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1、,电子课件,董秋仙 主讲,线 性 代 数,线性 代数,行列式,矩 阵,向量 空间,线性方程组,相似变换及其二次型,n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则,第一章 行列式,第一节、行列式的概念,二阶和三阶行列式,n阶行列式的定义,几种特殊的行列式,二阶行列式,一、二阶和三阶行列式,设二元线性方程组,用消元法解得,令,称为二阶行列式,同理引进三阶行列式,三元线性方程组,D=,把n个不同元素排成一列称为这n个元素 的全排列。(简称排列）,用Pn表示所有排列的种数。,定义,称在 n! 种排列中从小到大次序的那个排列为自然排列 （或标准排列）.,注意：,不失一般性，我们将 n
2、个元素看成 n 个自然数，,一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数。,在一个排列中,如果一个大的数排在小的 数之前,就称这两个数构成一个逆序。,例如 排列312有2个逆序，即31；32,定义,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之 和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序 数之总和即为所求排列的逆序数.,方法,例如 求排列32514的逆序数.,解,在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;,5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;,1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;,3 2 5 1
3、4,于是排列32514的逆序数为,逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列。,定义,例如 ： 排列312的逆序数为2，故它是偶排列。,3）当每项第一个下标按自然排列时，该项 前面正负号取决于第二个下标排列的奇偶性。,1）二阶行列式有2！=2项， 三阶行列式有3！=6项。,2）每项都是分别来自不同的行，不同的 列之元素的乘积。,特 点：,作出表中位于不同的行不同列的n个数的乘积， 并冠以符号,得到形如,二、n阶行列式的定义,定义,这样的排列共有n!个，因而形如上式共有n!项， 所有这n!项的代数和,称为n阶行列式记为：,简记为,特别：当n=1时，一阶行列式,不要与绝对值符号相混
4、淆。,当n =2、3时，与前面定义的二、三阶行列 式一致。,行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,注 意：,n阶行列式还可以定义为,是自然数1，2，3n 的一个排列，,式中把列标排成一个自然排列,证：,三、几种特殊的行列式,1）主对角行列式,证：,依行列式的定义,2）副对角行列式,证：,故D中可能不为0的元素,在所有排列,其下标应有,能满足上述关系的,3）下三角行列式,排列只有一个自然排列12n,所以D不可能为,零的项只有一项,此时t=0,分析： 展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,4）上三角行列式,行列式的定义,几个特殊的行列式,主对角行列式,下三角行列式,上三角行列式,副对角行列式,小 结,