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1、自动控制原理线性系统的稳定性分析第1页，本讲稿共10页3.3.5 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析-0.75-5 p2 p3 p1 j j1.2-j1.20(a)闭环极点分布图闭环极点分布图(b)单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 c(t)t特点：特点：1)高阶系统时间响应由简单函数组成。高阶系统时间响应由简单函数组成。2)如果闭环极点都具有负实部，高阶系统是稳定的。如果闭环极点都具有负实部，高阶系统是稳定的。3)时间响应的类型取决于闭环极点的性质和大小，形状与闭环零点有关。时间响应的类型取决于闭环极点的性质和大小，形状与闭环零点有关。分析方法：分析方法：1)可由系统主导极点估算高阶系统性能
2、。可由系统主导极点估算高阶系统性能。2)忽略偶极子的影响。忽略偶极子的影响。第2页，本讲稿共10页 设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号到一线性系统，这设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号到一线性系统，这相当于给系统加了一扰动信号。若相当于给系统加了一扰动信号。若 ，则系统稳定。，则系统稳定。3.4 稳定性分析稳定性分析 j 0稳定区域稳定区域不稳定区域不稳定区域S平面平面判别系统稳定性的基本方法：判别系统稳定性的基本方法：(1)劳斯劳斯古尔维茨判据古尔维茨判据 (2)根轨迹法根轨迹法 (3)奈奎斯特判据奈奎斯特判据 (4)李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法 线性系统稳定的充分必要条件：线性
3、系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根闭环系统特征方程的所有根都具有负实部都具有负实部.3.4.1 线性系统的稳定性概念线性系统的稳定性概念 系统工作在平衡状态系统工作在平衡状态,受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失之后，系统又恢复到平衡状态，称系统是稳定的。稳定性只由之后，系统又恢复到平衡状态，称系统是稳定的。稳定性只由结构、参数决定，与初始条件及外作用无关。结构、参数决定，与初始条件及外作用无关。第3页，本讲稿共10页劳斯判据采用表格形式，即劳斯判据采用表格形式，即劳斯表劳斯表：当劳斯表中第一列的所有数都当劳斯表中第一列的所有数都大于零大于零时，系统时
4、，系统稳定稳定；反之，；反之，如果第一列出现如果第一列出现小于零小于零的数时，系统就的数时，系统就不稳定不稳定。第一列各系数符。第一列各系数符号的改变号的改变次数次数，代表特征方程的正实部根的，代表特征方程的正实部根的个数个数。2.劳斯判据劳斯判据第4页，本讲稿共10页判别系统稳定性。判别系统稳定性。例例3.4 设系统特征方程为设系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0;试用劳斯稳定判据试用劳斯稳定判据1234500注意两种特殊情况的处理：注意两种特殊情况的处理：1）某某行行的的第第一一列列项项为为0，而而其其余余各各项项不不为为0或或不不全全为为0。用用因因子子（s+a）乘乘原原特特
5、征征方方程程（其其中中a为为任任意意正正数数），或或用用很很小小的的正正数数 代替零元素，然后代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据。对新特征方程应用劳斯判据。2）当劳斯表中）当劳斯表中出现全零行出现全零行时，用上一行的系数构成一个辅时，用上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。解：解：列出劳斯表列出劳斯表第一列数据不同号，第一列数据不同号，系统不稳定性。系统不稳定性。第5页，本讲稿共10页设系统特征方程为：设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳劳 斯斯 表表s6s5s0s1
6、s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-82 41 2劳斯表特点及第一种特殊情况劳斯表特点及第一种特殊情况劳斯表特点劳斯表特点4 每两行个数相等每两行个数相等1 右移一位降两阶右移一位降两阶2 行列式第一列不动行列式第一列不动3 次对角线减主对角线次对角线减主对角线5 分母总是上一行第一个元素分母总是上一行第一个元素7 第一列出现零元素时，第一列出现零元素时，用正无穷小量用正无穷小量代替。代替。6 一行可同乘以或同除以某正数一行可同乘以或同除以某正数2+87-8(2 +8)-7271 2 7-8第6页，本讲稿共10页劳斯判据
7、劳斯判据系统稳定的系统稳定的必要必要条件条件:有正有负一定不稳定有正有负一定不稳定!缺项一定不稳定缺项一定不稳定!系统稳定的系统稳定的充分充分条件条件:劳斯表第一列元素劳斯表第一列元素不变号不变号!若变号系统不稳定若变号系统不稳定!变号的变号的次数次数为特征根在为特征根在s右右半平面的半平面的个数个数!特征方程各项系数特征方程各项系数均大于零均大于零!-s2-5s-6=0稳定吗稳定吗？第7页，本讲稿共10页劳斯表出现零行劳斯表出现零行设系统特征方程为：设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳劳 斯斯 表表s0s1s2s3s451756116601 劳斯表何时会出现零行劳斯表何时会
8、出现零行?2 出现零行怎么办出现零行怎么办?3 如何求对称的根如何求对称的根?由零行的上一行构成由零行的上一行构成辅助方程辅助方程:有大小相等符号相反的有大小相等符号相反的特征根时会出现零行特征根时会出现零行s2+1=0对其求导得零行系数对其求导得零行系数:2s1211继续计算劳斯表继续计算劳斯表1第一列全大于零第一列全大于零,所以系统稳定所以系统稳定错啦错啦!由综合除法可得另两个由综合除法可得另两个根为根为s3,4=-2,-3解辅助方程得对称根解辅助方程得对称根:s1,2=j劳斯表出现零行劳斯表出现零行系统系统一定一定不稳定不稳定第8页，本讲稿共10页判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。例例
9、3.5 设系统特征方程为设系统特征方程为s4+2s3+s2+2s+2=0；试用劳斯稳定判据；试用劳斯稳定判据 例例3.6 设系统特征方程为设系统特征方程为s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；试用劳；试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。斯稳定判据判断系统的稳定性。解：解：列出劳斯表列出劳斯表 s4 1 1 2 s3 2 2 0 s2 (取代取代0)2 s1 2-4/s0 2 可见第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定的且在可见第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定的且在S右半平面上有两个极点。右半平面上有两个极点。解：解：列出劳斯表列出劳斯表 s6 1 6 10 4 s5 2
10、 8 4 s4 2 8 4 辅助多项式辅助多项式A(s)的系数的系数 s3 0 0 0第9页，本讲稿共10页 A(s)=2s4+8s2+4 dA(s)/ds=8s3+16s 第一列元素全为正，系统并非不稳定；第一列元素全为正，系统并非不稳定；阵列出现全零行，系统不是稳定的；阵列出现全零行，系统不是稳定的；综合可见，系统是临界稳定的（存在有共轭纯虚根）。综合可见，系统是临界稳定的（存在有共轭纯虚根）。解辅助方程可得共轭纯虚根：令解辅助方程可得共轭纯虚根：令s2=y，A(s)=2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表：以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表：s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 s3 8 16 dA(s)/ds的系数的系数 s2 4 4 s1 8 s0 4 第10页，本讲稿共10页