《第9章-线性系统的状态空间分析与综合ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第9章-线性系统的状态空间分析与综合ppt课件.ppt（182页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、9-1 9-1 状态空间方法基础状态空间方法基础9-2 9-2 线性系统的可控性和可观性线性系统的可控性和可观性9-3 9-3 线性系统的线性变换线性系统的线性变换9-4 线性定常系统地反馈结构及观测器9-5 李雅普诺夫第二方法经典控制理论、现代控制理论比较经典控制理论、现代控制理论比较状态状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。动力学系统的状态可以定义为信息的集合。已知已知 时状态，时状态， 时的输入，可确定时的输入，可确定 时任一变量的运动状况。时任一变量的运动状况。0t0tt 0tt 状态变量状态变量：确定动力学系统状态的最小一组变确定动力学系统状态的最小一组变量量 。)(,),(1
2、txtxn 12nx txtX txt 状态空间状态空间：由：由 张成的张成的n n维向量空间。维向量空间。)(tX状态向量状态向量：如果完全描述一个给定系：如果完全描述一个给定系统的动态行为需要统的动态行为需要n n个状态变量，那个状态变量，那么状态向量定义为么状态向量定义为X(t)X(t)对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间中的一条轨迹。中的一条轨迹。( )1( )( )( )di te tRi tLi t dtdtC2( )( )x ti t dt)()(1
3、titx选择状态变量11211RxxxeLLCL 则有则有21xx11010RuLCLLxx写成写成21)()(xCtcty10Cx输出输出11100RLLuLCxx写成)()(1titx21( )( )x ti t dtC若选另一组状态变量11211( )Rxxxe tLLL 121xcx 则有 uyayayaynnnnn 02211 若给出 (t=0) 时的初值 、 、 、 和 时就可确定系统的行为。 0,ttu)0(y)0(y )0()1( ny121, nnyxyxyx单输入单输入- -单输出线性定常系统单输出线性定常系统选取状态变量选取状态变量二、系统的状态空间表达式二、系统的状态空
4、间表达式12231nnxxxxxx0 11 21nnnxa xa xaxuxAxBx12012101000001000,00010nnxxxaaaa xAB222yyyu输入为输入为 u u ，输出为，输出为y y 。试求系统的状态方程和输出方程。试求系统的状态方程和输出方程。考虑用下列常微分方程描述的系统考虑用下列常微分方程描述的系统取状态变量取状态变量12,xy xy 12222122xxxxxu 1122220102xxuxx1210 xyx状态方程为式中式中 均为列向量。均为列向量。)2 , 1 , 0(ibixAx齐次向量微分方程齐次向量微分方程kktbtbtbbtx2210)(方程
5、的解为方程的解为1 1、齐次状态方程的解、齐次状态方程的解)(210121kkkktbtbbAtkbtbb可得可得( )txxA x代入方程代入方程 将将方程两边系数必相等方程两边系数必相等, , 即即1022103320011221133 21kkbAbbAbA bbAbA bbA bk ！0)0(bx定义022)121()(xtAktAAtItxkk！kKAttAktAAtIe！12122因此，齐次状态方程的解为将 t=0 代入解中得Ate为nn矩阵，称矩阵指数。( )( )x tA x t)()(0sAxxssx于是齐次状态方程的解为于是齐次状态方程的解为2、用拉氏变换法求解、用拉氏变换
6、法求解0)(xetxAt01)()(xAsIsx011)()(xAsILtx)(11AsILeAt122311()AtkkkksIAL eL IAtA tkIAAAssss！拉氏反变换后得到 AtetAtexp式中( )(0)( ) (0)Atx te xt x状态转移矩阵具有以下性质：状态转移矩阵具有以下性质：I01)(.)()(.tt21)()()(.020112tttttt3)()(.ktt4k11220100 xxxx设系统的状态方程为设系统的状态方程为试求状态转移矩阵。试求状态转移矩阵。2 211( )2!Atk kteIAtA tA tk230100,00001001( )0100
7、01nAAAAttt求状态转移矩阵为其中11221( )(0)01( )(0)tx txx tx可以写出方程解为x3210 x设系统状态方程为设系统状态方程为试求状态方程的解。试求状态方程的解。2s21s12s21s22s11s12s11s2)2s)(1s (s)2s)(1s (2)2s)(1s (1)2s)(1s (3ss213s)2s)(1s (1AsI)AsI(adj)AsI(3s21s)AsI(1解解例例t2tt2tt2tt2t11Ate2ee2e2eeee2)AsI(Le)0(x)0(xe2ee2e2eeee2)0(xe) t (x21t2tt2tt2tt2tAt改写为改写为 )()
8、()(tButAxtx用用 左乘等式两边左乘等式两边 Ate非齐次方程非齐次方程)()()(tButAxtx)()()()(tBuetxedtdtAxtxeAtAtAt积分上式得积分上式得dBuextxetAAt)()0()(0用用 乘上式两边乘上式两边AtedBuexetxttAAt)()0()(0)(0( )( ) (0)()( )tx tt xtBud 则式可以写成则式可以写成 sBusAxxssx)()(0 sBuAsIxAsIsx101)()()(拉氏反变换得拉氏反变换得)()()0()()(1111sBuAsILxAsILtx)(11AsILeAt由于由于 ttAdBuesBuAs
9、IL0)(11)()(由卷积定理有由卷积定理有 ttAdBuesBuAsIL0)(11)()(tAAtdtBuexetx0)()0()(ttAAtdBuexetx0)()()0()(因此因此由于由于最后得到最后得到uxx103210求下述系统状态的时间响应求下述系统状态的时间响应控制量控制量u u为单位阶跃函数。为单位阶跃函数。)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(31ssssssssssAsI由112222( )2222tttttttttLsIAeeeeeeee状态转移矩阵tttttAeeeedtBue0225.05.0)(tttteeeexttx225 . 05 . 0)0(
10、)()(220.50.5( )tttteex tee若初始状态为零状态，则若初始状态为零状态，则)()()(sBUsAXssXBuAxx系统状态方程系统状态方程DuCxy输出方程输出方程拉氏变换为拉氏变换为)()()(1sBUAsIsX)()()(1sUDBAsICsYAsIAsIadjAsI)()(1DBAsICsG1)()(AsIDAsIBAsICadjDBAsIAsIadjCsG)()()(0| AsI1112221122011002011001xxuxxuyxyx011010,0020101ABCD已知已知11111(2)()2102sss ssIAoss1()()111010(2 )
11、010110211(2 )102GsCs IABssssssss0100001061161Ab 设系统的状态方程为设系统的状态方程为系统的特征方程为系统的特征方程为3210| det 01611606116| (1)(2)(3)0ssIAssssssIAsss 特征方程的根为特征方程的根为-1-1、-2-2和和-3-3。矩阵。矩阵A A的特征值也为的特征值也为- -1 1、-2-2和和-3-3。两者是一样的。两者是一样的。试求系统的特征方程和特征值。试求系统的特征方程和特征值。DuCxyBuAxxuDxCyuBxAxxPx1Pxx 其中 P 是nn 矩阵1 PAPA1 CPCBP BAsIAs
12、IPPAsIPPPAsIPPAsIPPAPsPPPAPsIAsI1111111)(特征多项式没有改变。特征多项式没有改变。DBAsICDPBPAsIPCPDPBPAsIPCPDPBPAPsPPCPDPBPAPsICPDBAsIC111111111111111)()()()()()(传递函数阵传递函数阵传递函数阵没有改变传递函数阵没有改变112233111123149xxxxxx 11111132.50.5123 ,34114911.50.5PPxPAPxP bu 代入代入132|(1 ) (2 ) (3 )61 160s IPA Pssssss特征方程为特征值为-1，-2，-3，与上例结果相同
13、。可得11223332.50.501011134100112311.50.5611614932.50.50341011.50.51xxxxxxu 可控性和可观测性的概念，就是回答“系统的输入是否能控制状态的变化和“状态的变化能否由输出反映出来这样两个问题。设设A A 是 nn 矩阵, x x 是 n1 向量,齐次方程组若 |A|=0, 上式存在非零解；若|A|0, 上式只有零解。Ax=01 1、齐次方程组的非零解、齐次方程组的非零解则A满足1110( )nnnfIAaaa0)(0111IaAaAaAAfnnnA的特征多项式)(0111IaAaAaAnnn10)(nkkkAtAte的充分必要条件
14、是：的充分必要条件是：存在存在 使使01t101),0(ttATAtdtebbetWT非奇异。这里非奇异。这里A :nA :nn, b: nn, b: n1.1.nbAbAAbbrankn12若对任意状态 ，存在一个有限时刻 和控制量 ，能在 时刻将状态 转移到0，则称此系统的状态完全可控。)(0tx0ttf)(tuft)(0tx1 1 定义定义对于任意时刻 和 ，若存在控制向量 ，能将 的每个初始状态 转移到 时刻的另一任意状态 ,则称此系统的状态完全可控。 )(tu0tft0tt ftt )(0tx()fx t等价的定义等价的定义其中 A (nn),b (n1), c (1n),d (11
15、) 系统可控的充分必要条件是nbAAbbrankn 1单变量线性定常系统ducxybuAxx111111001由前面讨论可知，等价变换不改变可控性。由前面讨论可知，等价变换不改变可控性。ubbbbx11x43212211系统状态方程为系统状态方程为i21b,试确定系统可控时，试确定系统可控时， 应满足的条件。应满足的条件。0bb)(4221因为A阵有两个若当块，根据判据的(1)应有 ，由判据的(2)，A的第二行所对应的b中的元素b2,b4均不为零，因此系统可控的充要条件为21uxxn100010000010000101210则系统一定可控。一个单输入系统，如果具有如下形式buAxx1S21nh
16、hAPhAhAPxx 1S1 PAPAPBB 1 CPCDD 即可求出变换后的系统状态方程。u110 x041020122x0Sdet941421210bAAbbS2102121012P324223112P1112h112225012S1100110324223112Pbb1211221210322020121423140201010001254APAP nnbAAbbrank11n下面的结果被称为系统按可控性进行分解的定理 111n1111nbAbAbrank1db)AsI(cdb)AsI( c111n1111x2x121114221122(9 104)00(9 105)AAxbxuAxxx
17、yccdux duxcyubxAx111111系统按可控性分解1x2x2xx001yu010 x110010011x2) 1s (1) s (g系统的可控性矩阵系统的可控性矩阵由于由于S S的第的第3 3列是第列是第1 1列与第列与第2 2列的线性组合，列的线性组合，系统不可控系统不可控 。1(001)Tq选取选取210111210bAAbbS2010cPc,001Pbb,100021010PAPA11构成构成1010110011PbAbq110100101P21001rankbAbrank111) s (g) 1s (1012s11s10b)AsI(c21111110c01b2110A111
18、线性系统的可观测性设n维单变量线性定常系统的动态方程为cxy,buAxx 如果在有限时间间隔0, t1 内，根据输出值y(t)和输入值u(t)，能够唯一确定系统的初始状态x(0)的每一个分量，则称此系统是完全可观测的，简称可观的。式中A,b,c分别为 矩阵。1 1、 可观测性的定义,1,1nn nnncAcAcrank1n上式中的矩阵称为可观性矩阵可观性矩阵。并记为V。2030111 0 xxuyx 试判断系统的可观测性。试判断系统的可观测性。设系统动态方程为设系统动态方程为例0201cAcV系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆线性变换下系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆线性变换下保持不变，因而
19、可逆线性变换不改变系统的可观测性。保持不变，因而可逆线性变换不改变系统的可观测性。 cxy,buAxxzbw, vczAzTTT系统系统 性研究就相当于对原系统的可观性研究。上式称为单输出系统的可观测标准形。 0121000010001000001000001nAcxcy,ubxAxcxy,buAxx)xMx(xMx1若有等价变换将其化为可观测标准形Pzz 化为下列的可控标准形，其变换矩阵为化为下列的可控标准形，其变换矩阵为P.P.zcw,ubzAz11111111PbcPcbPPAATTT，zbw,uczAzTTTTPM 比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵比较上面两组式子，可知欲求之线
20、性变换矩阵它可将系统方程化为可观测标准形。它可将系统方程化为可观测标准形。cMcbMbAMMA11TT11TT1T1TT1cPbb)P(cAP)P(Ax11y,u11x1111x11b,1111A 根据A,b阵，按化可控标准形求变换阵的步骤求出P阵：5 . 05 . 0h5 . 05 . 0100121S11015 . 05 . 0hAhP由由(9-128)(9-128)式求出式求出P P阵阵1120M,05 . 015 . 0015 . 05 . 0PM1TT由由(1-60)(1-60)式求出式求出M M阵阵0121AbbS1005 . 015 . 011cMc02111120bMb2120
21、05 . 015 . 011111120AMMA11若系统不可观测，且nncAcAcrank21n式中 是n2维向量, 是n-n2维向量，并且1x2xnnAcAccrank21n111112211212143121xx0cyubbxxAA0Axx表明n2维的子系统 (A1 b1 c1 )是可观的； 这部分状态变量是不可观的； (9-138)式表明传递函数未能反映系统的不可观部分。2x 系统按可观性分解的结果系统按可观性分解的结果11111)()(1bAsIcbAsIcn 这可以用前面证明可观标准形的方法论证。这可以用前面证明可观标准形的方法论证。由图上可以看出传递函数完全由图中虚线以上的部分所
22、决定，即传递函数未能反映系统中不可观测的部分。本节首先研究用状态变量作反馈的控制方式。系统的动态方程如下cxy,buAxx令kxvu一、一、状态反馈和极点配置问题式中的v 是参考输入，k称为状态反馈增益矩阵，这里它是1n 的向量。cxy,bvx)bkA(x上图所示的闭环系统的状态空间表达式为式中A-bk为闭环系统的系统矩阵。计算闭环系统的可控性矩阵，因为)bA,bA,Ab,b(bAb)bkA()bA,Ab,b(bA)Ab,b(bA)(bkA(b)bkA()Ab,b(bA)bdAb)(bkA(b)bkA(bdAbbkbAbb )bkA(2n21n1n232322的线性组合的线性组合的线性组合的线
23、性组合1 1 状态反馈不影响可控性状态反馈不影响可控性上式中最后一个矩阵显然是非奇异矩阵，因此有bAAbbrankb)bkA(b )bkA(brank1n1n因此有10000101bAAbbb)bkA(b)bkA(b1n1n 状态反馈可能改变系统的可观测性。即原来可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是不可观的。同样，原来不可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是可观的。状态反馈是否改变系统的可观测性，要进行具体分析。前式表明，若原来系统可控，加上任意的状态反馈后，所得到的闭环系统也可控。若原来系统不可控，不论用什么k 阵作状态反馈，所得到的闭环系统仍然不可控。这一性质称为 闭环方程的系统矩阵A-
24、bk的特征值，一般称为闭环的极点。闭环系统的品质主要由闭环的极点所决定，而稳定性则完全由闭环极点所决定。 通过选取反馈增益阵来改变闭环特征值在复平面上的位置，称为状态反馈进行极点配置问题。1n101n10cccc100baaa1010AxcyubxAx式中现引入1n10kkkk定理：定理：系统矩阵A-bk 的特征值可以由状态反馈增益阵 k 配置到复平面的任意位置，其充分必要条件是系统可控。xkvxkPvkxvu1PkkkPk1)ka ()ka ()ka (1110kbA1n1n1100)kbA(sIdet)PbkPPAP(sIdet)kbA(sIdet11)bkA(sIdetP)kbA(sIP
25、det1故 的特征式即是 的特征式，所以 和 有相同的特征值。bkA kbA bkA kbA )ka (s )ka (s )ka (s00111n1n1nn设任意给定的闭环极点为 , 且n21,011n1nnn21sss)s()s)(s(iiiiiiak)1n , 1 , 0i (ka计算A的特征式011n1nnasasas)AsIdet(由所给的n 个期望特征值 ， 计算期望的多项式n21,011n1nnn21sss)s()s)(s(根据(9-94) 式，计算化可控标准形的坐标变换阵PPkk 求出反馈增益阵 上述步骤中有化可控标准形这一步。如果不经过这步，也可直接求k。)aaa(k1n1n1
26、100求ku1010 x01100100001000010 x系统状态方程为若加状态反馈使闭环特征值分布为-1,-2,-1+j,-1-j，试求状态反馈增益阵k。例242211)11()det(ssssAsI计算A的特征式由所给的4 个期望特征值，计算期望的多项式4s10s10s5s)2s2s)(2s)(1s(2342解：方法一、通过化可控标准形求解求出反馈增益阵100001001 . 01 . 0001 . 001 . 0PPkk=-0.4 -1 -21.4 -6 根据(9-94) 式，计算化可控标准形的坐标变换阵P求52110405111001004k令 ，计算A-bk的特征式4321kkk
27、kk 432241321()(11)1010sIA bkskk skksk sk比较两个特征式的系数可得4k10,10k10,1011kk, 5kk123142所以可得 k=-0.4 -1 -21.4 -6 二、状态观测器 为了实现状态反馈，须对状态变量进行测量，但在实际系统中，并不是所有的状态变量都能测量到的。因此为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的信息（输入量及输出量），通过一个模型来对状态变量进行估计。状态观测器又称状态渐近估计器。 一个明显的方法是利用计算机构成一个与实际系统具有同样动态方程的模型系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值，见图。 一般系统的输入量u和输出
28、量y均为已知，因此希望利用y=cx与 的偏差信号来修正 的值，这样就形成了后图的闭环估计方案。 x cy x 由于前图中未能利用系统的输出信息对误差进行校正，所以用图9-17得到的估计值是一个开环估值。 根据前图可写出观测器部分的状态方程由上式和系统方程式可求出观测误差 应满足的方程式x xxx)HcA()x x)(HcA()xx (Hc)x x(AHcxbux )HcA(buAxx xxHybux )HcA()x cy(Hbux Ax x定理定理：若系统(A b c)可观测, 则(9-169)式给出了系统的一个n 维状态观测器，并且观测器的极点可以任意配置。只要A-Hc的特征值均在复平面的左
29、半部， 随着 t 的增长而趋向于零，而且趋于零的速度由A-Hc 的特征值所决定。于是有下面极点可任意设置的状态观测器定理x02yu10 x3210 x0h20h202hhHc,hhH212121观测器的特征方程为观测器的特征方程为0)2h2h6(s )3h2(s3sh221h2s)HcA(sI211221根据给定的特征值，可求出期望的多项式为比较上述两多项式中s的同次项系数得5 .23h,5 .8h21因此观测器的方程为y5 .235 .8u10 x 349117x 100s20s)10s(22若原系统(对象)方程为cxy,buAxx现以状态观测器所得到的状态估计值 代替原系统的状态变量 x
30、形成状态反馈，即x x kvu而观测器的方程为Hybux )HcA(x 带观测器的状态反馈系统 由对象、观测器和状态反馈组合而成的由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭环系统的方框图如下图示闭环系统的方框图如下图示。TTTx x取状态变量为x x0cyvbbx xbkHcAHcbkAx xbuHcxx )bkHcA(x cxy,bvx bkAxxx xII0IxxII0IPII0IP1所得到的动态方程为：xx0cyv0bxxHcA0bkbkAxxb)bkA(sIc)s(g1f由式可知，这时闭环系统矩阵的特征式可计算如下 这个特点表明：若系统是可控、可观的，则这个特点表明：若系统是可控、可观的，则
31、可按闭环极点配置的需要选择反馈增益阵可按闭环极点配置的需要选择反馈增益阵k k，然，然后按观测器的动态要求选择后按观测器的动态要求选择H H，H H的选择并不影响的选择并不影响已配置好的闭环传递函数的极点。因此系统的极已配置好的闭环传递函数的极点。因此系统的极点配置和观测器的设计可分开进行，这个原理通点配置和观测器的设计可分开进行，这个原理通常称为常称为分离定理分离定理。)(det)(detdetHcAsIbkAsIHcA0bkbkAsInnn2电电机机电电机机电电压压为为恒恒定定的的能能力力压压自自动动调调节节系系统统中中保保持持常常见见的的电电统统的的稳稳定定性性。例例如如这这一一种种本本
32、能能通通常常叫叫做做系系系系统统的的下下继继续续工工作作下下去去相相对对稳稳定定状状态态的的平平衡衡状状态态新新仍仍有有能能力力自自动动地地在在另另一一但但在在外外部部干干扰扰去去掉掉后后坏坏被被破破相相对对稳稳定定状状态态虽虽然然它它的的原原有有平平衡衡状状态态干干扰扰后后外外界界也也就就是是说说，当当系系统统受受到到先先是是一一个个稳稳定定的的系系统统。正正常常的的工工作作，它它必必须须首首一一个个自自动动控控制制系系统统要要能能,)(,)(, 系系统统的的一一个个动动态态属属性性。可可见见稳稳定定性性乃乃是是可可能能是是一一个个稳稳定定的的系系统统显显然然它它不不其其偏偏差差量量越越来来
33、越越大大到到外外界界干干扰扰后后假假如如系系统统在在受受敛敛性性偏偏差差量量的的过过渡渡过过程程的的收收系系统统的的外外界界干干扰扰后后定定性性就就是是系系统统受受到到小小的的所所谓谓系系统统的的稳稳由由上上面面所所讲讲的的含含义义可可见见定定系系统统。统统被被称称为为不不稳稳反反之之不不具具有有稳稳定定性性的的系系系系统统系系统统被被称称为为稳稳定定的的等等都都是是。具具有有稳稳定定性性的的行行为为一一定定的的能能力力以以及及火火箭箭飞飞行行中中保保持持航航力力机机转转速速为为一一定定的的能能自自动动调调速速系系统统中中保保持持电电, ;,这类系统的这类系统的最佳运行状态。在解决最佳运行状态
34、。在解决况，保证系统的正常和况，保证系统的正常和适应新的情适应新的情要求而加以改变，才能要求而加以改变，才能往需要根据性能指标的往需要根据性能指标的，往，往即使是系统结构的本身即使是系统结构的本身系统系统都是一些非线性或时变都是一些非线性或时变而且大而且大较复杂较复杂现代控制系统的结构比现代控制系统的结构比是很难胜任的是很难胜任的来说来说但一般但一般些特定的系统上应用些特定的系统上应用上述稳定判据尚能在某上述稳定判据尚能在某方法方法转化转化虽说通过一些对系统的虽说通过一些对系统的统统但对于非线性或时变系但对于非线性或时变系断断定性进行判定性进行判稳定性判据对系统的稳稳定性判据对系统的稳判据或判
35、据或可用可用性定常系统性定常系统若所论的系统是一个线若所论的系统是一个线任意小的规定量任意小的规定量衡位置的大小衡位置的大小系统的被调量偏高其平系统的被调量偏高其平式中式中 .,.,NyquistHurwitz-outh, x(t) x(t)lim Rt定定的的。稳稳定定的的，否否则则便便是是不不稳稳近近周周围围是是，则则该该系系统统在在工工作作点点附附具具有有负负实实数数部部分分的的复复根根，或或者者是是式式的的根根全全部部是是负负实实数数根根如如果果线线性性化化的的特特征征方方程程以以描描述述。的的微微分分方方程程来来近近似似地地加加范范围围内内可可以以用用线线性性化化了了近近的的一一定定
36、非非线线性性系系统统在在工工作作点点附附定定性性，同同时时，他他还还指指出出系系统统的的稳稳后后根根据据解解的的性性质质来来判判断断解解系系统统的的微微分分方方程程，然然。第第一一法法是是通通过过求求简简称称第第一一法法和和第第二二法法归归纳纳成成两两种种方方法法，判判断断系系统统稳稳定定性性的的问问题题年年，李李雅雅普普诺诺夫夫就就如如何何理理论论。而而得得到到的的一一些些稳稳定定性性的的夫夫第第二二法法方方法法还还是是基基于于李李雅雅普普诺诺稳稳定定性性方方面面，最最通通用用的的)( 1892定定性性。因因此此应应用用李李氏氏就就能能用用来来判判断断系系统统的的稳稳出出的的稳稳定定性性理理
37、论论准准则则函函数数符符合合李李雅雅普普诺诺夫夫提提能能量量函函数数。只只要要这这一一但但它它并并非非是是一一个个真真正正的的衡衡量量系系统统积积蓄蓄的的能能量量，辅辅助助函函数数，可可以以用用它它来来李李雅雅普普诺诺夫夫创创造造了了一一个个到到一一个个极极小小值值。由由此此，则则系系统统积积蓄蓄的的能能量量必必达达系系统统运运动动到到平平衡衡点点时时，时时，平平衡衡点点，则则当当他他指指出出：若若系系统统有有一一个个能能量量的的观观点点出出发发得得来来的的行行分分析析和和判判断断。它它是是从从可可以以对对系系统统的的稳稳定定性性进进求求解解系系统统的的微微分分方方程程就就法法）的的特特点点是
38、是不不必必李李氏氏第第二二法法（亦亦称称直直接接t 采用采用来说较简单来说较简单控制系统在结构上相对控制系统在结构上相对一，何况过去的一，何况过去的得到广泛应用的原因之得到广泛应用的原因之氏稳定理论未能氏稳定理论未能论未能得到广泛应用李论未能得到广泛应用李期内李氏稳定理期内李氏稳定理过去的一段相当长的时过去的一段相当长的时方法，这也是在方法，这也是在的寻求李氏函数的一般的寻求李氏函数的一般有一个简便有一个简便可惜直到目前为止还没可惜直到目前为止还没数。数。诺夫函诺夫函此函数通常称为李雅普此函数通常称为李雅普助函数助函数到一个合适的辅到一个合适的辅定理的关键在于能否找定理的关键在于能否找, ,理
39、论。理论。然后再谈稳定然后再谈稳定绍绍所以就这一类问题作介所以就这一类问题作介等概念等概念衡点，渐近稳定性衡点，渐近稳定性由于李氏理论用到了平由于李氏理论用到了平进展。进展。也颇有也颇有面面在如何寻求李氏函数方在如何寻求李氏函数方有成效的结果有成效的结果而且已经有了许多卓而且已经有了许多卓视视和应用又重为人们所重和应用又重为人们所重研究分析研究分析所以近期对李氏理论的所以近期对李氏理论的遇到很大困难遇到很大困难判据对系统稳定性分析判据对系统稳定性分析用其他已知的一些稳定用其他已知的一些稳定于系统的结构日益复杂于系统的结构日益复杂但正如前面所说的，由但正如前面所说的，由定判据已是能解决问题定判据
40、已是能解决问题前面提到的其他一些稳前面提到的其他一些稳, ,.,.。被被称称为为系系统统的的平平衡衡状状态态则则时时当当的的稳稳定定性性的的含含义义一一，李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义下下同同。原原理理中中所所讲讲的的也也有有所所不不就就其其概概念念来来说说，与与调调节节所所示示的的那那么么简简单单，而而且且解解释释，不不象象定定性性的的含含义义有有其其自自己己的的定定理理论论时时，对对于于稳稳当当李李雅雅普普诺诺夫夫谈谈到到其其稳稳eX 0),f( )(lim tXtxet 时时当当3n0,Xe 状状态态平平面面表表示示一一个个圆圆时时当当它它代代表表矢矢量量的的长长度度它它等等于于：被被称称
41、为为欧欧几几里里德德范范数数。其其中中可可写写成成的的球球域域时时为为半半径径为为圆圆心心态态应应用用范范数数表表示示以以平平衡衡状状,X2, 0X)X()X()X(XX X,X 2221ee2en2e222e11eeeecxxXnXXxXXRXRn 状态空间状态空间表示一个球表示一个球,232221cxxxX .,)t(t X-)t ,x(t,)t ,x(t,),()(X-X :)(0e0000e为给定的常数为给定的常数其中其中其范数为：其范数为：的所有各点的球域的所有各点的球域的解的解是含有方程是含有方程它的范数为它的范数为件可以画出一个球域件可以画出一个球域设对应于系统的初始条设对应于系
42、统的初始条 txfXSS , ),(t X-)t ,x(t, ,X ),(,),( 0e00e致稳定的平衡状态。致稳定的平衡状态。则称这种平衡状态为一则称这种平衡状态为一有关有关有关也与有关也与与与一般决定球域大小的一般决定球域大小的稳定的。稳定的。李雅普诺夫意义下李雅普诺夫意义下是是则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态恒有恒有时时使得当使得当存在一个实数点存在一个实数点对于任意选定的对于任意选定的若系统若系统0e0tXtX0t0txfX1.李雅普诺夫稳定：稳稳定定。是是李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义下下的的系系统统的的平平衡衡状状态态则则称称出出发发的的轨轨迹迹不不离离开开无无限限增增加加时时
43、从从eXSSt),()( 使使得得当当若若存存在在一一个个球球域域于于每每一一个个球球域域对对定定性性可可以以解解释释为为李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义下下的的稳稳),()(, SS)(S)(SeX指指的的就就是是这这种种情情况况。即即近近稳稳定定的的。则则称称此此类类平平衡衡状状态态是是渐渐之之外外，而而且且最最后后收收敛敛于于不不仅仅不不能能超超出出球球域域时时当当内内出出发发的的任任意意一一个个解解又又从从球球域域的的稳稳定定在在李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义下下是是如如果果平平衡衡状状态态渐渐近近稳稳定定性性 )(lim)(,)(,X . 2etxXStSte)(S)(SeX2.渐近稳定性
44、.,),(,的的渐渐近近稳稳定定就就叫叫做做在在大大范范围围内内那那么么系系统统的的平平衡衡状状态态于于都都收收敛敛时时当当的的每每一一个个解解如如果果有有或或大大范范围围内内的的渐渐近近稳稳定定。这这时时的的平平衡衡状状态态称称做做是是则则迹迹都都保保持持渐渐近近稳稳定定性性果果由由这这些些状状态态出出发发的的轨轨eeXXttxfX 如如状状态态空空间间中中的的所所有有各各点点对对于于所所有有的的状状态态大大范范围围内内的的渐渐近近稳稳定定性性),( . 3)(S)(SeX3.大范围内的渐近稳定因因而而是是有有局局限限性性的的。到到扰扰动动的的大大小小范范围围问问题题没没有有涉涉及及只只牵牵
45、涉涉到到小小的的扰扰动动所所讲讲的的稳稳定定性性的的概概念念中中的的要要求求。过过去去调调节节系系统统使使它它能能满满足足系系统统稳稳定定性性的的大大小小从从而而可可以以设设法法抑抑制制干干扰扰系系统统的的抗抗干干扰扰稳稳度度才才能能明明了了这这一一知知道道渐渐近近稳稳定定性性的的范范围围个个局局部部概概念念因因为为渐渐近近稳稳定定是是一一要要的的确确定定稳稳定定的的范范围围是是很很重重定定性性的的就就一一定定是是大大范范围围渐渐近近稳稳只只要要是是渐渐进进稳稳定定的的点点线线性性系系统统只只有有一一个个平平衡衡说说明明,2. , ,. 1:说明说明不不稳稳定定的的。是是之之外外，这这时时称称
46、平平衡衡状状态态超超出出球球域域的的轨轨迹迹最最终终会会，使使得得从从这这一一状状态态出出发发态态一一个个初初始始状状周周围围的的球球域域内内总总存存在在着着状状态态在在平平衡衡小小不不管管这这两两个个实实数数有有多多么么数数和和任任意意一一个个实实如如果果对对于于某某个个实实数数不不稳稳定定性性eeXSXX)(, 00 . 40 eX4.不稳定性负负定定则则称称正正定定若若有有负负定定为为正正定定。则则标标量量函函数数如如果果正正定定有有以以下下几几种种特特征征对对所所有有的的状状态态内内的的邻邻域域设设在在零零平平衡衡状状态态标标量量函函数数的的正正定定性性定定义义二二)(,)()2()(
47、 ,0,0)( ,0,0)(.)1(:0 :.xVxVxVxxVxxVXXe 二、标量函数的下定性定义：符符号号不不定定。称称则则也也可可为为负负既既可可为为正正有有的的状状态态对对所所有有多多小小不不论论内内的的邻邻域域在在不不定定为为负负半半定定则则称称为为正正半半定定若若有有负负半半定定为为正正半半定定。则则称称若若有有正正半半定定)(,)(,0)5(.)(,)()4()(, 0, 0)( , 0, 0)()3(xVxVXXxVxVxVxxVxxVe 232123224132 1)()2(2)()1(x x X.)(:xxxVxxxxVxxVT 已已知知的的正正定定性性确确定定下下列列标
48、标量量函函数数例例 )( 0, 0)( 0, 0)( 正正半半定定xVxxVxxV 0)(, 0; 0)(, 0,)(: xVxxVxxV为为正正定定解解0)( 0)(, 0; 0, 0 x 0)(, 0 :321 xVxVxxxVx其其余余解解 23221)(3)xxxxV 正半定正半定有有对于其余的对于其余的时时又又解解)( 0)( X, 0, 0)( 0)(, 0, 0 x0, 0)( 0)(, 0 213xVxVxxVxVxxxxVxVx 负半定负半定则有则有对于其余的对于其余的时时解解)( ,)( ,)( )( x, )( -2xx0, x )(, 231xV0 x0 xV0 x0
49、xV0 xV0 xV0 xV0 x2322212321212)()5()2()()4(xxxxVxxxxxV 不定不定解解)( 0)( 20)( 2232221232221xVxVxxxxVxxx B(X)AXX 0, 0),(),(.附近展成泰勒级数在数存在则有连续的偏导对，若有在李氏第一法（间接法）一eeXXxtxftxfX一、李氏第一法（间接法）nnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf xt)f(x,A 212221212111T状态。时，系统处于临界稳定）（当）决定，（由高次项征值，则系统的稳定性的特征值中含有零特，一次近似处稳定具有正实部，则系统在的特征值至少有一个，一次近似
50、处稳定则系统在的特征值具有负实部，一次近似0AAXX )3(0XAAXX )2(0XAAXX (1)eeXBXB偏导数的标量如果存在具有连续一阶中其，设系统的状态方程为定理无关则数与若该函李氏函数虚构的能量函数李氏第二法（直接法）二)0(0), 0(),(. 1)(tt),V(x,- .ttftxfXxV二、李氏第二法（直接法）大范围内的渐近稳定。态是，则在原点处的平衡状，有着致渐近稳定的，如果随平衡状态是一则在状态空间原点处的为负定为正定并满足：函数t)V(x,t)2.V(x, t)1.V(x, ),(XtxV稳定性。试分析其平衡状态时的已知例)( )(:22212122221121xxxx