的解。解1：-1：:第29页，本讲稿共55页=-1=-1解解2：利用信号流图求解状态方程。：利用信号流图求解状态方程。I：x(t)=1(t)，x1(0)0，x2(0)0，则视系统为则视系统为3I2O；O：x1(t)，x2(t)。第30页，本讲稿共55页以x2为输出的前向通路以x1为输出的前向通路第31页，本讲稿共55页-18.2.4 线性定常离散系统的运动分析线性定常离散系统的运动分析第32页，本讲稿共55页8.3 线性系统的稳定性、能控性和能观性线性系统的稳定性、能控性和能观性8.3.1 能控性和能观性的定义能控性和能
17、观性的定义稳定性稳定性特征方程特征方程det(sI-A)=0，即，即sI-A=0的所有根的所有根位于左半位于左半s平面。平面。-1Z-1传递函数矩阵与脉冲传递函数矩阵对比：第33页，本讲稿共55页2能控性能控性输入可以控制状态到达状态空间内的任意点。输入可以控制状态到达状态空间内的任意点。例8-12解：与输入u(t)和状态变量x1均没有关系，x2明显不能控制。如果改写上式 则x2可由u直接控制，而x1可通过x2由u间接控制。是否可以从状态方程直接观察出能控性？是否可以从状态方程直接观察出能控性？解：例8-13 设系统的初始状态为零设系统的初始状态为零第34页，本讲稿共55页x1=x20不能从状
18、态方程直接观察。不能从状态方程直接观察。定义：，如果存在无约束的分段连续控制函数u(t)，能使系统从任意初态x(t0)转移至任意终态x(tf)，则称该系统是状态完全能控的，简称是能控的。u 只要有一个状态变量不能控，则称系统状态不完全能控，简称系统不能控。第35页，本讲稿共55页y(t)反映的是反映的是x1(0)与与x2(0)的差值随时间衰变的差值随时间衰变的过程，无法得到各自独立的运行状况。的过程，无法得到各自独立的运行状况。3.能观性能观性输出可以反映状态空间内的任意状态点。输出可以反映状态空间内的任意状态点。例8-14y=x1可直接测量，而 与x1无关，所以不可能从y中间接得到x2。例8
19、-15 定义：定义：对于任意初始时刻对于任意初始时刻 t0，若能在有限时间，若能在有限时间tt0之内，根据之内，根据系统的输出系统的输出y(t)，唯一地确定在初始时刻的状态，唯一地确定在初始时刻的状态x(t0)，则称系，则称系统状态完全能观，简称系统能观。统状态完全能观，简称系统能观。u 只要有一个状态变量在初始时刻只要有一个状态变量在初始时刻t0的值不能由输出唯一地的值不能由输出唯一地确定，则称系统状态不完全能观，简称系统不能观。确定，则称系统状态不完全能观，简称系统不能观。第36页，本讲稿共55页说明：说明：v 能控性是通过能控性是通过u(t)控制控制(掌握掌握)所有未来的状态；能观性是所
20、有未来的状态；能观性是通过通过y(t)测量测量(“回忆回忆”)过去的状态。过去的状态。v 单从动态方程难以确定能控性和能观性。单从动态方程难以确定能控性和能观性。v 从动态方程的解中也很难找出判断规律，且求解困难。从动态方程的解中也很难找出判断规律，且求解困难。8.3.2+8.3.3 能控性与能观性判据1秩判据第37页，本讲稿共55页 系统状态完系统状态完全能控不能观。全能控不能观。结论：结论：能控标准型能控标准型状态必完全能控，状态必完全能控，结论可逆。结论可逆。附加例题：讨论系统 的能控 能观性。解；能控标准型：能控标准型：对角线型能观标准型：能观标准型：第38页，本讲稿共55页 系统状态
21、完系统状态完全能观不能控。全能观不能控。结论：结论：能观标准型能观标准型状态必完全能观，状态必完全能观，结论可逆。结论可逆。2对角线或约当型判据对角线或约当型判据可用秩判据，也可直观判断。可用秩判据，也可直观判断。若若既不完全能控也不完全能观。既不完全能控也不完全能观。则则既能控也能观；既能控也能观；能观不能控；能观不能控；能控不能观。能控不能观。第39页，本讲稿共55页推论：1.对角线型系统状态完全能控和/或能观的条件是B中没有零元素行和/或C中没有零元素列。2.约当型系统状态完全能控和/或能观的条件是B中与各约当块末行对应的行不全为零和/或C中与各约当块首列对应的列不全为零。例8-17，教
22、材P.321 3.离散系统能控能观性判据离散系统能控能观性判据加例：试判断连续和离散系统的能控性和能观性。加例：试判断连续和离散系统的能控性和能观性。临界稳定，可通过观测器和状态临界稳定，可通过观测器和状态反馈极点配置改变其稳定性。反馈极点配置改变其稳定性。返 回第40页，本讲稿共55页8.3.4 能控性、能观测性与传递函数矩阵的关系能控性、能观测性与传递函数矩阵的关系连续系统离散后能控能观性将变差，且与采样周期密切相关。连续系统离散后能控能观性将变差，且与采样周期密切相关。能观不能控能观不能控能观不能控能观不能控 ；能控不能观；能控不能观；能控不能观；能控不能观；能控能观能控能观能控能观能控
23、能观离散系统能控能观的条件。连续系统既能控也能观。第41页，本讲稿共55页有零极对消(sI-A)-1b存在零极对消，不能控。c(sI-A)-1不存在零极对消，能观。有零极对消c(sI-A)-1存在零极对消，能控不能观。无零极对消，能控能观。第42页，本讲稿共55页结论：结论：v 单输入-单输出系统能控、能观测的充要条件是：由动态方程导出的传递函数不存在零、极点对消；v 系统能控的充要条件是(sI-A)-1b不存在零、极点对消；v 系统能观的充要条件是c(sI-A)-1不存在零、极点对消；v 若传递函数有可对消的零、极点，在推导状态方程时不应实施对消，以免掩盖稳定性、能控/观性，v传递函数（低维
24、空间描述）不是完全的描述。8.4 状态反馈与状态观测器状态反馈与状态观测器用于性能改善用于性能改善8.4.1 线性定常系统常用反馈结构线性定常系统常用反馈结构使，则1.状态反馈状态反馈回 放第43页，本讲稿共55页v 状态反馈通过(sI-A+BK)-1改变极点位置，但不影响输出；v 状态是内部变量，所以实现状态反馈的前提是状态可观测。2.输出反馈输出反馈v 由于由于C中往往有零元素，所以输出反馈仅利用了状态变中往往有零元素，所以输出反馈仅利用了状态变量的线性组合进行反馈，其信息量较小。量的线性组合进行反馈，其信息量较小。v 一般认为输出所引用的状态变量都是可测量的。一般认为输出所引用的状态变量
25、都是可测量的。8.4.2 状态反馈与极点配置状态反馈与极点配置v假设状态都可直接测量，假设状态都可直接测量，K第44页，本讲稿共55页极点配置定理：状态反馈不改变系统的能控性但可能改变能观性。用状态反馈任意配置系统闭环极点的充要条件是系统状态完全能控。根据sI-A=0，可按期望极点位置选择K矩阵。第45页，本讲稿共55页例8-20 试用状态反馈使闭环极点配置在试用状态反馈使闭环极点配置在-2，-1j1。解：设状态反馈系统特征方程为期望闭环极点对应的系统特征方程为由两特征方程同幂项系数应相同，可得保证稳定性保证稳定性保证能控性保证能控性省略判断省略判断第46页，本讲稿共55页8.4.3 状态重构
26、与状态观测器设计u 极点配置，状态反馈明显优于输出反馈，但状态变量并非都可直接测量；u 输出量都可测量，但往往不包含所有状态，所以输出反馈不能任意配置系统的闭环极点。u 利用系统的输出，通过状态观测器可重构系统的状态。观测器包括全维状态观测器或降维观测器。第47页，本讲稿共55页如果如果 ，则观测器完全等同于原系统。，则观测器完全等同于原系统。只要只要只要只要detdetsIsI-(-(A-HCA-HC)=0)=0的特征根具有负实部，的特征根具有负实部，的特征根具有负实部，的特征根具有负实部，则上述结论成立。显则上述结论成立。显则上述结论成立。显则上述结论成立。显然，特征根据虚轴越然，特征根据
27、虚轴越然，特征根据虚轴越然，特征根据虚轴越远，收敛越快。远，收敛越快。远，收敛越快。远，收敛越快。定理定理 系统可以设计状态观测器的充分必系统可以设计状态观测器的充分必要条件是原系统状态完全能观测。要条件是原系统状态完全能观测。例例8-21 试设计全维状态观测器，极点配置在试设计全维状态观测器，极点配置在(-10，-10)处。处。这种方法实际又叫这种方法实际又叫这种方法实际又叫这种方法实际又叫“软测量软测量软测量软测量”，例如无速度传感器电机调速系统，例如无速度传感器电机调速系统，例如无速度传感器电机调速系统，例如无速度传感器电机调速系统，完全由软件实现速度观测。完全由软件实现速度观测。完全由
28、软件实现速度观测。完全由软件实现速度观测。能控不一定能控不一定能观能观第48页，本讲稿共55页=8.4.4 带有状态观测器的状态反馈设计带有状态观测器的状态反馈设计SO 0，Rank SO=2，系统状态完全能观测。，系统状态完全能观测。需要解耦第49页，本讲稿共55页同一个系统的两组同一个系统的两组动态方程，互为线动态方程，互为线性变换矩阵，其传性变换矩阵，其传递函数相同，所以递函数相同，所以第50页，本讲稿共55页=由传递函数不变性可得特征方程(根)不变性，因此=分离定律：分离定律：分离定律：分离定律：只要只要给给定的系定的系统统能控且能观能控且能观，状，状态态反反馈设计馈设计和状和状态观测
29、态观测器（重构）器（重构）设计设计可各自独立可各自独立进进行行。通过状态反馈可以改变系统稳定性和性能指标；通通过状态反馈可以改变系统稳定性和性能指标；通过观测器极点配置可以改变重构系统的响应速度。过观测器极点配置可以改变重构系统的响应速度。第51页，本讲稿共55页缺项，不缺项，不稳定稳定例8-22；系系统带宽统带宽：rad/s。试设计带观测器的状态反馈系统，试设计带观测器的状态反馈系统，综综合指合指标为标为：超超调调量：量：；峰峰值时间值时间：观测器的极点配置在-35，-35，-120。解：（解：（1）判断能控能观性）判断能控能观性 改善稳定改善稳定第52页，本讲稿共55页（2）根据技术指标确
30、定状态反馈希望极点：100%=5%0.5=10令闭环主导极点取非主导极点远离主导极点 型系统保证阶跃输入时稳态误差为零。型系统保证阶跃输入时稳态误差为零。验算冗余指标第53页，本讲稿共55页（3）设计状态反馈矩阵：（4）设计状态观测器的反馈矩阵）设计状态观测器的反馈矩阵H 期望的状态观测器的特征多项式期望的状态观测器的特征多项式 第54页，本讲稿共55页第8章完8.3 8.10 8.3 8.10 8.12 8.178.12 8.17（K=4,1K=4,1）8.18 8.18（G G=149,32149,32T T）8.208.20（手工并（手工并（手工并（手工并MATLABMATLAB校对）校对）校对）校对）作业（答案）作业（答案）作业（答案）作业（答案）第55页，本讲稿共55页